線形相関は線形代数における重要な概念であり、ベクトルまたはベクトルのグループ間の線形関係を記述するために使用されます。ベクトル グループが線形関係にあるかどうかを判断する方法は次のとおりです。
1. **定義による判断**:
- すべてがゼロではない係数のセットがある場合、これらの係数の合計に対応する係数を乗算します。ベクトル グループがゼロ ベクトルに等しい場合、ベクトル グループは線形関係になります。
- ベクトル方程式がすべての係数がゼロの場合にのみ成立する場合、つまり、ベクトルのセットが各ベクトルがゼロ ベクトルの場合にのみ線形依存する場合、ベクトルのセットは線形独立です。
2. **ランクのプロパティを使用して判断します**:
- ベクトル グループのランクがベクトルの数に等しい場合、行列式が 0 でない場合、ベクトル グループは線形独立です。行列式が 0 の場合、ベクトル グループは線形独立です。の場合、ベクトル グループは線形独立、線形関係になります。
- ベクトル グループのランクがベクトルの数より小さい場合、ベクトル グループは線形関係にある必要があります。
- 任意の行列について、そのランクがその列番号より小さい場合、対応する列ベクトル グループは線形関係にありますが、そのランクが列番号に等しい場合は、線形関係または線形独立である可能性があり、さらに判断する必要があります。決定要因によって。
3. **同次一次方程式を用いた判定**:
- ベクトルグループの線形相関の必要十分条件は、対応する同次一次方程式が非ゼロの解を持つことです。
- ベクトル系が線形独立であるための必要十分条件は、対応する一次一次方程式系の解がゼロであることです。
4. **直交性を使用して判断します**:
- ベクトル グループ内のベクトルが互いに直交している場合、つまり、2 つの異なるベクトルの内積が 0 である場合、ベクトル グループは線形独立です。
- 一方、グループ内に他のベクトルで線形に表現できる非ゼロのベクトルが存在する場合、ベクトルのグループは線形依存します。
5. **最大線形独立グループを使用して判断します**:
- 最大線形独立グループがある場合、このグループ内のベクトルは他のベクトルで線形に表すことができず、他のベクトルを追加するとグループが線形関係になります。 。
6. **特殊な場合の判断**:
- ゼロ ベクトルは任意のベクトルで線形に表現できるため、ゼロ ベクトルを含むベクトル グループは線形関係にある必要があります。
- 非ゼロ ベクトルを 1 つだけ含むベクトルのセットは、この一意の非ゼロ ベクトルを表すベクトルがないため、線形独立です。
実際の動作においては、係数行列を構築してその順位を計算するか、行列式を直接計算することで、ベクトル群の線形相関を判定することができる。より複雑な場合には、行列の行階層形式を使用するか、線形代数ソフトウェア ツールを利用して決定を行う必要がある場合があります。