公式
組合
S_I \ | S_I \キャップS_j | | + \ sum_ {I <J <K} \ sum_ {I <J} - | bigcup_ {iは1 =} ^ nS_i \右\ | | = \ sum_i | S_I $$ \左キャップS_j \キャップS_K | - \ cdots +（ - 1）^ {N-1} | S_1 \キャップ\ cdots \キャップS_N | $$
証明します
T_m $、ldots \、それは$ T_1、T_2のコレクションに属していると仮定要素$ X $については、その後、解答への貢献は以下のとおりです。
$$ | \ {T_I \} | - | \ {T_I \キャップT_J | I <J \} | + | \ {T_I \キャップT_J \キャップT_K | I <J <K \} | - \ cdots +（ - 1 ）^ {M-1} | \ {T_1 \キャップT_2 \キャップ\ cdots \キャップT_m \} | \\ = \ binom {M} {1} - \ binom {M} {2} + \ cdots +（ - 1 ）^ {M-1} \ binom {M} {M} = 1 $$
従って、各要素は一度だけ計算され、それはセットサイズの和であります
交差点
\左| \ bigcup_ {I = 1} ^ N \上線{S_I} \右| $$ - | $$ \左| = | | U \ bigcap_ ^ nS_i \右{I 1 =}
$、$ \上線{S}は$ $ S U-の$ $ $の補数であるU- $のコレクション
これは、右側及び包含と排除の計算に設定することができます
証明します
その後、$ X \で\ bigcup \上線{S_I}場合は$、$ \ iが存在し、S_I $ notin \ X、$ X $即ち、交点が存在しない場合、寄与はゼロであり、そうでない場合は、Aに寄与
交差点の和のこのように最終的なサイズ
例
間違った行の問題
$ \私をFORALL、P_I \ NEQ I $：次の条件の$ P $の配置数は、$ $ N-所定の長さです
ソリューション
インクルージョン排除を考えてみましょう：
$ | | S_I bigcap \設定$ S_I $アレンジコレクションNEQ I $を$ P_I \ $ P $を満たす表現し、その要求の対象は$です
式によると：
$$アンス= \左| \ bigcap_右\ ^ nS_i {iは1 =} | = | U | - \左| \ bigcup_ {I = 1} ^ N \上線{S_I} \右| \\ = | U | - \ sum_i | \上線{S_I} | + \ sum_ {I <J} | \上線{S_I} \キャップ\上線{S_j} | - \ cdots - （ - 1）^ {N-1} | \上線{ S_1} \キャップ\ cdots \キャップ\ {上線S_N} | $$
お知らせ：
$$ \ FORALL A_1 <A_2 <\ cdots <A_M、\左| \ bigcap_ {I = 1} ^ M \上線{S_ {a_iを}} \右|！=（NM）$$
そう：
$$アンス= \ sum_ {M = 0} ^ N（-1）^ M \ sum_ {a_iを<A_2 <\ cdots <A_M} \左| \ bigcap_ {I = 1} ^ M \上線{S_ {a_iを} } \右| = \ sum_ {iが0} ^ = N（-1）^ I \ binom {n}は{I}は（NI）= N \ sum_ {I = 0} ^ N \ FRAC {（ - 1！ ）^ I} {私！} $$
そして、あなたは$祈っ$ O（n）の中に滞在することができます
問題を着色チェッカー：
n行m列の正方形、ブラック一部格子グリッド黒液各列あたりの行の少なくとも数満たすために求め選択することができ、最初は白色であります
ソリューション
そして、同様のタイトルのアイデアは、少なくとも$ $ I $ Jブラック格子に記載されていないプログラムの$行番号は、それが$ 2 ^ {（NI）（MJ）} $を得るために
包含と除外の原則によると：
$$アンス= \ sum_ ^ {iが0 =} N \ sum_ {I = 0} ^ M（-1）^ {（I + J）} \ binom {n}は{I} \ binom {M} {J} 2 ^ {（NI）（MJ）} $$
効率$ O（N ^ 2）$