製剤 - この記事では、異なる形態、すなわち、時間依存性製剤、時間調和製剤およびそれらの対応する\（\ varphi \ \ VECT {A}）で有名なマクスウェル方程式をまとめたものです。
時間依存マクスウェル方程式
マクスウェル方程式は、通常、偏微分方程式および構成法の両方では、次の時間依存性の形で提供されています。
偏微分方程式：
\ [
\開始{整列}
＆\テキスト{アンペアの法則：} \ナブラ\回\ VECT {H} = \ VECT {J} = \ VECT {J} _c + \ FRAC {\部分の\ VECT {D}} { \部分T} \ラベル{EQ：アンペア時} \ CR
＆\テキスト{ファラデーの法則：} \ナブラ\回\ vectを{E} = - \ FRAC {\部分の\ VECT {B}} {\部分トン} \ CR
＆\テキスト{ガウスの法則のための$ \ VECT {D} $：} \ナブラ\ CDOT \ vectを{D} = \ロー\ CR
＆\テキスト{ガウスの法則$ \ VECT {B} $のために：} \ナブラ\ CDOT \ VECT {B} = 0
\端{整列}
\]
構成方程式：
\ [
\開始{整列}
\ VECT {D}＆= \ varepsilon \ VECT {E} \ CR
\ VECT {B} =＆ミュー\のVECT {H} \
\端{整列}
\]
4つの偏微分方程式は互いに独立していないことに留意すべきです。そして、それらの相互関係は、以下の明確化されています。
（a）の合計電流の連続性を得ることができ、アンペールの法則に発散を適用します。
\ [
\ {式}開始
\ナブラ\ CDOT（\ナブラ\回\ VECT {H}）= \ナブラ\ CDOT \ VECT {J} = \ナブラ\ CDOT \（左\ VECT {J} _c + \ FRAC { \部分の\ VECT {D}} {\部分T} \右）= 0
\ラベル{EQ：総電流連続}
\端{式}
\]
その後、電荷保存の法則は次のように規定されている場合
\ [
\ {式}開始
\ FRAC {\部分\のロー} {\部分T} + \ナブラ\ CDOT \ VECT {J} _c = 0、
\端{式}
\]
我々は\ている（\ FRAC {\部分\のロー} {\部分T} = FRAC \ {\部分} {\部分T}（\ナブラ\ CDOT \ VECT {D}）\）。我々はさらに、\（\ VECT {D} \）のためにガウスの法則を初期条件\（\ロー\ vert_ {T = 0} = \ナブラ\ CDOT \ VECT {D} \ vert_ {T = 0} \）を適用した場合得られます。
一方、ガウスの法則は、\ eqrefに（\ RHO \ナブラ\ CDOT \ VECT {D} = \）\を代入することにより、最初に与えられている場合、{EQ：総電流連続}、電荷保存則を導出することができます。
短いために、アンペールの法則は、総電流の連続性を暗示しています。総電流及び電荷保存則ならびにのみ\のためのガウスの法則に\（T = 0 \）、鉛（\ VECT {D}で規定されている\（\ VECT {D} \）のためにガウスの法則の連続\ ） いつでも。一方、電荷保存則は、いつでも\（\ VECT {D} \）の合計電流とガウスの法則の連続性から誘導することができます。
（b）は、ファラデーの法則に発散を適用し、我々は持っている\（\ナブラ\ CDOT（\ナブラ\回\ vectを{E}）= - \ FRAC {\部分} {\部分T}（\ナブラ\ CDOT \ VECT {B }）= 0 \）。もし初期条件\（\ナブラ\ CDOT \ VECT {B} \ vert_ {T = 0} = 0 \）規定され、時間の原点から宇宙には磁荷が存在しない、すなわち、次に\のためのガウスの法則（ \ VECT {B} \）を得ることができます。
（C）追加の印加電流（\ \ VECT {J}は_i \）関与している、電荷保存則になった場合
\ [
\ {式}開始
\ FRAC {\部分\のロー} {\部分Tを} + \ナブラ\ CDOT（\ VECT {J} _c + \ VECT {J} _i）= \ FRAC {\部分\のロー} { \部分T} + \ナブラ\ CDOT（\シグマ\ VECT {E}）+ \ナブラ\ CDOT \ VECT {J} _i = 0
端\ {式}
\]
