23 US コンペティション (質問 A) 数学モデリングの完全なコード + モデリングプロセスの完全な分析! プラントモデルの適応性、アルファ多様性分析! ロトカ・ヴォルテラモデルのモデリング

不規則な気象サイクルにおける植物群落の適応性と生存可能性を研究するには、個体ベースのモデルを使用して群落の動的な挙動を記述することができます。モデルでは次の要素を考慮できます。

種の豊かさ: コミュニティ内のさまざまな種の数と種類を考慮します。モデルは、各種の成長率、生殖率、死亡率、および相互作用 (競争や相利共生など) を文書化する必要があります。
気象条件: 各時間ステップの降雨量と気温、干ばつやその他の気象現象の確率と深刻度を記録します。
群集生態学の要因: 競争、共生、生殖制限など、植物群集内の相互作用を考慮します。
外部生態学的要因: 食物連鎖、捕食、生息地の変化など、コミュニティと周囲の環境との間の相互作用を考慮します。

ここに画像の説明を挿入します

このモデルは、代数方程式、差分方程式、または微分方程式を使用して、植物群集の動的挙動を記述することができます。数値シミュレーションを使用して複数のライフサイクルにわたる群集の行動をシミュレートし、植物群集がさまざまな気象条件や種の豊富さの変化にどのように適応するかを理解できます。
長期的な相互作用の調査: モデルの結果を分析することで、植物群落と環境の間の長期的な相互作用を調査できます。以下に考えられる結論をいくつか示します。

種の豊富さ: モデルの結果は、植物群落の適応能力が種の豊富さとともに増加することを示しています。より多くの種を群集に導入すると、群集の存続可能性が高まる可能性があります。
種の種類: モデルの結果は、植物群落内の種の種類が異なると、干ばつに対する適応力が異なることを示しています。たとえば、草は低木よりも干ばつ条件に適している可能性があります。したがって、より適応性の高い種を群集に導入すると、群集の適応度が向上する可能性があります。
気象変化: モデルの結果は、干ばつの頻度と深刻さの変化が植物群落の適応能力に影響を与える可能性があることを示しています。干ばつがより頻繁に発生すると、コミュニティは生き残るためにより多くの種が必要になります。
植物の成長、枯死、生殖など、植物群落の動的なプロセスを考慮する必要があります。これに基づいて、気象変化やその他の外部要因の影響を含む、植物群落の環境変化も考慮する必要があります。したがって、次のモデルを構築できます
。
ここに画像の説明を挿入します

其中， $N_i$ 是第 $種i$ の個体数 $私$ と $j$ $\alpha_{ij}$ 間の競争係数 $ある$ 種 $種 i に対するj$ の影響; $K_i$ 現在の環境条件下での種の最大能力、つまり環境によってサポートされる個体の最大数; $d_i$ 種の死亡率です。
このモデルは、植物群落における各種の個体数の時間の経過に伴う変化を記述します。このうち、最初の項は種 $i$ の成長率(固有の成長率 $r_i$ および競争圧力の影響。第 2 項は種 $i$ の死亡速度 $d_i$ と個体数 $N_i$
の製品。競争係数 $\alpha_{ij}$ $\alpha_{ij} > 1$ の場合、種 i に対する種 j の影響を反映します。 $ある > 1$ の場合、種 j は種 i に悪影響を及ぼします。α $\alpha_{ij} < 1$ では、種 j は種 i にプラスの影響を与えます。

次に、干ばつなどの環境要因をどのように考慮するかを検討します。干ばつは環境悪化を引き起こし、植物の成長や繁殖に影響を与える可能性があります。 $K_i$ に環境要因を導入することができます。
$K$ 、環境変化が種の数に及ぼす影響を反映するには:
ここでここに画像の説明を挿入します、 $\bar{K_i}$ 通常の環境条件下での種の最大能力; $D$ は干ばつの度合いで、値の範囲は $[0, 1]$ ；
$\ガンマ$ は、干ばつに対する種の感受性係数です。
モデル内の $D は$ 実際の条件に基づいて推定できます。たとえば、過去の気象データや気候モデルに基づいて予測できます。さらに、干ばつの程度は植物群落の水の状態に基づいて判断できるため、
植物の成長についていくつかの仮定を設定する必要があります。各植物のライフサイクルは同じであり、そのライフサイクル中に確率 $\alpha$ $\beta$ で再現します $ベータの$ 死。モデルでは、 $n_{i,t}$ 、時刻 $t$
，物种 $i$ の個体数。次に、種ごとに、その量を次のように更新できます
。ここに画像の説明を挿入します

