数論機能
丸め機能
定義
実数の場合は\（X \） 、覚えておいてください（\⌊x⌋）\をよりではありません\（のx \）最大の整数。
\（\ lfloor X \ rfloor \ ） 一意の整数は、以下の関係を満たす：
（\ lfloor X \ rfloor≤x<\ lfloor X \ rfloor 1 + \）\
任意の正の整数のための\（\ N-）、\ （1 \）の\（N- \）で\（D \）の倍数である\（{N}⌊\ FRAC {D}⌋\） 番目
プロパティ1
いずれかのために\（のx \）と正の整数\（A \）、\ （B \） 、我々は持っています：
\ [⌊⌊\ FRAC {X} {A}⌋/b⌋=⌊\ FRAC {X} {AB}⌋\]
プロパティ2
\（⌊\ FRAC {n}は {D}は⌋\） 種2√n値を超えてはなりません。
証明します
任意の正の整数のための\（\ N-） 、場合考える\（1≤d≤n\）場合、\を（{⌊N-} \ {D} FRAC⌋\）値の異なる数。
もし\は（Dさ≤\ N-SQRT \） 、得ることができる\（⌊の\ FRAC {n}が {D}⌋\） ないより\（\ SQRT N \）種。
もし\（D> \ N-SQRT \）、次いで\（{N}⌊\ FRAC {D}⌋≤\ {N-FRAC} {D} <\ N-SQRTの\）、およびので\（⌊\ FRAC {N} {D}は⌋\）この時のように、正の整数
値を超えてはならない（\ \ SQRT N \）種。
要約すると、\（⌊\ {N-FRAC⌋} {D} \）値を超えてはならない\を（2 \ SQRT N \）種。
ハーモニック数
\ [\開始{整列}＆H_ {N} = \ sum_ {k = 1} ^ {N} \ FRAC {1} {K} \\＆= \ LN N + \ガンマ+ O（1）\端{整列} \]
リリースであることができる：
\ [\ =整列開始{} \ sum_ 1} = {D} ^ {N- \ lfloor \ {N-FRAC} {D} \ rfloor = \シータ（N-logN個）\左端ALIGN = {} \左]を
プライム・カウント機能
定義された素数定理＆
だから、プライム・カウント機能の\（\ piは（N）\ ） 以下を表す（\ N-）\素数の数を。我々は、次の素数定理を持っています：
\ [\ PI（N）\ SIM \ FRAC {n}は{\のLN、N} \]
当然の結果：
\（N- \）素数密度付近の約\（\ FRAC。1 {{} \} N-LN \） 。
最初の\（N- \）素数\（N-P_ {} \ N-SIM \ N-LN \）。
乗法機能
定義
セット\（F \）任意の正の整数が互いに素のためならば、算術関数である（A、B \）\、している\（のF（ab＆）= F（A）F（B）\） $ Fと呼ばれます、 $は乗法関数です。
任意の正の整数のためであれば\（A、B \）され、\（のF（ab＆）= F（A）F（B）\）は、$ F $が完全可積分性と呼ばれています。
ユニットの機能
定義
ユニットの機能\は（\イプシロン（N）\ ） のように定義されます
。。。\ [\開始{ALIGN =左} \イプシロン（N）= [N- = 1] = \左\ {\開始{行列}＆1、N- = 1; \\ ＆0、N \のneq1。\右\端{行列} \端{ALIGN} \]
約数関数
定義
除数関数\（\ sigma_ {K} \ ） を示すために\（N- \）因子\（K \）を乗と：
\ [\開始{整列} \ sigma_ {K}（N）= \ sum_ {D | n}はD ^ {K} \端{整列} \]
約数数\（\ sigma_ {0}（ N）\） と呼ばれることが多い（（N-）\ D）\、及び数について\（\ sigma_ {1}（ N）\） と呼ばれることが多い（\ \シグマ（N-）\） 。
約数関数は、乗法関数です。
\（オイラー\）機能
定義：
\（オイラー\）関数\（φ（n）が\）以下で表す\（N- \）と\（N- \）素数は正の整数です。
（N- \）\分解合成および除外基準、我々が得ることができる\（オイラー\）式の関数：\ [\ varphi（N）= N- CDOT \のprod_ \ {I} = ^ {S} 1。 （1- FRAC \ {1} { P_ {I}}）\]
前記\（N = P_ {1} ^ {\ alpha_1} P_ {2} ^ {\ alpha_2}···P_ {S} ^ {\ alpha_s} \） である\（N- \）標準分解。
ことを確認することは容易で\（オイラー\）関数は乗法関数です。
プロパティ1
任意のN- $のために\（、\）オイラーの$関数は、次のプロパティがあります。