非導電性領域（\ \ Omega_I \）において、導電\（\シグマ\）はゼロであり、自由電荷密度は時間変動があってはなりません。したがって、我々は\（\ナブラ\ CDOT \ VECT {J} _i = 0 \）、印加電流が発散フリーであるべきである、すなわち。
時間調和マクスウェル方程式
偏微分方程式：
\ [
\開始{整列}
＆\テキスト{アンペアの法則：} \ナブラ\回\ phsvect {H} = \ phsvect {J} = \ phsvect {J} _c + \ RMI \オメガ\のphsvect {D} =（\シグマ+ \ RMIオメガ\ varepsilon）\ \ phsvect {E} \ CR
＆\テキスト{ファラデーの法則：} \ナブラ回\ phsvect {E} = \ - \ RMI \オメガの\ phsvect {B} = - \ RMI \オメガ\ミューの\ phsvect {H} \ CR
＆\テキスト{$ \ VECT {D} $のためのガウスの法則：} \ナブラ\ CDOT \ phsvect {D} = \ PHS {\のロー} \ CR
用＆\テキスト{ガウスの法則$ \ VECT {B} $：} \ナブラ\ CDOT \ phsvect {B} = 0
\端{}整列
] \
構成方程式：
\ [
\開始{整列}
\ phsvect {D}＆= \ varepsilon \ phsvect {E} \ CR
\ phsvect {B} =＆ミュー\のphsvect {H} \
\端{整列}
\]
（a）はアンペールの法則への代替オームの法則と（\ phsvect {J} _i \）、我々が持っている追加の印加電流\を考えます
\ [
\開始{式}
\ナブラ回\ \ phsvect {H} = \シグマ\ phsvect {E} + \ RMIオメガ\ \ varepsilon \ phsvect {E} + \ phsvect {J} _i =（\シグマ+ \ RMI \オメガ\のvarepsilon）の\ phsvect {E} + \ phsvect {J} _i。
\ラベル{EQ：アンペア高調フル}
\端{式}
\]
複素数値の導電率の\（\シグマ+ \ RMI \オメガの\ varepsilonの\）ことに注意してください表示されます。
我々が持っている、（b）は式の\ eqref {アンペア高調フルEQ}のようにアンペアの法則に発散を適用します
\ [
\開始{式}
\ナブラ\ CDOT \左[（\シグマ+ \ RMIオメガ\ varepsilon \）\ phsvect {E} \右] + \ナブラ\ CDOT \ phsvect {J} _i = 0
端\ {式}
\]
印加電流\（\ phsvect {J} _i \）が発散を含まないので、全電流、すなわち、伝導電流プラス変位電流の連続性が得られます。
\ [
\開始{式}
\ナブラ\ CDOT \左[（\シグマ+ \ RMI \オメガ\ varepsilon）\ phsvect {E} \右] = 0
\端{式}
\]
具体的には、非導電性ドメイン\（\ Omega_I \）で、伝導電流は消滅し、我々はラプラス方程式を持っています
\ [
\開始{式}
\ナブラ\ CDOT \左（\ varepsilonの\のphsvect {E} \右）= 0
\端{式}
\]
（c）は、ファラデーの法則に発散を適用し、\（\ VECT {B} \）のためにガウスの法則は、その後あり、
\ [
\開始{式}
\ナブラ\ CDOT（\ナブラ\回\ phsvect {H}）= \ナブラ\ CDOT（ - \ RMI \オメガ\のphsvect {B}）= \ナブラ\ CDOT \ phsvect {B} = 0
\端{式}
\]
非導電性ドメイン\（\ Omega_I \）で、それがためにガウスの法則につながる一方、（D）以上をまとめると、我々は知っているドメイン\（\ Omega_c \）を行うには、アンペールの法則は、総電流の継続につながること\ （\ VECT {D} \）。一方、ファラデーの法則は、\（\ VECT {B} \）のためにガウスの法則を意味しています。
時間調和マクスウェル方程式の渦電流近似
変位電流\無視（\ RMI \オメガ\ varepsilon \ phsvect {E} \）、次のように我々は、時間調和マクスウェル方程式の渦電流近似値を得ます。
\ [
\開始{整列}