その中でも $S$ は種の総数、 $a_{ij}$ 種 $私$ と $j$ 間の相互作用係数この相互作用係数は種
$j$ と種 $i$ 相互作用の強さ。たとえば、
$の場合、a_{ij} = 0.5$ の場合、種 $j$ の数が増えるここに画像の説明を挿入しますと
影響 $\alpha_{ij} < 0$ の場合 $ある < 0$ の場合、種 J は種 i の数に悪影響を及ぼします。つまり、その数が減少します。

次に、干ばつの影響を考慮する必要があります。干ばつイベントが発生していると仮定します。それは時刻 $t_0に発生します。$
開始および最後の D タイムステップ。 $\alpha$ を定義できます。 $α$ $\alpha'$ に減算されます $ある^{'}$ 、干ばつが終わると $\alpha$ 。 $\alpha$ を定義します。 $α$ と $\alpha'$ は同じ値に設定されます。したがって、
の更新式を次のように変更できます
。ここに画像の説明を挿入します

私たちは現在、種間の相互作用と干ばつの影響を組み込んだ植物群集モデルを開発しました。次のステップは、モデルに生物多様性の考慮を追加することです。

コミュニティ内の異なる種間の相互作用は次のように考えることができます:
競争: 異なる種は、水や栄養素などの限られた資源をめぐって互いに競争します。
協力: いくつかの種は共生し、互いの成長を促進します。
捕食: 一部の種は他の種を捕食することがあります。
これらの相互作用は次の方程式を使用して考えることができます:
競争: 各種の成長率は、他の種の数と、異なる種間の競争の程度を反映する競争係数によって影響を受けるはずです。
ここに画像の説明を挿入します

其中， $N_i$ を代表する $i$ 種の数、 $r_i$ を代表する $種i$ $C_{ij}$ の競争のない成長率 $C$ を示します種 $j$ 種 $i$ $K_i$ を代表する種の環境容量 $i ．$
協力：各種の成長率は、共生種の数と、異なる種間の協力の程度を反映する協力係数によって影響を受けるはずです。
その中でここに画像の説明を挿入します
、 $A_{ij}$ を示します種 $j$ $種i$ の協調係数
捕食: 各種の成長率は、捕食者の数と、異なる種間の捕食の程度を反映する捕食係数によって影響を受けるはずです。

その中で、 $P_{ij}$ を示します種 $j$ $種i$ の捕食係数
これら 3 つの相互作用を総合的に考慮すると、次の式が得られます
。ここに画像の説明を挿入します

したがって、この方程式を使用して、干ばつの期間を含む、群集内のさまざまな種の存在量の時間の経過に伴う変化を予測できます。

干ばつサイクルや異なる種間の相互作用など、植物群落の時間の経過に伴う変化をシミュレートするために使用されます。このモデルは、植物群落内のすべての種が成長率、枯死率、および干ばつ耐性について同じコードを持っていると仮定しています。

import random
import matplotlib.pyplot as plt
 
# 模拟参数
num_species = 4         # 物种数量
pop_size = 1000         # 群落初始总体积
time_steps = 500        # 模拟时间步数
rainy_season_len = 100  # 雨季的长度
dry_season_len = 50     # 干季的长度
reproduction_rate = 0.01  # 繁殖率
mortality_rate = 0.005    # 死亡率
drought_resistance = [0.5, 0.7, 0.9, 1.0]  # 干旱抵抗力
 
# 初始化物种
species = [i+1 for i in range(num_species)]
 
# 初始化种群数量
population = [pop_size//num_species for _ in range(num_species)]
 
# 记录种群数量的变化
populations_over_time = [population]
 
# 开始模拟
for t in range(time_steps):
    # 判断当前是雨季to see the full version below 还是干季
    if t % (rainy_season_len + dry_season_len) < rainy_season_len:
        drought_resistance_factor = 1.0
    else:
        drought_resistance_factor = random.choice(drought_resistance)
 
    # 对每个物种进行模拟
    for i, s in enumerate(species):
        # 计算出生和死亡数量
        births = reproduction_rate * population[i] * drought_resistance_factor
        deaths = mortality_rate * population[i]
 
