1. 説明
モーダル解析では、研究対象のシステムは通常、質量、剛性、および減衰要素のセットとして表されます (減衰は次の記事では無視されています)。システムの運動方程式を解くことにより、システム振動の固有振動数と、対応する振動形状または運動モードを決定できます。
固有振動数は、システムが励起または妨害されたときに振動する傾向がある周波数を表します。各固有振動数は振動モードに対応しており、振動モードは特定の振動数に関連付けられた固有の運動パターンです。モード形状は、各振動モードでシステムがどのように動き、変形するかを表します。
モーダル解析は、構造工学、機械工学、航空宇宙工学、音響学などのさまざまな分野で一般的に使用されています。構造設計、振動絶縁、騒音制御、故障解析に応用できます。システムの自然なパターンを理解することで、エンジニアは共振しにくい構造を設計し、性能を最適化し、弱点や過度の振動などの潜在的な問題を特定できます。
2. 直感
さまざまな概念に加えて、関連するモーダル解析とフーリエ解析 でパターンの感覚を得ることができます。
モーダル解析は、振動システムの動きを個々の振動モードに分解することに焦点を当てています。各モードは、特定の固有振動数と対応する振幅を持つ固有の運動パターンを表します。モーダル解析では、固有振動数とモード形状を決定することにより、システムの動的挙動を理解し、分析することができます。
一方、フーリエ解析は、複雑な信号をより単純な正弦波成分の合計に分解するために使用される数学的手法です。これは周波数領域の信号を表し、各正弦波成分は特定の周波数と振幅に対応します。フーリエ解析は、信号処理、スペクトル解析、時間領域と周波数領域間の信号の変換に一般的に使用されます。
モーダル解析とフーリエ解析はどちらも信号をより単純な成分に分解する必要がありますが、基礎となる原理と目標は異なります。モーダル解析は物理システムの固有振動モードに焦点を当てますが、フーリエ解析は信号の正弦波成分へのスペクトル分解を扱います。
要約すると、モーダル解析とフーリエ解析は信号の分解においていくつかの類似点を共有していますが、異なる目的に使用される異なる技術です。モーダル解析は特に物理システムの振動挙動に関係しますが、フーリエ解析は周波数領域信号を解析するためのより一般的な数学ツールです。
フーリエ解析とモード解析の関係（著者）
このモードは、振動システムによって示される特定の運動パターンを指すことに注意してください。各モードは変位の一意の組み合わせに関連付けられ、固有振動数に対応します。
固有振動数はシステムの固有の特性であり、その質量、剛性、形状によって決まります。固有振動数は、外部からの力を加えずに励起または妨害されたときにシステムが振動する傾向のある周波数を表します。システム内の各振動モードには、対応する固有振動数があります。
ただし、共振周波数は、システムが外部励起 (力) を受けたときに最も強い応答または増幅を示す周波数です。これは、励起周波数がシステムの固有周波数と一致するか、それに近い場合に発生します。共振は、励起とシステムの間のエネルギーの効率的な伝達により、より大きな振動振幅をもたらします。
固有値解析の文脈では、固有値はシステムの特性方程式を解くことによって得られるパラメータです。特性方程式はシステムの動的挙動に関係し、剛性と質量の行列が関係します。固有値は特性方程式の根を表し、システムの固有振動数を決定します。各固有値は特定の振動モードに対応し、そのモードが振動する周波数を表します。
3. モーダル解析の概要
ラグランジュ方程式で記述される機械システムは、方程式が結合していることが多いため、解くのが難しい場合があります。これは、1 つのコンポーネントの動きや動作が他のコンポーネントの動きに影響を与えることを意味します。
結合システムでは、運動方程式をコンポーネントごとに独立して解くことはできません。これらの方程式は、変位、速度、加速度、または力の複数の成分を含む項によって相互に関連付けられています。