＆\テキスト{アンペアの法則：} \ナブラ\回\ phsvect {H} = \ phsvect {J} = \シグマ\ phsvect {E} \ CR
＆\テキスト{ファラデーの法則：} \ナブラ\回\ phsvect {E} = - \ RMI \オメガの\ phsvect {B} = - \ RMIの\オメガ\ミューの\ phsvect {H} \ CR
＆\テキスト{$ \ VECT {D} $のためのガウスの法則：} \ナブラ\ CDOT \ phsvect {D} = PHS {\のロー} \ \ CR
＆\テキスト{ガウスの法則のために$ \ VECT {B} $：} \ナブラ\ CDOT \ phsvect {B} = 0
\端{整列を}
\ ]
（a）は、アンペアの法則は、変位電流の用語が含まれていないので、\（\ VECT {D} \）のためにガウスの法則は間違いなくそれ以上アンペアの法則から導出することができません。
（b）は、ドメイン\（\ Omega_c \）、\（\シグマ\ \ 0 NEQ）とアンペールの法則に発散を適用を行うには。それゆえに
\ [
\開始{式}
\ナブラ\ CDOT（\ナブラ\回\ phsvect {H}）= \ナブラ\ CDOT（\シグマ\ phsvect {E}）= 0
\端{式}
\]
これは、変位電流の欠如に起因する伝導電流の継続です。印加電流は\（\ phsvect {J} _i \）、アンペールの法則に表示され、それが発散フリーですので、伝導電流の連続性は依然保持している場合。
（C）非導電性領域（\ \ Omega_I \）で、\（\シグマ= 0 \）とアンペールの法則は、（\回\ \ナブラをphsvect {H} = 0 \）\または\（回\ \ナブラなる\ phsvect {H} = \ phsvect {J} _i \）、印加電流が存在する場合。そして、それに発散を適用することだけに縮重である、（0 = 0 \）\生成されます。したがって、\（\ VECT {D} \）のためにガウスの法則がもうアンペアの法則から導出することができず、明示的に\（\ Omega_I \）に適用されなければならない、すなわち、\（\ナブラ\ CDOT \ phsvect {D} = \ナブラ\ CDOT \左（\ varepsilonの\のphsvect {E}右\）= 0 \）。
次のように（D）上記を要約、時間調和マクスウェル方程式の渦電流近似です。
\ [
\開始{整列}
＆\テキスト{アンペアの法則：} \ナブラ\回\ phsvect {H} = \ phsvect {J} = \シグマ\ phsvect {E} \ CR
＆\テキスト{ファラデーの法則：} \ナブラ\回\ phsvect {E} = - \ RMIの\オメガ\ミューの\ phsvect {H} \ CR
＆\テキスト{$ \ VECT {D} $のためのガウスの法則：} \ナブラ\ CDOT \ phsvect {D} = 0 \ ; \ {$ \ Omega_I $における}テキスト
\端{ALIGN}
\]
\（\ VECT {A} - \ varphi \）時間依存マクスウェル方程式のための製剤
ましょう\（\ VECT {B} = \ナブラ\回\ VECT {A} \）と\（\ VECT {E} = - \ナブラ\ varphi - \ FRAC {\部分の\ VECT {A}} {\部分T } \）。
従って、（A）式の\ eqref {アンペア時EQ}にアンペアの法則に代入
\ [
\ナブラ\時間は= \ VECT {J} _c + \ FRAC {\部分} {\部分T} \（右\ VECT {A} \ \ FRAC {1} {\ MU} \ナブラ\回）左\します左の[\ varepsilon（ - \ナブラ\ varphi - \ FRAC {\部分の\ VECT {A}} {\部分T}）\右]。
\]
用語を並べ替え、アンペールの法則はなり
\ [
\ {式}開始
\ナブラ\回左\（\ FRAC {1} {\ MU} \ナブラ\回\ VECT {A} \右）+ \ varepsilonの\ナブラの\ FRAC {\部分の\ varphi} {\部分T} + \ varepsilonの\のFRAC {\ \ 2 ^部分VECT {A}} {\部分T ^ 2} = \ VECT {J} _c。
\ラベル{EQ：アンペア則-aphi}
\端{式}
\]
（b）は、ファラデーの法則のために起因採用\（\ VECT {A} - \ varphi \）の電位、