        # 更新种群数量
        population[i] = int(population[i] + births - deaths)
 
        # 确保种群数量不会变为负数
        if population[i] < 0:
            population[i] = 0>?DA?SD to see the full version below 
 
    # 将本步骤的种群数量添加到列表中
    populations_over_time.append(population)
 
# 绘制图表
plt.figure(figsize=(10, 5))
for i, s in enumeto see the full version below rate(species):
    plt.plot(range(time_steps+1), [p[i] for p in populations_over_time], label='Species {}'.format(s))
plt.xlabel('Time')
plt.ylabto see the full version below el('Population')
plt.title('Plant Community Dynamics')
plt.legend()
plt.show()

このモデルは、時間の経過とともに異なる干ばつサイクルにランダムにさらされる植物群落を単純にシミュレートします。シミュレーションでは、各植物種の存在量が時間の経過とともにどのように変化し、異なる種間の相互作用が時間の経過とともにより明らかになるかを示しています。

質問2：

コミュニティ内の種の数が多いほど、生態系はより安定して機能します。数学的モデリングでは、生態学的指標を使用して、種の多様性と生態系機能の関係を説明できます。以下は、一般的に使用される生態学的指標の一部です。

アルファ多様性: 群集内の種の数と豊富さ
ベータ多様性: 異なる群落間の種の違い
ガンマ多様性: 地域内の種の数と豊富さ

生態系機能: 材料リサイクル、土壌保全、水源保護など、生態系が提供できる生態学的サービス。

「群集が利益を得るには、何種類の植物種が必要ですか?種の数が増えると何が起こるでしょうか?」という質問に答えるために、多様性と生態系機能の関係のモデルを使用することを検討できます。モデルは次の仮定に基づいています。

群集内の種が異なれば、生態系機能への貢献も異なります。
種の多様性と生態系機能の間には「変曲点」があり、種の多様性がこの変曲点に達すると、生態系機能は大幅に向上します。
生態系の機能は生態系の安定性と密接に関係しています。
上記の仮定に基づいて、次の式を使用して群集内の種の多様性と生態系機能の関係を記述することができます: $E = f (S)$

このうち、E は生態系機能を表し、S は群集内の種の数を表します。関数 f は、生態系機能と種の数の関係を表します。実際のアプリケーションでは、関数 f は一次関数、指数関数、対数関数などを採用できます。

実験データをフィッティングすることで関数 f を決定できます。得られた関数 f をフィッティングすることで、生態系機能と群集の種の多様性の間の関係を推定し、生態系機能を最大化するために群集内に必要な異なる植物種の数を予測できます。

種の数が増加すると、生態系の機能が増加します。しかし、一定の数に達すると、種を追加しても生態系機能は大幅に改善されなくなります。この量は「生態系機能変曲点」と呼ばれます。
したがって、群集に必要な種の最小数は、生態系の機能と研究対象の種の多様性の間の特定の関係によって異なります。一般に、種の数が少ない場合、種の数を増やすと生態系の機能が大幅に向上します。

植物群落内の種の数と干ばつへの適応性の関係をより深く理解するために、次の数式を使用します。

アルファ多様性指数:
アルファ多様性指数は、群集内のさまざまな種の数と相対的な存在量を測定します。次の式で計算できます
。ここに画像の説明を挿入します

ここで、S はコミュニティ内のさまざまな種の数、 $p_i$ 群落内の i 番目の植物の相対量です。
ベータ多様性指数:
ベータ多様性指数は、異なる群集間の種の違いを測定します。次の式で計算できます: S は、異なる群集
内 x_{ij} ここに画像の説明を挿入します
$バツ$ は $i $コミュニティと$ j$ コミュニティの $k$ 種の植物の相対数の差。
ガンマ多様性指数:
ガンマ多様性指数は、地域全体または地域内のさまざまなコミュニティの種の多様性を測定し、次の式で計算できます
。ここに画像の説明を挿入します

この式は、アルファとベータの多様性指数を組み合わせて、地域全体の種の多様性を示します。
干ばつ深刻度指数:
干ばつ深刻度指数は干ばつ深刻度の尺度であり、次の式を使用して計算できます
。ここに画像の説明を挿入します

ここで、 t は時間ステップ、 P_t は時間 t 中に観測された降雨量、は長期平均降雨量、ここに画像の説明を挿入します

は降雨量の標準偏差です

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
# 模型参数
n_species = 10 # 物种数量
n_steps = 1000 # 模拟步数
t_sdama!tep = 0.01 # 时间步长
alpha = 0.2 # 感受性系数
beta = 0.5 # 竞争系数
gamma = 0.2 # 恢复系数
drought_mamafreq = 0.2 # 干旱发生频率
drought_severity = 0.5 # 干旱严重程度
 
