5.1パスカル三角形
言い換えれば、パスカルの三角形。
そのプロパティが3で見つけることができます：
1）\（\ {N}ステージ{K} = \ N {ステージ} {NK} \）
2）\（\和\ limits_ {K = 0} ^ N \ binom {n}は{K} = 2 ^ N \）
3）パスカルの三角形項\（\ binom {n}は{ K} \） の値は、点から最良を表すへのパスの数。
5.2二項定理
二項定理
セット\（N- \）全てについて、正の整数である\（X \）と\（Y \）有していて\（（X + Y）^ N = \和\ limits_ {K = 0} ^ N \ binom {N} {K} X ^ KY ^ { NK} \）
で\（Y = 1 \）特殊な状況場合：\（（1 + X）^ N- = \ SUM \ limits_ {K = 0} ^ N- \ Binom {N-} {K} X ^ K \） 、また一般的に使用される式。
共通のアイデンティティ二項係数に：
1） {N} = \ {n段1} {K-1} \）の\（K \ステージ{N}
式は、定義されたカードで開くことができます。
2） \（\ binom {N} {0} + \ binom {n}は{1} + \ binom {n}は{2} + ... + \ binom {N} {N} = 2 ^ N \）
オーダー\（1 X = Y = 1 \）は、二項定理症候群に置換することができます。（組み合わせてもよい推論）
3） 交错和（\ \ {n}はステージ0} { - \ {n}は{1} \ {N}ステージ{2}のペアリング- \ステージ{N} {3} +···+（ - 1） ^ N \ N {ステージ} {N} = 0 \）
また、書き込むことができる（\ binom {n}は{\ 0} + \ binom {n}は{2} +···= \ binom {n}は{1} + \ binom {N} {3} + ... = 2 ^ {N-1} \）
オーダー\（X = 1、Y -1 = \） 、二項定理症候群に置換することができます。（組み合わせてもよい推論）
4） \（1 \ binom {n}は{1} +2 \ binom {n}は{2} + ... + N \ binom {N} {0} = N2 ^ {N-1} \）
使用\（K \ Binom {N-} {K} = N- \ Binom {N - 1} {K-1} \）、左側は次のように書くことができる\（N \ binom {N - 1} {0} + N \ binom 1-N- {}} {1 + ... + N - \ 1-N-Binom {} {} = 1-N-N2 -N- {^} 1 \）。
5） 連続導出を使用して上の（X \）\乗じた\（\和\ limits_ {K = 1} ^ NK ^ P \ binom {n}は{K} \） は正の整数で\（P \）のアイデンティティ
由\（（1 + X）^ N = \和\ limits_ {K = 0} ^ N \ binom {n}は{K} X ^ K \）
両側\（X \）誘導体：。\（N-（1 + X）^ {N - 1} = \ SUM \ limits_ {K = 0} ^ N- \ Binom {N-} {K} KX ^ {K-1 } \）
（注文は\（X = 1 \）を得ることができる：\（N2 ^ {N - 1} = \ SUM \ limits_ {K = 0} ^ NK \ Binom {N-}は{K} = \ SUM \ limits_ {K = 1。 NK ^} \ {N-Binom {K}} \））
乗客の両側\（X \）与える：（。。NX（1 + X）を} ^ 1-N- = {\ SUM \ limits_ {0} ^ N-K = \ {N-Binom KX} {K} ^ K \）\
両側\（X \）誘導体：。。。 - （（1 + X）^ {N - 1} + X（N - 1）（1 + X）^ {N - 2} \（N）= \ SUM \ limits_ { K = 0} ^ N \ binom {n}は{K} K ^ 2×^ {K-1} \）
（注文\（X = 1 \）を得ることができる：\（N-（N + 1）2 ^ {N - 2} = \ SUM \ limits_ ^ NK ^ 2 {= 0 K} \ Binom {N-} {K} =。 \ SUM \ limits_ K = {}。1 NK ^ 2 ^ \ N-Binom {} {} K \））
6） ヴァンデルモンド畳み込み式（\ \和\ limits_ {K = 0} ^ N \ binom {M1} {K} \ binom {M2} {NK} = \ binom {M1 + M2} {N} \）
特殊フォーム\（\和\ limits_ {K = 0} ^ N \ binom {n}は{K} ^ 2 = \ binom {2N} {N} \）
：証明推論の組み合わせ使用
集合\（S \）を有すること\（M2 \ M1 +）要素の集合を、（\ binom {M1 + M2 \ \} {N}） のカウントである（\ S）\ \ （N- \）セットの部分空間の数。\（S \）に分割されている\（A、B \） 2つのサブセット、\（| A | = M1、| B | = M2 \） 。各検討\（S \）\（N- \）を含むYuanziセット\（K \）を\（A \）要素および\（NK \）\（B \）要素、\（Kを\ ）の（0 \）\に\（N- \）整数。\（S \）\（N- \）部分空間は、に応じて設定することができる（\ K）\大きさに分割されています
\（N + 1 \）部分、及び各部分のサイズは\（\ binom {M1} {
K} \ binom {M2} {NK} \） 利用可能な原理加算器によって、\（\ SUM \ limits_ {K = 0} ^ N \ binom { M1} {K} \ binom {M2} {NK} = \ binom {M1 + M2} {N} \）
一般二項係数
\（\ binom {R}、{K} \） 、\（R、Z \におけるk \のR \）
\ [\開始{式*} \ binom {R}、{K} = \開始{ケース} \ FRAC {R（R-1）...（R-K + 1）} {K！}＆K \当量1 \\ 1及びk = 0 \\ 0＆K \当量-1 \端{ケース} \端{式*} \]
式（\ \ binom {R}、{ K} = \ binom {R-1}、{K} + \ binom {R-1} {K-1} \） と\（K \ binom {R} 、{K} = R \ binom {R-1} {K-1} \） 依然として成り立ちます。
2つの加算式で求めパスカル漸化式：
1） \（\ binom {R} {0} + \ binom {R + 1} {1} + .. \ binom {R + K}、{K} = \ binom {R + K + 1}、{K} \ ）
最初の式は、左に適用\（{\ binom {R} - \ 1}） 可能にします。
2） \（\ {0}ステージ{K} \ {1}ステージ{K} + .. \ステージ{n}は{K} = \ {ステージN + 1} {K + 1} \）
最初の式は、左に適用\（\ binom {0} { K + 1} \） 可能にします。
5.3二項係数のシングルピーク
二項係数列\（\ binom {N} { 0}、\ binom {n}は{1}、...、\ binom {N} {N}は\） 最大の単峰性配列である（\ \ binom {N} {\ lfloor N / 2 \ rfloor} = \ binom {N} {N / 2 \ rceil \ lceil} \）
多項式定理5.4
シンボルはちょっと、あまりにもハードヒット......
5.5ニュートンの二項定理
いくつかの輸出型が生成機能で非常に重要です。
5.6 posetsの詳細を
定理5.6.1（\ （ディルワース\）定理"二元性"の定理）
提供される（\（X、\のLeq \）を）提供、半順序の有限集合である（R＆LT \）\チェーンの最大サイズです。\（X- \）に分割することができる\（R＆LT \）未満に分割されていない記事抗鎖、（R＆LT \）\条逆ストランド。
\（ディルワース\）定理
提供される（\（X、\のLeq \）を）提供、半順序の有限集合である\（M \）逆ストランドの最大サイズです。\（X- \）に分割することができる（M \）\以上に分割ストランド、\（M \）チェーン。