\ [
\ナブラ\時間\ VECT {E} = \ナブラ\時間は左\（ -右\ FRAC {\部分の\ VECT {A}} {\部分T} \ - \ナブラ\ varphi）= - \ナブラ回\ （\ナブラ\ varphi） - \ FRAC {\部分} {\部分T} \左（\ナブラ回\ \ VECT {A} \右）= - \ FRAC {\部分の\ VECT {B}} {\部分T }。
\]
したがって、ファラデーの法則を自動的に\（ - \ varphi \ \ VECT {A}）の選択により満たされます。
（C）\（\ VECT {D} \）のためにガウスの法則：
\ [
\開始{整列}
\ナブラ\ CDOT \左[\ varepsilon \左（ - \ナブラ\ varphi - \ FRAC {\部分の\ VECT {A}} {\部分T} \右）\右] - = \ロー\ CR
- \ナブラ\ CDOT \左（\ varepsilon \ナブラ\ varphi \右） - FRAC \ {\部分} {\部分T} \ナブラ\ CDOT \左（\ varepsilon \ VECT {A} \右）＆ = \のRho \ラベル{EQ：ガウス則-FOR-D-aphi}。
\端{ALIGN}
\]
（D）\（\ VECT {B} \）のためにガウスの法則：\（\ナブラ\ CDOT \ VECT {B} = 0 \）は（\ \ VECT {A}）を自動的に\を選択することにより満足されるよう\その（\ VECT {B} = \ナブラ\回\ VECT {A} \）。
（E）効果的なマクスウェル方程式、\（\ VECT {D} \）のために、すなわち、アンペアの法則とガウスの法則の上記セットは、一意\解決しないことに留意すべきである（\ VECT {Aを} - \ varphi \） 。これは、さらに以下に説明することができます。
我々は仮定した場合\（（\ VECT {A}、\ varphi）\）方程式系の解では、任意のスカラー場（\ \のPSIの\）のために、我々は定義することができ
\ [
\ VECT {A} = \ VECT {A} + \ナブラの\のPSI、\; \ varphi '= \ varphi- \ FRAC {\部分\のPSI} {\部分T}。
\]
式\のeqrefのようアンペアの法則に代替\（（\ VECT {A}、\ varphi '）\）{EQ：アンペア則-aphi}
\ [
\ {整列}開始
\ナブラ\回左\（\ FRAC {1} {\ MU} \ナブラ\回\ VECT {A} '\右）+ \ varepsilonの\ナブラの\ FRAC {\部分の\ varphi'} {\部分T} + \ varepsilonの\のFRAC {\部分^ 2 \ VECT {A}} {\部分T ^ 2}＆= \ VECT {J} _c \ CR
\ナブラ\時間は左[\ FRAC {1 \ } {\ MU} \ナブラ時間は左、\ \（\ VECT {A} + \ナブラ\ PSI \右）\右] + \ varepsilon \ナブラ\左[\ FRAC {\部分} {\部分T} \左（ \ varphi- FRAC {\部分\のPSI}右{\部分T} \）\ \右] + \ varepsilonの\のFRAC {\部分^ 2} {\部分T ^ 2}（\ VECT {A} + \ナブラ\ PSI）＆= \ VECT {J} _c \ CR
\ナブラ\回右\左\（\ FRAC {1} {\ MU} \ナブラ\回\ VECT {A}）部分+ \ varepsilonの\ナブラの\ FRAC {\ \ varphi} {\部分T} - \ varepsilon \ナブラFRAC \ {\部分^ 2 \ PSI} {\部分T ^ 2} + \ varepsilonの\のFRAC {\部分^ 2 \ VECT {A}} {\部分T ^ 2} + \ varepsilonの\のFRAC {\部分^ 2} {\部分T ^ 2}（\ナブラの\のPSI）＆= \ VECT {J} _c \ CR
\時間\ナブラは、+、\ varepsilonの\ナブラの\ FRAC {\部分の\ varphi} {\部分T} + \ varepsilon（右\ \ FRAC {1} {\ MU} \ナブラ\回\ VECT {A}）左、\ \ FRAC {\ \ 2 ^部分VECT {A}} {\部分T ^ 2}＆= \ VECT {J} _c