# 初始化模型
x = np.random.rand(n_species)
y = np.random.rand(n_species)
 
# 模拟植物群落动态
for i in range(n_steps):
    # 计算当前时间步的环境影响
    env = np.random.rand(n_species)dama1
    drought = np.where(env < drought_freq, drought_severity, 0)
 
    # 计算物种数量变化率
    dx = x * (alpha - beta * x - gamma * y) + drought
    dy = y * (alpha - beta * y - gamma * x)
 
    # 更新物种数量
    x += dx * t_step
    y += dy * t_step
 
    # 保证物种数量非负
    x = np.maximum(x, 0)
    y = np.maximum(y, 0)
 
# 绘制结果
plt.plot(np.arange(n_species), x, label='Species X')
plt.plot(np.arange(n_specidama!es), y, label='Species Y')
plt.legend()
plt.xlabel('Species')
plt.ylabel('Abundance')
plt.show()

このコードは、ロトカ-ヴォルテラモデルを使用して、植物群落内の 2 種間の相互作用 (競争や捕食など) を記述します。このうち、αは感受性係数、βは競争係数、γは回復係数を表します。同時に、コードは植物群落に対する干ばつの影響も考慮します。ここで、drought_freq は干ばつの発生頻度を表し、drought_severity は干ばつの深刻度を表します。

質問 3: 干ばつがより頻繁に発生し、より変動すると、将来の気象サイクルにどのような影響がありますか? 干ばつの頻度が低くなった場合、種の数は個体群全体に同じ影響を及ぼしますか?

干ばつの頻度の変化は、特に長期スケールで植物群落の生態系動態に影響を与える可能性があります。この場合、植物群落に対する干ばつの頻度と強度の変化の影響を反映するようにモデルを調整する必要があります。以下に、これらの効果を調べるために使用できるいくつかの公式と方法を示します。

植物群落に対する干ばつの頻度の変化の影響は、干ばつイベントの確率分布を調整することによって反映できます。特定の干ばつイベントの発生確率は、特定の分布に従う確率変数として表現できます。正規分布、ポアソン分布などのさまざまな分布関数を使用して、干ばつイベントの確率分布を表すことができます。モデルの変更は、これらの分布関数のパラメーターを調整することで実現できます。

干ばつの頻度と強さの変化も、植物の成長速度と生殖能力に影響を与えます。これらの変化は、適切な成長機能と生殖機能を使用して反映できます。たとえば、次の式を使用して、植物群落における種の個体数の増加を説明できます
。

このうち、N_t は種の個体数を表し、r は種の成長率を表し、 $\beta$ 人口密度依存係数 $D_t$ 干ばつ時の水不足により死亡した個体数を示します。

干ばつの頻度の変化も、異なる種間の競争関係に影響を与える可能性があります。干ばつがより頻繁に発生すると、植物種間の競争がより激しくなる可能性があります。この影響は、競合関係のパラメーターを調整することで実現できます。たとえば、ロトカ-ヴォルテラ方程式は植物間の競争関係を説明するために使用できます
。

このうち、N_i は種 i の個体群規模を表し、 $r_i$ 種 i の成長率を表します、 $\alpha$ 人口密度依存係数 $K は$ コミュニティの最大収容力を表します。

干ばつの頻度が減れば、種の豊富さが個体群全体に及ぼす影響は変化する可能性があります。特に、干ばつがまれになると、より多くの種が生息する群落の方が干ばつに対する適応力が高まるため、よりうまくいく可能性があります。
汚染や生息地の喪失などの要因は、植物群落の生存能力に悪影響を与える可能性があるため、これらの要因がモデルに与える影響を考慮する必要があります。このうち、光合成速度の最大値を初期値の一定の割合に調整することで、汚染が植物の成長に及ぼす影響をシミュレーションできます。生息地の減少は、植物群落の最大収容力を減らすことによってシミュレートできます。
具体的には、光合成速度の最大値は次のように表すことができます
。

ここで、は光合成速度の初期最大値、は光合成速度に対する汚染の影響係数、は汚染レベル、値の範囲は [0,1] です。生息地の削減は、モデル内の最大収容力 k を次のように減らすことで
達成できます。

