事前知識：
\（1 \）高校の数学の知識。
\（2 \）高等数学（微分、定積分、不定積分、テイラー展開、制限、等）
- 計算モードで使用される定積分：ニュートン-ライプニッツ式:( \ （F.（）\）の\（F（）\）元の関数の、すなわち\（F ^ {「}（ ）= F（）\） ）
\ [\ int_a ^ B {f（x）がDX} = F（B）-F（A）\]
- テイラー値定理\（1 \。）：\ {！}（F（X）= F（X_0）+ F '（X_0）（X-X_0）+ \ FRAC {F'「（X_0）2}（X- X_0）^ 2 + ... + \ FRAC {F ^ {（N）}（X_0）N-} {！}（X-X_0）^ N-たR_n +（X）\）、満足\（F（X）\ ）で\（X_0 \）そこで\ \）（N-次微分、\（X \）されている\（X_0 \）近傍の任意の値、\（たR_n（X）= O（（X-X_0 ））^ nが\）ペイYanuoの残りと呼ばれます。
- テイラー値定理\（2 \）：\ {！}（F（X）= F（X_0）+ F '（X_0）（X-X_0）+ \ FRAC {F'「（X_0）2}（X- X_0）^ 2 + ... + \ FRAC {F ^ {（N）}（X_0）N-} {！}（X-X_0）^ N-たR_n +（X）\）、満足\（F（X）\ ）で\（X_0 \）近傍の有する\を（N + 1）\誘導体-order、\（X \）がある\（X_0 \）近傍の任意の値、\（たR_n（X）= \ FRAC {F ^ {N + 1}（\ XI）} {（N + 1）！}（X-X_0）^ {N + 1} \）はラグランジュ剰余と呼ばれる\（（\ XI \ ）で\（X_0 \）と\（X \）との間の\（）\） 。
- 取る：マクローリン式\（X_0 = 0、\ XI = \シータX（0 <\シータ<1）\） 時のテイラー展開を。
- 共通マクローリン式（重要）
- \（E ^ X = 1 + X + \ FRAC {X ^ 2} {2]} + \ FRAC {X ^ 3} {3！} + ... + \ FRAC {X ^ N} {N！} + \ FRAC {E ^ {\シータX}} {（N + 1）！} X ^ {N + 1} \）
- \（のSiNx = X- FRAC \ {X ^ 3} {！3} + \ FRAC {X ^ 5} {5！} ... +（ - 1）^ {M-1} \ FRAC {X ^ { 2M-1}}、{（2M-1）！} + R_ {2メートル}（X）\）
\（3 \）平均値定理（ロル、ラグランジュ、コーシーの平均値）（結合勾配の理解）
- ロルの定理：\（F（X）\）を満足\（[B] \ ） 連続、\（（A、B）\）オンにすることができ、\（F（A）= F（B）\ ）\（\ XI（\存在 \ <\ XI <B））をしている（F「（\ XI）を\ = 0 \）
- ラグランジュ定理：\（F（X）\）を満足\（[B] \ ） 連続、\（（A、B）\）ガイドに、\（\は（XI \存在しますA <\ XI <B）\ ） している\（F（B）-f（ A）= F「（\ XI）（BA）\）
- 値定理を意味する：\（F（X）、F（X）\）を満足\（[B] \ ） 連続、\（（A、B）\）ガイドに、\（\ FORALL X \に（a、b）はF「（ X）\ NE0 \） 次に、\（\が存在する\のXI（ <\ XI <B）\） している（\ \ FRAC {F（A ）-f（B）}、{F（ A）-F（B）} = \ FRAC {F '（\ XI）} {F'（\ XI）} \）
第一章：基本概念（またはそれの少し、実際に高校の知識は......です）
第二章：確率変数とその分布
\（1 \）一般的な、ランダム変数で離散的かつ連続的に、列の離散的な数はアナロジーを使用することができ、連続関数は、類推を用いてもよいです。
定積分連続離散同等で、なお、\（\シグマ\） 。
\（2 \）\（P \ {X- \}は\）確率変数の意味\（X- \）確率を、以下では、いくつかの重要な分布であります
- \（（0-1）\）分布：\（P \ {= X-K \ K ^ P} =（1-P）^ K、K = 0,1、（0 <P <1）\。）。
- ベルヌーイ実験：いずれの場合も、結果はのみ発生または発生しません。
- \（N \）重いベルヌーイ実験：やる\（N \）ベルヌーイの実験、インシデントの数を。
二項分布：\（P \ {X-K = \ N-} = {\}を選択K ^ P K（1-P）NK ^ {}、K = 0,1,2,3 ... \）おランダム変数\（X- \）のパラメータに従う\（N、Pの\）二項と呼ば（X \シムB（N \ \、P））