\端{整列}。
\]
アンペールの法則が回収された\（\ varphi）は\（\ VECT {A}、）で満たされていることがわかります。
式の\ eqref {EQ：ガウス則-FOR-D-aphi}のように\（\ VECT {D} \）のためにガウスの法則に代替\（（\ VECT {A}、\ varphi '）\）、
\ [
\開始{整列}
- \ナブラ\ CDOT（\ varepsilon \ナブラ\ varphi '） - \のFRAC {\部分} {\部分T} \ナブラ\ CDOT（\ varepsilon \ VECT {A}'）＆= \ロー\ CR
- \ナブラ\ CDOT \左[\ varepsilon \ナブラ\左（\ varphi - FRAC {\部分\のPSI}右{\部分T} \ \）\右] - \ FRAC {\部分} {\部分T} \ナブラ\ CDOT \左[\ varepsilon（\ VECT {A} + \ナブラの\のPSI）\右] - = \ロー\ CR
- \ナブラ\ CDOT（\ varepsilon \ナブラ\ varphi）+ \ナブラ\ CDOT \左[\ varepsilon \ナブラ\左（\ FRAC {\部分\のPSI} {\部分T} \右）\右] - FRAC \ {\部分} {\部分T} \ナブラ\ CDOT（\ varepsilon \ VECT {A}） - \のFRAC {\部分} {\部分T} \ナブラ\ CDOT（\ varepsilon \ナブラ\ PSI）＆= \ロー\ CR
- \ナブラ\ CDOT（\ varepsilon \ナブラ\ varphi） - \ FRAC {\部分} {\部分T}のRho \ナブラ\ CDOT（\ varepsilon \ VECT {A}）＆= \
\端{整列}。
\]
したがって、\（（\ VECT {A}、\ varphi）\）を充填した（\ \ VECT {D} \）の元のガウスの法則が回収されます。（\（\ VECT {A}、\ varphi '））上、\を要約もマクスウェル方程式の解です。
一意溶液\（（\ VECT {A}、\ varphi）を\）を決定するために、クーロンゲージは\（\ VECT {A} \）の発散を定義するシステムに追加しなければならない、すなわち、\（\ナブラ\ CDOT（\ varepsilonの\のVECT {A}）= 0 \）。クーロンゲージを採用して、式の\ eqref {EQ：ガウス - 法律のため-D-aphiは}となり
\ [
\ {式}開始
- \ナブラ\ CDOT（\ varepsilon \ナブラ\ varphi）= \ロー、
\端{式}
\]
これは電気スカラーポテンシャルのための古典的なポアソン方程式です。
（F）最後に、\（\ VECT {A} - \ varphi \）時間依存マクスウェル方程式のための配合を以下に示します。
\ [
\開始{整列}
＆\テキスト{アンペアの法則：} \ナブラ\倍（右\ \ FRAC {1} {\ MU} \ナブラ\回\ VECT {A}）左\ + \ varepsilonの\ナブラの\ FRAC {\部分の\ varphi} {\部分T} + \ varepsilonの\のFRAC {\部分^ 2 \ VECT {A}} {\部分T ^ 2}＆= \ VECT {J} _cの\ラベル{EQ：アンペア則-aphi決勝} \ CR
＆\テキスト{ガウスの法則は、のために$ \ VECT {D} $：} - \ラベルのrho \ナブラ\ CDOT（\ varepsilon \ナブラ\ varphi）= \ {EQ：ガウス義理-FOR- D-aphi決勝} \ CR
＆\テキスト{クーロンゲージ：} \ナブラ\ CDOT（\ varepsilon \ VECT {A}）= 0 \ラベル{EQ：クーロンゲージ-aphi決勝}
\端{整列}
\]
\（\ VECT {A} - \ varphi \）時間調和マクスウェル方程式のための製剤
{：アンペア則-aphi、最終当量}、\ eqref {EQ：ガウス-FOR-D-aphi-最終法律}と\ eqref {EQ：クーロンゲージ式のシステムは、直接式の\ eqrefから誘導することができます-aphi決勝}。
\ [
\ {整列}始める
