空間定義：ベクトル空間によって、ベクトルは、2回の基本的な操作で構成されるセット、ベクトル加算器、およびスカラー倍、次の公理です。
1、U + V = V + U
2、U +（V + M）=（U + V）+ M
U、M、Vベクトルで
3、C（V + M）= CV + CM
4、（C + D）* M = CM + DM
5、C *（D * V）=（C * D）* V
ここで、C、Dはスカラー、Vであり、mはベクトルであります
定義された部分空間：ベクトル空間V Hの部分空間は、ベクトル空間Vの部分集合であり、3つのプロパティを満たします。
1、Vは、空間H内にゼロベクトルであります
ベクトルHのいずれか2、クロージャのHベクトル加算、即ち、U、V、U + VはHのままであります
3は、Hスカラー乗算はCと任意のスカラーV、ベクトルCVが依然として空間Hである、すなわち、ベクトルHのいずれかのために、閉鎖され
例：ベクトル空間R ^ 2、ベクトル空間は部分空間R ^ 3である場合？
いいえ、ベクトルR ^ 3は、三つの要素、一つの定義を満たしていない、すなわちゼロベクトルR ^ 3 [0,0,0]を有し、一方、R ^ 2ではない、ベクトルRにおける^ 2つののみ二つの要素、なぜならインチ しかし、セットH = {S、T、0]：S、T}は実数である3つの条件の定義を満たしているため、部分空間R ^ 3です。