1.数論の機能
2つの演算機能定義\（F（N）\）と\（G（n）を\）
\（（F + G）（ n）は、F（N）+ G（n）を= \）
2.ディリクレ畳み込み
2つの算術関数のディリクレ畳み込みの定義\（* \）
算術関数の定義\（T = Fの* gは\ ）
则\（\ mathbf T（N）= \ sum_ {IJ = N} \ mathbf F（I）\ mathbf G（J）\）
显然、\（F * G = G * F、F×（グラム*のK）=（Fの* gで）* K、F×（G + K）ここで、f * gを+ F * k個の\ =）を
算術関数の定義\（F \）単位素子の\（ε\） 、そう\（\イプシロン\ AST \ mathbf F = \ mathbf F *ε\）
ときに、見やすい\が（私は\）に等しい\（1 \）場合、\（ε（I）= 1 \） 、そうでなければ、\（ε（I）= 0 \）
算術関数の定義\（G \）の関数として\（F \）逆元の、すなわち\（F * G =ε\ ）
则\（G（N）= \ dfrac {1} {F（1）} \左（[N == 1] - \和の\ limits_ {I | N iはNE1 \} F（I）G（\ dfrac {N} {I}）\右）\）
3.乗法機能
数論的関数なら\（F \）場合（n⊥m\）を\満たす場合\（F（NM）= F（N）F（M）を\） 、この関数は、乗法関数と呼ばれています
共通乗法関数：\（σ* _0 \） （\（N- \）番号因子）、\（\ varphi（N-）\） （\（[1、N - 。] \）と\（N- \）素数の数）
結論：
2つの関数の1ディリクレ畳み込みは、製品の関数の積であります
次のように証明します：
设\（T = Fの* Gが\） 、则
\ [\ {{整列} \ mathbf T（NM）＆= \ sum_ {D \中間NM} \ mathbf F（D）\ mathbf G \左（\ FRACを開始NM} D \右）\\＆= \ sum_ {\ミッドN、B \ミッドM} \ mathbfのF（ab）\ mathbf G \左（\ FRAC {NM} {AB} \右）\\＆= \ sum_ {\ミッドN、B \ミッドM} \ mathbf F（A）\ mathbf F（B）\ mathbf G \左（\ FRAC NA \右）\ mathbf G \左（\ FRACのMB \右）\ \＆= \（右\ \ sum_ {\ミッドN} \ mathbf F（A）\ mathbf G \左（\ FRAC右\ NA））左\（\ sum_ {\ミッドM B} \ mathbf F（左B）\ mathbf G \左（\ FRAC MB \右）\右）\\＆= \ mathbf T（N）\ mathbf T（M）\端{整列} \]
2.一个积性函数的逆也是积性函数
次のように証明します：
セット\（グラム\）がある\（のF \）逆元
1. （NM = 1 \）は\、次に\（G（1）。1 = \） 、結論が成立
2.当\（NM> 1 \）时、则有
\ [\ {整列}開始\ mathbf G（NM）＆= - \ sum_ {中間NM、Dの\のneq1 \ D} \ mathbf F（D）\ mathbf G \左（\ FRAC {NM} D \右）\\＆= - \ sum_ {\ミッドN、\ミッドM、AB \のneq1 B} \ mathbfのF（ab）\ mathbf G \左（\ FRAC { NM} {AB} \右）\\＆= - \ sum_ {\ミッドN、\ミッドM B、ABの\ neq1} \ mathbf F（A）\ mathbf F（B）\ mathbf G \左（\ FRAC NA \右）\ mathbf G \左（\ FRACのMB \右）\\＆= \ mathbf F（1）\ mathbf F（1）\ mathbf G（N）\ mathbf G（M） - \ sum_ {\ミッドN、B \ミッドM} \ mathbf F（A）\ mathbf F（B）\ mathbf G \左（\ FRAC NA \右）\ mathbf G \左（\ FRACのMB \右）\\＆= \ mathbf G（N）\ mathbf G（M） - \左（\ sum_ {\ミッドN} \ mathbf F（A）\ mathbf G \左（\ FRAC \右）\右NA）\左（\ sum_ {B \ミッドM} \ mathbf F（B）\ mathbf G \左（\ FRAC MB \右）\右）\\＆= \ mathbf G（N）\ mathbf G（M） - \イプシロン（N）\イプシロン（ M）\\＆= \ mathbf G（N）\ mathbf G（M）\端{整列} \]
ヒント：对于一个积性函数、明らかに\（F（1）= 1 \） 、\（F（1）\ NE1 \） の状況を一時的議論なし
使用します。
乗法機能のためにすぐに与えることをスクリーニングするための線形再帰的な方法であってもよいです
我々は乗法関数に置くことができる\（F \）を、することができる\（F（N）\）分解（\を\ mathbfのF（N） = \ prod_ {I = 1} ^ T \ mathbf F（P_I ^ { } K_I）\） 、すなわち、それはの素因数分解であります
線形プライム方法のメッシュ数ので、我々は、各素因数の最小数を決定することができる\（P_1 \） 、素因数の最小数\（K_1 \）と\（N / K_1 P_1 ^ {} \） 、することができます再帰式\（\ mathbfのF（N） = \ mathbf F（P_1 ^ {K_1}）\ mathbf F（N / P_1 ^ {K_1}）\） 直接計算\（\ mathbf fが\）の
なぜなら$σ_0$および（\ varphi \）\、で容易に得られた値プライムパワー\（K> 0 \） 、\（\ sigma_0（P ^ K）= Kの+。1、\ varphi（P ^ K ）= P ^ {K-1 }（P-1）\）
从而推出公式：
\ [\ sigma_0（N）= \ prod_ {i = 1} ^ T（K_I + 1）、\ varphi（N）= \ prod_ {i = 1} ^ np_i ^ {K_I-1}（P_I -1）= N \のprod_ {i = 1} ^ T \左（1- \ frac1 {P_I} \右）\]
4.メビウス反転
定義は\（\ mathbf1 \）逆れる（\ミュー\）\します
したがってため\（\ mathbf G = \ mathbf F \ AST \ mathbf1 \） 、そこ\（\ mathbfのF = \ mathbf F \ AST \ mathbf1 \ AST \ MU = \ mathbf G \ AST \ MU \）
すなわち、もし\（\ mathbf G（N）= \ sum_ {D \ MID N-} \ mathbf F（D）\）は、\（\ mathbfのF（N） = \ sum_ {D \ミッドN} \ミュー\左（\ FRAC ND \右）\ mathbfグラム（D）\）
これはメビウス反転ことを証明しています
以下のための\（\ミュー\）の計算方法
もちろん、ので\（\ mathbf1は\）自然の産物であり、\（\ muは\）される（\ mathbf 1 \）\ので、逆に\（\ MUが\）の積であります
得ることができる：
\ [\開始{ケース} \ MU（P ^ K）= 1＆K = 0 \\ - 1 \\ 0＆K> 1つの\エンドが{ケースが} \ 1＆K =。。。。]
到着する：
\ [\ MU（N-） = \ {例}開始（ - 1）^ T＆N = p_1p_2 \ドットP_Tテキスト{\ と$ P_I $互いに異なる} \\ 0＆N \テキスト{条件が満たされていない} \エンド{事例} \]
ヒント：について\を（N = 1 \） 、次いで\（T = 0 \）
逆推論：
\ [[N == 1] = \ sum_ {D | n}は{\ MU（D）} \]
\（\ミュー\）明らかによく理解さの逆数であります