こんにゃく並木レビュー - メビウス反転

メビウス反転

乗法関数：関数fについて、素数P、Qは、例えば、F（P）F（Q）= F（PQ）は、関数fがあると場合乗法関数

乗法関数fを設け、及び機能を有します

　

明らかに、Fは、この関係を逆転させることができるかどうか、Fによって決定されますか？

 　F（1）= F（1）F（1）= F（1）      
  F（2）= F（1）+ F（2）F（2）= F（1）+ F（2）      
  F（3） = F（1）+ F（3）F（3）= F（1）+ F（3）      
  F（4）= F（1）+ F（2）+ F（4）F（4）= F（ 1）+ F（2）+ F（4）   
  F（5）= F（1）+ F（5）F（5）= F（1）+ F（5）      
  F（6）= F（1）+ F（2）+ F（3）+ F（6）F（6）= F（1）+ F（2）+ F（3）+ F（6）      
  F（7）= F（1）+ F（ 7）F（7）= F（1）+ F（7）    
  F（8）= F（1）+ F（2）+ F（4）+ F（8）F（8）= F（1）+ F（2）+ F（4）+ F（8）     

見つけることができ、我々は逆推力F fで行くことができます

正式たとえば、F（x）の形の数に等しい±F（X / D）、及び

あなたはこの式を持っていることがあります。

 

ここで平等が、その後、保持している場合μは、演算機能であります

M（1）= 1

M（2）= - 1

M（3）= - 1

M（4）= 0

M（5）= - 1

M（6）= 1

場合素数p、F（P）= F（P）-F（1）

その後、我々は=、μ（1）= 1、任意の素数のために、μ（p）を見つけることができます - 1

F（P ^ 2）= F（1）+ F（P）+（FP ^ 2）、F（P ^ 2）= F（P ^ 2）-F（P）以来

μ（P ^ 2）= 0

これは再帰見F（P ^ 3）ダウン= F（P ^ 3）-F（P ^ 2）、素数P P ^ 2 = 0が必要

見出さ、μ（1）= 1、μ（P）= - 1、μ（P ^ 2）= 0、μ（P ^ 3）= 0。

見出さ、μ（P ^ K）= 0。

互いに異なる公約数p1p2p3

 

F（P1P2）= F（P1P2）-F（P）-F（P2）+ F（1）のために

则此时μ(p1p2)=1

对于f(p1p2p3)=F(p1p2p3)-F(p1p2)-F(p1p3)-F(p2p3)+F(p1)+F(p2)+F(p3)-F(1)

可以发现，μ(p1p2p3)=-1,μ(p1p2)=1。

同理，μ(p1p2p3p4)=1,μ(p1p2p3p4p5)=-1

 

则可知，对于μ(1)=1,μ(p1p2p3p4...pk)(互为不同质数)=(-1)^k

 

假设我们现在定义一个合数x且x的质因数分解中有相同的质数记作

x=p1pk^2

那么f(p1pk^2)=F(p1pk^2)-F(p1pk)-F(pk^2)+F(pk^2)

可以发现，μ(p1)=-1,μ(pk^2)=0,μ(p1pk^2)=0

则可以推断出，如果x的质因数分解形如x=p1p2p3p4...pk^2,则μ(x)=0

综上，证明得出莫比乌斯函数μ(x)

1. x=1时μ(x)=1
2. x的质因数分解形如x=p1p2p3p4....pk，p1p2p3p4...互不相同，则μ(x)=(-1)^k
3. 如果不属于以上两种情况，即对x进行质因数分解有重复质数，μ(x)=0
4. 莫比乌斯函数是积性函数

莫比乌斯函数的性质：

容易发现,n=1时易证，

N> 1、製品の機能の定義から見$F.（N-）$

ここで、n = P1 ^ A1 * P2 ^ A2 ... * PT ^で。

（K> 2）とF（P ^ k）に対する

 

K <= 2、1 +（ - 1）= 0

これにより、n> 1のときF（N）= 0

メビウス反転：

以下の場合：

彼らは以下のとおりです。

 

 

別の形態：

以下の場合：

彼らは以下のとおりです。