すべての開始
ように\（のx \）は、文字列、です\（のP- \）正の整数です。会議のための場合\（0がI <ル\ | X | -p \） 任意の整数\（Iは\）を満足\（X [I] = Xは[IがPを+] \）、次いで\（Pは\）と呼ばれます\（X \）サイクル。\（X \）である最小期間が示されているよう\（あたり（X）\） 。例えば、\（あたり（abcabcabcab）= 3 \） 。
注文\（N \）が入力された文字列です\（W \）の長さ。ケースは次のように分割：
（A）の場合\（W \） 、良好な文字列（例えば\（W =アベバ\） ）
（B） （ パー（W）= 1 \ \）を（例えば、\（W = AAAAA \） ）
（C）その他の場合（例えば\（W = ABCABCABC \） ）
（A）の場合には、大幅に最適な発現である\（1 \）の最適な発現のために、\（1 \） 。
最適な発現のための（B）の場合、\（N \）の最適な発現のために、\（1 \） 。
（C）の場合には、我々は最高のように表現証明することができます\（2 \） （次の定理を参照\（5 \を））。
定理2
\（\テキスト{KMP} \ ） または（\ \テキスト{Zアルゴリズム } \） 正の整数ならば、見ることができる\（p、qは\）文字列である\（X \）期間、および\（P + Q- \ GCD（P-、Q）\ル| X- | \）、その後、\（GCD（P、Q） \） です\（X \）サイクル。
補題3
注文\（X \）非空の文字列は、以下の二つは等価です。
（I）\（X \）は良いの文字列ではありません
（II）\（| X | /当たり（X）\）の\（2 \）以上の整数。
（ⅱ）保持している場合（ii）は、下記（i）におけるように、まず、それから（i）は間違いなく、設立します。
場合は\（X \）が良く、文字列、ではありません\（| X- | /）X-（あたりGE 2 \ \）から明らかです。次に私たちはまさにそれを証明する必要があります（| X | /（につき\を X）\） 整数です\（X-が\）良い文字列は、文字列の存在を暗示されていません\（のy \）と整数\を（K \ GE 2 \） 、そう\（X \）である\（Y \）繰り返し\（K \）得られた文字列ビュー。注文\（P =）X（につき、Q = | Y | \） 、その後、\（P \ルQ = | X | / K \ル| X | / 2 \） 、以来\（P、Qは\）ですです\（X \）サイクル、および満たす\（| | X \ P + Q- \ GCD（P、Q）\ル）、定理から\（2 \）知られている、\（\ GCD（P、Q）は、 \）である（X \）\と仮定すると、期間| | X /（あたり\（ \）x）が整数ではない\（Q \）の代わりに\（P \）この時間の倍数（\ \ GCD（P、Q）<P \） 、\（P =あたり（X） \） である\（Xは\）最小期間に反しているので、（\ | X | /（x）のあたり \） の整数です。
補題4
注文\（X \）は、長さです\（2 \）以上の文字列。だから、\（M = | X- | \） 。また、聞かせて\（Y = xで[M 1 ...。 - 1] \） 。場合は\（X \）は良いの文字列、およびでない\（あたり（X）\ =。1ない\） 、その後、\（Y \）良い文字列です。
仮定\（Y \）が良いの文字列ではありません。注文\（P =）X（につき、Q =（Y）あたり\） 。補題\（3 \）と以前の仮定、\（P \）がある（Mの\）\除数、\（Q \）がされている（| Y | = M- \ 1 \） 約数を。以降\（Mの\）と\（M-1 \）互いに素なので、\（P \）と\（Q \）も互いに素である、すなわち、\（\ GCD（P、Q）= 1 \） 、加えて\（P \ルM / 2、Q \ル（M-1）/ 2 \） 、\（P \）されている（Y \）\期間を、したがって、定理によれば\（2 \）、\ （\ GCD（P、Q）= 1 \） \（Y \）サイクルのため、\（X [0] = X [P]が\） 、開始\（X \）であり、最後の\（M-1 \）すべての文字になる\（X [0] \）同じ文字は、\（（X）= 1 \あたり）を前提と競合、それは\（Y \）は、良好な文字列です。
定理5
文字列のための\（W \） 、仮定\（W \）良い文字列ではなく、\（\）W（あたりを。1 = \ません）。この場合、\（W \）最良のように表現される\（2 \） 。
長さ\（1 \）文字列は明らかに良い文字列です。さらに、補助定理によれば\（4 \）、\ （W [1 ... |。W | -1] \）ウェル列があるので、シーケンス\（（W [0]、 W [1 ... | -1]）\）| Wです\（\）wは最高の表現の一つです。明らかに、（\ w）の\は何多かれ少なかれ最適な発現1ではありません。\（W \）最適発現2。