ポアソン分布：\（P \ {= X-K \ =} \ {FRAC \ ^ KEラムダ^ { - }} {！K K}、K = 0,1,2 ...、\ラムダ> 0 \）我々は、ランダムな変数を呼び出します\（X \）パラメータの対象（\ラムダ\）\で示される、ポアソン分布（X \ SIM \パイ（\ \ \ラムダ））
場合ポアソン分布について、二項分布は、ポアソンの定理との接触を確立するために利用することができる（np_n = \ラムダ\）を\そこ即ちとき
[\ lim_ {N \にするには、\ inftyのを\} {N Kを選択\} P ^ k_nは（ 1-P_N）^ {NK} = \ FRAC {\ラムダ^ KE ^ { - K}} {K！} \]
\（3 \）分布関数\（F（X）\） 、一次元の場合には、接頭辞として見える、つまり：\（F（X）= P \ {X- \のLeq X \} 、F（ - \ inftyの）= 0、F（\ inftyの）= 1 \）
\（4 \）分布関数での製品のは、確率密度がある\（F（X）は\） 、すなわち：\（F（X）= \ X ^ INT _ { - \ inftyの} F（T）DT、P \ {X_1 <X \当量X_2 \} = \ INT ^ {X_2} _ {X_1} F（X）DX \）
一様ランダム変数\（X- \）確率密度
\ [F（X）= \ <X <\\ 0 B＆X \ \ {\開始{アレイ} {LL} \ FRAC {1} {BA}を左＆ 当量A || X \ GEQ Bの\の
端{アレイ}右\ \] 我々は、呼び出し\（X- \）のセクションで\（）\（B ） と呼ばれる、一様分布に従う\（X〜U（A 、B）\） 。指数分布：確率変数の\（X- \）確率密度\（（\シータ> 0）\）
\ [F（X）= \左\ {\開始{アレイ} {LL} \ FRAC {1} {\シータ。 } E ^ { - \ FRAC {
X}。{\シータ}}＆X> 0 \\ 0 X \当量0 \端{アレイ} \右\] 我々が呼ぶ\（X- \）セクションで\（（a、b）が\）のパラメータに従う\（\シータ\）指数分布。ノーマル（このようなものと\（E ^ X \）は、ランダムな変数：心との間の類似点、持っている）\（X- \）確率密度\（\ムー、\シグマ\ ） 一定である\（（\シグマ> 0）\）
\ [F（X）= \ {FRAC 1}は{\ SQRT {2 \} PI \シグマ^ {E} - \ FRAC {（X- \ MU）^ 2} {2 \シグマ^ 2 }}、 - \ inftyの<X
<\ inftyの\] 我々が呼ぶ\（X- \）セクションに\（（B）\ ） パラメータに被写体に\（\ MU、\シグマ\ ） 正規分布の、示さされている（X- \ SIM N（\ MU、\シグマ^ 2）\）\。通常\（F（X）\）の最高点と画像\（X = \ MU \）で、\（\シグマ\）その形状を決定します。
\（\ MU = 0、\シグマ= 1 \） 、我々は前記標準正規確率変数、すなわち
\ [\ varphi（X）= \ FRAC {1}は{\ SQRT {2} \シグマ} E ^ { - \ FRAC {X ^ 2} {2}} - \ inftyの<X <\ inftyの\]場合\（X \ SIM N（\ MU、\シグマ^ 2）\） 次に\（Z = \ {X-FRAC \ MU} {\シグマ} \ SIM N（0,1）\） 、このJiacha適用しましたテーブルには、我々は任意の正規確率密度を見つけることができます。
第III章多次元確率変数とその分布
\（1 \）まず、第1の焦点は、我々は、別の誘導体であることが、一定一次元として見られる多次元偏導関数、ことを学ばなければなりません。
\（2 \）\（F（X、Y）\） （同時確率分布となる）。同様にエリアと、上記で定義されたと理解することができ、\（F（X、Y）= \ {FRAC部分^ 2 \ F（X、Y）}部分Y \ {\部分X} \） 、シーク方法：まず\（F（X、Y） \） A \（X \）誘導体、及びその結果である\（Y \）派生。
\（3 \）周辺確率密度：\（F_X（X）= \ INT ^ \ inftyの_ { - \ inftyの} F（X、Y）のDy、f_y（X）= \ INT ^ \ inftyの_ { - \ inftyの} F（X、Y）DX \） 。
以下のための\（F（X）\） 、もしその\（[ - ] \） 積分がオン：
\ [\ INT ^ A _ { - A} F（X）= DX \左\ { \開始{アレイ} {LL} 2 \ INT ^ a_0f（X）DX＆F（-x）= f（x）が\\ 0＆F（-x）= - f（x）が\端{アレイ} \右\]。二次元正規分布：
联合分布：