＆\テキスト{アンペアの法則：} \ナブラ\時間は左\（\ FRAC {1} {\ MU} \ナブラ\回\ phsvect {A} \右）+ \ RMI \オメガ\のvarepsilon \ナブラPHS {\ varphi} \ - \ varepsilon \オメガ^ 2 \ phsvect {A}＆= \ phsvect {J} _cの\ラベル{EQ：アンペアの法則- aphi-ハーモ} \ CR
用＆\テキスト{ガウスの法則$ \ VECT {D} $を：} - \ナブラ\ CDOT（\ varepsilon \ナブラPHS {\ varphi} \）PHS {\ = \ロー} \ラベル{EQ：ガウス則-FOR-D-aphi、ハーモ} \ CR
＆\テキスト{クーロンゲージ：} \ナブラ\ CDOT（\ varepsilon \ phsvect {A}）= 0 \ラベル{EQ：クーロンゲージ-aphi-ハーモ}
\端{整列}
\]
（a）のセクション1での議論の（a）と同様に、ここで我々はまた、アンペールの法則とクーロンゲージがシステムに代入する必要が唯一の違いで、電荷保存則にガウスの法則のリードその事実を持っています。我々が持っている、アンペールの法則に発散を適用します
\ [
\ナブラは\ CDOT \ [\ナブラ\回左（右\ phsvect {A} \ \ナブラ\回\ FRAC {1} {\ MU}）左\ \右] + \ RMI \オメガ\のナブラの\のCDOT（ \オメガ^ 2 \ナブラの\のCDOT（\ varepsilonの\のphsvect {A}）= \ナブラ\ CDOT \ phsvect {J} _c、 - PHS {\ varphi}）\ \ varepsilonの\のナブラ
\]
上の第一及び第三の用語左側はゼロです。そして、電荷保存則が得られます。
\ [
\開始{式}
\テキスト{電荷保存則：} \ RMI \オメガ\のPHS {\のロー} + \ナブラ\ CDOT \ phsvect {J} _c = 0
\ラベル{EQ：電荷保存-ハーモ}
\端{式}
\]
これは、電荷密度が実際に\（\ phsvect {J} _c \）自体一方、限り\（\オメガ> 0 \）などの伝導電流密度（\ \ phsvect {J} _c \）で表すことができるということを示唆していますさらに、以下のように伴うオームの法則に電界\（\ phsvect {E} \）で表すことができます。
\ [
\ {それは方程式と呼ばれる}開始
\ \シグマ- （ - - \組み合わせによって発生\ PHSは{\ varphi} - \、RMI \オメガはphsvect {A}を\さ）=データ{Jの} phsvect、ランク_c = \シグマ\ phsvect {E} = \シグマ\ナブラPHS \ {\ varphi} - \ RMI \シグマ\オメガ\のphsvect {A}。
\ {ラベルとにEQ：の電流密度- aphi}
\それに呼ばれる式を終了} {
\]
したがって、\（\ PHS {\のローが} \）\にその最終的な表現を使用してシステムから除去することができる（\ phsvect {A} - PHS \ {\ varphi} \）、
\ [
\開始{式}
PHS \ {\のロー} = \ FRAC {\ RMI} {\オメガ} \ナブラ\ CDOT（ - \シグマ\ナブラ\ PHS {\ varphi} - \ RMI \シグマ\オメガ\のphsvect { A}）。
\ラベル{EQ：電荷密度aphi}
\端{式}
\]
代替式の\ eqref {EQ：電流密度aphi}式の\ eqrefに{EQ：アンペア則-aphi-ハーモ}と式の\ eqref {EQ：電荷密度aphi}式の\ eqrefに{EQ：gauss-法律のための-D-aphi-ハーモ}、我々は持っています
\ [
\開始{整列}
＆\テキスト{アンペアの法則：} \ナブラ\回左\（\ナブラ\ FRAC {1} {\ MU} \回\ phsvect {A} \右）+（\シグマ+ \ RMI \オメガ\ varepsilon）\ナブラPHS \ {\ varphi} + \ RMI \オメガ（\シグマ+ \ RMI \オメガ\ varepsilon）\ phsvect {A} = 0 \ラベル{EQ：アンペア則-aphi-ハーモ決勝} \ CR
＆\テキスト{$ \ VECT {D} $のためのガウスの法則：} \ RMI \オメガ\ナブラ\ CDOT（\ varepsilon \ナブラPHS \ {\ varphi}）= - \ナブラ\ CDOT（\シグマ\ナブラ\ PHS {\ varphi} + \ RMI \シグマ\オメガ\のphsvect {A}）\ラベル{EQ：ガウス則-FOR-D-aphi-ハーモ決勝} \ CR