シミュレーションするには、k0 は初期の最大収容力、kh は最大収容力に対する生息地の減少の影響係数、および生息地の減少の程度であり、値の範囲は [0,1] です。
これらの要因の影響を考慮した後、モデル内の植物数の影響を再評価する必要があります。これらの要因は植物の成長と繁殖に影響を与えるため、個体群全体に対する植物の存在量の影響を遅らせたり、歪めたりする可能性があります。
具体的には、生息地の減少と汚染がさらに大きくなると、植物群落の最大環境収容力と光合成速度が低下する可能性があり、それによって植物数が個体群全体に及ぼす影響が遅くなる可能性があります。逆に、生息地と汚染レベルが低い場合、植物の豊富さが個体群全体に及ぼす影響はより顕著になる可能性があります。
要約すると、汚染や生息地の喪失などの要因を考慮した更新モデルの Python は次のとおりです。

代码：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
def alpha_diversity(species_abundances):
    """
 计算Alpha多样性指数
    """
    N = np.sum(species_abundances)
    p = species_abundances / N
    alpha = p * N
    return alpha
 
def beta_diversity(species_abundances_list):
    """
 计算Beta多样性指数
    """
    S = len(species_abundances_list)
    N = np.sum(species_abundances_list)
    p = np.sum(species_abundances_list, axis=0) / N
    beta = (S / (S - 1)) * (1 - np.sum(p ** 2))
    return beta
 
species_abundances_list = np.array([[10, 5, 2, 0], [8, 3, 5, 1], [12, 6, 3, 0]])
 
# 计算Alpha和Beta多样性指数
alpha = alpha_diversity(species_abundances_list[0])
beta = beta_diversity(species_abundances_list)
alpha_list = [0.15, 0.2, 0.25]
beta_list = [0.4, 0.6, 0.8]
 
# 定义物种数量变化函数
def species_change(alpha, beta, t, i, j):
    # 计算物种数量
    s = 100  # 初始物种数量
    n = len(t)
    x = np.zeros(n)
    y = np.zeros(n)
    x[0] = y[0] = s
    alpha, beta = n, n
    for item in range(1, n):
        alpha = alpha - alpha_list[i] * 0.1 * item / pow(n, 0.25)
        beta = beta - beta_list[j] * 0.1 * n / item
        x[item] = x[0] - alpha
        y[item] = y[0] - beta
    # 计算物种数量变化
    return x, y
 
 
# 绘制物种变化图
fig, axs = plt.subplots(len(alpha_list), len(beta_list), figsize=(10, 10))
t = np.arange(0, 100, 1)
for i, alpha in enumerate(alpha_list):
    for j, beta in enumerate(beta_list):
        x, y = species_change(alpha, beta, t, i, j)
        axs[i, j].plot(t, x, label='Species 1')
        axs[i, j].plot(t, y, label='Species 2')
        axs[i, j].set_title(f'Alpha={alpha}, Beta={beta}')
        axs[i, j].set_xlabel('Time')
        axs[i, j].set_ylabel('Population')
        axs[i, j].legend()
 
plt.tight_layout()
plt.savefig("./photo.jpg")
plt.show()

質問: 「あなたのモデルは、植物群落の長期生存を保証するために何をすべきかを示唆していますか?また、より大きな環境への影響は何ですか?」

生息地の保護と回復: 生息地の喪失は、植物群落の存続に対する大きな脅威の 1 つです。生息地を保護し回復することで、植物にはより多くの生存空間と資源が提供され、植物群落の生存と繁栄が促進されます。

汚染の制御: 汚染は植物の成長と繁殖に悪影響を与える可能性があります。したがって、汚染を抑制するための効果的な措置を講じることは、植物群落を保護するために必要なステップです。

多様性の促進: 私たちのモデルは、植物群落内に複数の植物種が存在することが、群落の生存と安定性にプラスの影響を与えることを示しています。したがって、植物種の多様性を促進することにより、植物群落の生存能力と安定性を向上させることができます。

国民の意識の向上：公教育を強化し、植物群落の保護に対する国民の注目と意識を高め、良好な社会的雰囲気と合意を形成し、植物群落の長期的な生存と保護に貢献します。

環境への影響が大きいという点では、上記の措置は生態系全体にプラスの影響を及ぼし、生態系の回復と発展を促進し、生態系の安定性と耐干渉性を向上させ、全体にプラスの影響を及ぼします。生態学的環境。

全文と完全なアイデアについては、以下の記事とコードを参照してください:
23 米国コンペティション (質問 A) 数学的モデリングの完全なコード + モデリングプロセスの完全な分析 - csdn

23 US コンペティション (質問 A) 数学モデリングの完全なコード + モデリング プロセスの完全な分析! プラント モデルの適応性、アルファ多様性分析! ロトカ・ヴォルテラモデルのモデリング

質問2：

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