\ [N = \ sum_ {D | N} \ varphi（D）\]
証明1
\（1 \）に\（\ N-）に従い、すべての整数\（N- \）最大公約数の分類。
もし\（GCD（N、I）= D \）、次いで\（GCD（\ {N-FRAC} {D}、\ FRAC {I} {D}）= 1 \）。しかし、\（\ FRAC {I} { D}は\） 超えていない\（\ FRAC {n}は{ D}は\） の整数であり、そのようなように（私は\）\た（φ（\ FRAC {を\ n } {D}）\） A。
全て考える\を（D | N- \） 、我々はまた、アカウントにすべてた\（1 \）の\（\ N-）との間の\（N- \） 、従って整数を\ [N = \ sum_ {dは | N } \ varphi（\ FRAC {N }、{D}）= \ sum_ {D | N} \ varphi（D）\] である：
ID = \ varphi [\ 1 * \]。
証明2
証明することができる\（F（N）= \ sum_ {D | N} \ varphi（d）は\） 乗法関数であり、次いで、素数の証明書\（P \）がある
\ [F（P ^ c）は = \ sum_ {D | P ^ C } \ varphi（D）= \ varphi（1）+ \ varphi（P）+ \ varphi（P ^ 2）+ ... + \ varphi（P ^ {C-1}） = P ^ C \]
、等比級数の和を定義することによって得られ、容易に入手できると結論することができます
ヒントは、物質の力でその性能を研究するために、乗法機能を研究します。
プロパティ2
\（p型| \ N-） 、その後、\（\ varphi（NP）= \ varphi（N-）のP- \） 。
用途は以下のとおりです。
\（\ varphi（P ^ K）=（P-1）P ^ {（K-1）} \）
コード：
phi[t]=phi[i]*(i%p[j]?p[j]-1:p[j]);\（メビウス\）機能
メビウス関数を定義：
\ [\ MU（N）= \整列N =} {始まる- && 1. 1 && \\ 0 &&は完全な方形係数を有する\\＆（ - 1）^ P && 異なる素因数pは製品\\ \エンド{整列} \]
この関数であり、なぜ私が無知な力は、この機能はとても自然に感じていませんでしたときに最初にこれを見たが、私は知りません......
しかし、実際には、それは多くの場合、関数である\（1 \）というの$ \ミュー* 1 = \イプシロンの逆 $。
具体的に導出して、見ることができるここに。（実際には、包含と除外の一種のようです？）
これはメビウス反転の必要性を満たしています。
乗法逆関数：
もし\（F * G = \イプシロン\） 、その後、\（F \）と\（G \）の逆数。
メビウス反転
既存の関係：
\ [\ F {整列}開始
（N）= \ sum_ {D | N} F（D）\端{整列} \] である：
[F. = F * 1 \] \を
我々は容易に見つけた場合（F \）\あなたは簡単に見つけることができます\（F \）場合は、逆にし、\（F \） 、どのように我々は見つけるのですか尋ねるのは簡単\（F \） ？
\ [Fの*の\のMU = F
* 1 * \ MU = Fの*の\イプシロン= \ F] 複数メビウス反転：
場合：
\ [F.（N-）= \ sum_ {N- | D} F（D）\]で
ある
：[F（N）= \ sum_ {N- | D} \ \ MU（D / N-）F（D）\ ]
も：
場合：
\ [F.（N-）= \ sum_ {K = 1} ^ {\ inftyの} F（KN）が\]
である：
\ [F（N）= \ sum_ {K = 1} ^ {\ inftyの} \ MU （K）F（KN）\ ]
ヒント：
\ [[GCD（I、J）= 1] = \ sum_ {D | GCD（I、J）} MU（D）\ \。]
証明：
由\（\ MU * 1 = \エプシロン\） 、
即\（\ sum_ {D | N} \ミュー（D）= [N = 1] \） 、
\（N- \）に置き換えられ、\（GCD（i、j）が \） 式です。
次に\（D | GCD（x、 y）が\） に変換することができる\（D | X、D | Y \） 、
そして、多くの場合、列挙\（D \）に\（私は\）、\ （J \）解答ブロックを追求するために貢献。
主なアイデア：
「の使用交換フィットオーダー」と「変更列挙簡素化します」。
ブロック数論
書かないで、特定のは、要約レコードは思考、よく書いていないことを証明しています。
その他のトピックやスキルを記述します