＆\テキスト{クーロンゲージ：} \ナブラ\ CDOT （\ varepsilonの\のphsvect {A}）= 0 \ラベル{EQ：クーロンゲージ-aphi-ハーモ決勝}
\端{整列}
\]
（B）セクション2（b）によれば、時間高調波の場合について、アンペアの法則は、非ドメインの\（\ Omega_c \）を行う際に全電流の連続性及び\（\ VECT {D} \）のためにガウスの法則を意味しますドメイン\（\ Omega_I \）を-conducting。製剤 - したがって、このプロパティはまた、時間調和\（\ varphi \ \ VECT {A}）のためにここで適用することができます。式の\ eqrefに発散を適用します{EQ：アンペアの法則 - aphi-ハーモ-最終}とも式の\ eqrefにクーロンゲージを使用し、{EQ：クーロンゲージ-aphi-ハーモ決勝}、我々は持っています
\ [
\ {整列}始める
]右\＆\ナブラ\ CDOT \左[（\シグマ+ \ RMI \オメガ\のvarepsilon）\ナブラ\ PHS {\ varphi} + \ RMI \オメガ\ナブラ\ CDOT \左[（\シグマ+ \ RMIオメガ右\ varepsilon）\ phsvect {A} \] = 0 \ \ CR
＆\ RMI \オメガ\ナブラ\ CDOT（\ varepsilon \ナブラPHS \ {\ varphi}）= - \ナブラ\ CDOT（\シグマ\ナブラPHS {\ varphi}）\ - \ナブラ\ CDOT（\ RMI \シグマオメガの\ phsvect {A}）+ \オメガ^ 2 \ナブラの\のCDOT（\ varepsilonの\のphsvect {A}）\ CR \
＆\ RMI \オメガ\ナブラ\ CDOT（\ varepsilon \ナブラPHS \ {\ varphi}）= - \ナブラ\ CDOT（\シグマ\ナブラ{\ varphi} + \ RMI \シグマオメガ\のphsvect \ PHS \ {A}）、
\端{整列}
\]
これだけの式の\ eqref {EQ：ガウス - 法律のため-D-aphi-ハーモ-最終}です。したがって、アンペアの法則は、前提条件の\（\オメガ> 0 \）の下で\（\ VECT {D} \）のためにガウスの法則を意味しています。（\オメガ= 0 \）\場合、\（\ VECT {D} \）のためにガウスの法則は、明示的に適用されるべきです。
（C）\、以上をまとめる（\ VECT {A} - \ varphi \）時間調和マクスウェル方程式のための配合物は、以下のように与えられます。
\（\オメガ> 0 \）、
\ [
\開始{整列}
＆\テキスト{アンペアの法則：} \ナブラ\回左\（\ナブラ\ FRAC {1} {\ MU} \回\ phsvect {A} \右）+（\シグマ+ \ RMI \オメガ\のvarepsilon）\ナブラPHS \ {\ varphi} + \ RMI \オメガ（\シグマ+ \ RMI \オメガ\ varepsilon）\ phsvect {A} = 0 \ CR
＆\テキスト{クーロンゲージ：} \ナブラ\ CDOT（\ varepsilonの\ phsvect {A}）= 0
\端{整列}
\]
\（\オメガ= 0 \）、
\ [
\ {整列}始める
＆\テキスト{アンペアの法則：} \ナブラ\時間は左\（\ FRAC {1} {\ MU} \ナブラ\回\ phsvect {A} \右）+ \シグマ\ナブラ\ PHS {\ varphi} = 0 \ CR
＆\テキスト{$ \ PHS {\のロー} = 0 $と$ \ Omega_I $におけるガウスの法則：} - \ナブラ\ CDOT（\ varepsilon \ナブラPHS \ {\ varphi}）= CR \ 0
＆\テキスト{$ \ Omega_c $におけるガウスの法則：} - \ナブラ\ CDOT（\シグマ\ナブラPHS \ {\ varphi}）= 0 \ CR
＆\テキスト{クーロンゲージ：} \ナブラ\ CDOT（ \ varepsilonの\のphsvect {A}）= 0
\端{整列}
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