カップリングは、スプリング、ダンパー、相互依存する力など、システムのさまざまな部分間の物理的な相互作用や接続によって発生することがあります。
結合システムを解くには、方程式の相互依存性を考慮し、同時に方程式を解き、コンポーネント間の相互作用を満たす完全な解を取得する必要があります。これは、各方程式を独立して解くことができる、連成されていない方程式系を解くよりも複雑になる可能性があります。
このようなシステムでは、通常、運動方程式を切り離し、独立した振動モードで表現することを目的としたモーダル解析を使用します。これにより分析が簡素化され、各モードを個別に (モーダル座標で) 検査できるようになります。
以下の図は、固有値解析の概要を示しています。
4. 吸収体の設計とシミュレーション
設計分析を単純化するために、質量 1 が周期的な力 F を受けるシナリオを考えてみましょう。この力は質量 1 の動きに影響を与えます。スプリングを介してマス 1 に接続された吸収マス 2 コンポーネントの目的は、これらの動きを軽減することです。
私たちのシステムのモデルは次のように表すことができます。
動的方程式は、Ruge-Kutta 法を適用して解きました。
私たちの目標は、質量 1 の静止状態に影響を与える質量 2 の特定の条件 (質量とバネの剛性の値) を見つけることです。
動的方程式は比較的単純なので、固有値解析は必要ありません。それにもかかわらず、問題のモデルの分析における主な手順の概要を説明して、議論を適切に終えることは有益でしょう。
手順は以下の通りです。私たちのシステム (運動方程式) では、固有値問題を解く必要があります。これは、モード周波数 (固有値) とモード形状 (固有ベクトル) を決定する必要があることを意味します。Python で議論された方程式を解き、固有値と固有ベクトルの 2 つのペアを決定しました。
後で計算された固有値とベクトルを適用して、システムのモードを見つけます。最後に、次のようにシステムのモードを指定できます (詳細については、ここを参照してください )。
モード1
モード2
次に、システム全体の応答を分析する必要があります。以前に計算されたパターンを合計し、絶対値をプロットします。
この図を分析すると、質量 1 の動きが無視でき、質量 1 が静止したままになるいくつかの異なる周波数が存在することが明らかです。この特定の周波数は反共振周波数 (ここでは 15rad/s) と呼ばれます。
詳細な設計を作成するには、ラグランジュ運動方程式を解く標準的な方法に従って、対応する解を見つけます。この方程式の解は調和的であり、次のように表すことができます。
この調和解を使用すると、速度と加速度を簡単に計算し、ラグランジュ運動方程式に代入できます。
いくつかの基本的な代数を適用すると、方程式を次の形式に簡略化できます。
質量 1 が静止する条件を見つけるには、Y = 0 について与えられた方程式を解きます。
これらの値を代入することで、必要な周波数の二乗を満たす質量 2 とバネ 2 の剛性の設計条件を決定できます。質量 2 の変位も決定できます。当社の設計基準は次のとおりです。
再び運動方程式を使用し、設計条件を適用してアブソーバーを正しく設計できます。
質量 1 と質量 2 の間に係数があると仮定すると (通常は比率 0.1)、(質量 1 の) 支配周波数を指定できます。
代数計算により、オメガがオメガ(*)に等しい場合、質量 1 は一定のままとなる方程式が得られます。
この関係をプロットすると、モデル解析で期待されるのと同じプロットが生成されます。
15rad/s に等しい周波数では、質量 1 (Y=0) の動きを除去できます。質量 1 と質量 2 のスケーリング係数を使用すると、k2 の剛性を簡単に見つけることができます。
設計基準に従って 2 つの質量の動きをシミュレートできます。ここで、質量 1 の動きをキャンセルするために k2 の剛性を計算します。
ソースコードは私のGitHub にあります。
m1のモーションはほぼ削除（筆者）
予想通り、ダンパーは質量 1 の動きを (ほぼ) 排除します。
参考:マルクス・ブッフホルツ