\ [F（X）= \ FRAC {1} {2 \ PI \ sigma_1 \ sigma_2 \ SQRT {1- \のロー^ 2}} EXP \ {\ FRAC {-1} {2-（1- \ロー^ 2）} [\ FRAC {（X- \ mu_1）^ 2} {\ sigma_1} ^ 2 -2 \のRhoの\ FRAC {（X- \ mu_1）（Y用の\ mu_2）} {\ sigma_1の\} + sigma_2 \ {FRAC（Y用の\ mu_2）^ 2} {\ sigma_2 ^ 2}] \} \]周辺分布は、1次元正規分布を満たすことができます。
\（4 \）条件概率：\（P \ {X = X_I | Y = Y_I \} = \ FRAC {P \ {X = X_I、Y = Y_I \}} {P \ {Y = Y_I \}} = \ FRAC {P_ {IJ}} {P _ {\ CDOT jを}} \）
条件付き確率密度：\（X-F_ {|} Y（X_Y）= \ FRAC {F（X、Y）} {f_y（Y）} \） （この式では、関節分布密度をプッシュダウンするために使用することができます）
一様分布の：設定\（\ G）平面領域上の有界領域、エリア\（\）、\ （（X、Y）\） ：確率密度を有する
\ [F（X、Y）= \左\ {\開始{アレイ} {
LL} \ FRAC {1} G \\ 0（x、y）を\で{A}・（X、Y）\ G \端{アレイ} \右。\] notin 米国\（（X、Y）\ ） で\（G \）一様分布（必ずしも均一に分布されていないエッジ分布）
\（5 \）の独立確率変数：決意の方法：\（P \ {X- \のLeq X、Y \ YのLeq \} = P \ {X- \のLeq X \} P \ {Y \ YのLeq \} 、F（X、Y）= F_X（X）f_Y（Y）\）
第4章：確率変数の数値的特徴：
\（1 \） （本質的に加重平均で）予想：\ （E（X-）= \ INT ^ \ inftyの_ { - \ inftyの} XF（X）DX \）
二項分布：\（E（X-）= NP \）
正規分布：\（MU \ E（X-）= \）
均一な分布：\（FRAC {A + B} \ E（X-）= {2} \）
ポアソン分布：\（E（X-）= \ラムダ\） （マクローリンの式を使用再び証明しました）
指数分布：\（シータ\ \ E（X-）=） （証拠の証明：）（注\（\ラムダ\）と、ここで、\（\シータ\）相反している、ここに書く\（\シータ\）そしてちょうど一貫性のための本）
定理：確率変数の場合、\は（X- \）の確率密度である\（F（X）\）、\ （\ INT ^ \ inftyの_ { - \ inftyの} G（X）F（X）DX \）絶対収束、ある：
\ [E（Y）= E（G（X-））= \ INT ^ \ inftyの_ { - \ inftyの} G（X）F（X）DX \]注意：\（E（X-）が\）一定です。\（E（CX）= CE （X）、E（X + Y）= E（X）+ E（Y）、E（XY）= E（X）E（Y）\）
\（2 \）分散：\（D（X）= \ INT ^ \ inftyの_ { - \ inftyの}のxE（X-）] ^ 2F（X）DX = E（X- ^ 2） - [E（X-） ] ^ 2 \）
ランダム変数\（X- \）の数学的期待有する\（E（X）= \ミュー、D（X）= \シグマ^ 2 \） 次に\（X ^ * = \ FRAC {X- \ MU} {\シグマ} \）となり\（Xは、\）標準化された変数。
- 通常：\（D（X-）= \シグマ^ 2 \）
- ポアソン分布：\（D（X-）=ラムダ\ \）
- 均一な分布：\（D（X-）= \ {FRAC（BA）12は、^ {2}} \）
- 指数分布：\（D（X-）= \ ^ 2 \シータ）
- 二項分布：\（D（X-）NP =（1-P）\）。
- \（D（C）= 0、D（CX）= C ^ 2D（X）、D（C + X）= D（X）\）
\（D（X- + Y）= D（X-）+ D（Y）+ 2E \ {（XE（X-））（YE（Y））\} \） 、特に（X、Y \）を\互いに独立したとき\（D（X + Y） = D（X）+ D（Y）を\）
\（3 \）共分散および相関係数：
共分散：\（Covを（X、Y）= E \ {[XE（X-）] [YE（Y）] \} \） 、相関係数：\（\ rho_ {XY} = \ FRAC {Covを（X、 Y）} {\ SQRT {D （X）D（Y）}} \）
协方差性质：\（（AXにより）= abCov（X、Y）、（X_1 + X_2、Y）=（X_1、Y）+（X_2、Y）\）
柯西施瓦茨不平等：\（| Covを（X、Y）^ 2 | \のLeq D（X-）D（Y-）\）
場合（\ rho_ {XY} = \ 0 \） 、前記\（X、Y \）は関連性がありません。二次元正規分布（\ \のRho \）がされている（X、Y \）を\相関係数である\（\ rho_ {X-Y} \ ）