bzoj1420 Discrete Root BSGS+exgcd

Description

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已知k，a，p，求x ^ k=a (mod p)的所有根（根的范围[0,p-1]，P为质数

三个整数p,k,a。0 < = a

Solution

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题解非常巧妙

首先这题p一定是质数
设模p意义下原根为g，令$g^y\equiv x \pmod p$且$g^z\equiv a\pmod p$
由原根的性质得到$ky\equiv z\pmod {p-1}$，这一步可以BSGS
然后$ky-(p-1)b = z$，这就是一个拓展欧几里得可以搞定的问题了

防备忘记写一下解这种方程的过程
有方程$ax+by=c$，次方程有解仅当$gcd(a,b)|c$
我们可以用exgcd求出方程$ax+by=gcd(a,b)$的一组解，然后$\frac{cx}{gcd(a,b)}$和$\frac{cy}{gcd(a,b)}$就是一组可行解了
同时记$da=\frac{a}{gcd(a,b)}$，记$db=\frac{b}{gcd(a,b)}$，一组可行解为$(x_0,y_0)$，那么一定有$(x0+db*t,y0-da*t)(t\in N)$也是方程的解

注意特判无解和无原根的情况
就是这样

Code

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#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <vector>
#include <map>
#define rep(i,st,ed) for (LL i=st;i<=ed;++i)

typedef long long LL;

LL ksm(LL x,LL dep,LL MOD) {
    LL ret=1;
    while (dep) {
        if (dep&1) ret=ret*x%MOD;
        x=x*x%MOD; dep/=2;
    }
    return ret;
}

LL get_g(LL n) {
    std:: vector <LL> vec;
    LL tmp=n-1;
    for (LL i=2;i*i<=tmp;i++) {
        if (tmp%i) continue;
        vec.push_back(i);
        while (tmp%i==0) tmp/=i;
    }
    if (tmp) vec.push_back(tmp);
    rep(i,2,n) {
        bool flag=false;
        for (LL j=0;j<vec.size();j++) {
            if (ksm(i,(n-1)/vec[j],n)==1) {
                flag=true;
                break;
            }
        }
        if (!flag) return i;
    }
}

LL BSGS(LL a,LL b,LL MOD) {
    std:: map <LL,LL> map;
    LL t=(LL)ceil(sqrt(MOD));
    rep(i,0,t) {
        LL tmp=ksm(a,i,MOD);
        tmp=tmp*b%MOD;
        map[tmp]=i;
    }
    rep(i,0,t) {
        LL tmp=ksm(a,t*i,MOD);
        if (map[tmp]) return (t*i-map[tmp]);
    }
}

LL gcd(LL x,LL y) {
    return !y?x:gcd(y,x%y);
}

void exgcd(LL &x,LL &y,LL a,LL b) {
    if (!b) {
        x=1; y=0;
        return ;
    }
    exgcd(x,y,b,a%b);
    LL tmp=x; x=y; y=tmp-(a/b)*x;
}

int main(void) {
    std:: vector <LL> vec;
    LL p,k,a; scanf("%lld%lld%lld",&p,&k,&a);
    if (!a) {puts("0");return 0;}
    if (p==2) {
        if (a==1) puts("1\n1");
        else puts("1\n0");
        return 0;
    }
    if (p==3) {
        rep(i,0,2) if (ksm(i,k,p)==a) vec.push_back(i);
        printf("%lld\n", (LL)vec.size());
        for (LL i=0;i<vec.size();i++) printf("%lld\n", vec[i]);
        return 0;
    }
    LL g=get_g(p);
    LL z=BSGS(g,a,p);
    LL d=gcd(k,p-1);
    LL tx,ty;
    if (z%d) {puts("0"); return 0;}
    exgcd(tx,ty,k,p-1);
    tx=tx*z/d; ty=ty*z/d;
    tx=(tx%(p-1)+(p-1))%(p-1);
    rep(i,1,d) {
        vec.push_back(ksm(g,tx,p));
        tx+=(p-1)/d;
    }
    printf("%lld\n", (LL)vec.size());
    for (LL i=0;i<vec.size();i++) printf("%lld\n", vec[i]);
    return 0;
}