素数を見つける最も簡単な方法は、もちろん 1 つずつたどって、順番に素数であるかどうかを判断することです。問題の核心は素数の判断に戻りますが、数値が素数であるかどうかをどのように判断するのでしょうか?
素数の性質は 1 つだけです。つまり、因数は 1 とそれ自体の 2 つだけであり、この性質を使って素数を判断することしかできません。したがって、n が素数かどうかを判断したい場合は、2 から n-1 までたどることができると想像できます。n-1 の数値のいずれも n を割り切れない場合、n は素数です。C言語の演習で出てきたと記憶していますが、一言で言えば非常にシンプルで、最も単純なアルゴリズムと言えます。
オングストロームふるい法
今回ご紹介するエラトステネスのアルゴリズムは、彼が素数を選別するために発明した手法で、便宜上、一般的にはエシェリヒアの篩、あるいは篩と呼ばれています。エシェリヒアふるい法の考え方は非常にシンプルです。つまり、スクリーニングされた素数を使用して、それで割り切れるすべての数値をフィルタリングすることです。この素数は自然数を濾す篩のようなもので、篩にかけて残った数は当然前の素数では割り切れない数であり、素数の定義によればこの残った数も素数となります。
たとえば、100 以内のすべての素数をフィルターで除外したい場合、2 が最小の素数であることがわかっているので、2 を使用して最初にすべての偶数をフィルターで除外できます。次に、3 に戻ります。3 は、2 でふるいにかけた後に残った最初の数値であり、素数でもあります。次に、3 を使用して、3 で割り切れるすべての数値をふるいにかけます。スクリーニング後、後方へのトラバースを続けます。最初に遭遇する数字は 7 なので、7 も素数です。トラバースが終了するまで上記のプロセスを繰り返します。最後に、100 までのすべての素数が得られます。
それでもよく理解できない場合は、プロセス全体を非常に明確に再現した次のアニメーションを見てください。
時間計算量は O(nlognlongn)
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1e7;
int prime[N + 1];
bool visit[N + 1];
//素数筛
//埃式筛
int E_sieve(int n) {
int k = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) visit[i] = false;
// 1.普通
/* for (int i = 2; i <= n; i++) {
if (!visit[i]) {
prime[k++] = i;
for (int j = i * 2; j <= n; j+=i) { // i的倍数筛选调
visit[j] = true;
}
}
}*/
//2.优化 有些数可能会被多筛几遍 这样会影响时间复杂度
for (int i = 2; i * i <= n; i++)
if (!visit[i])
for (int j = i * i; j <= n; j += i) visit[j] = true;
int k = 0;
for (int i = 2; i <= n; i++) { // i * i 前面的合数被更小的素数划掉了
if (!visit[i]) prime[k++] = i;
}
return k; // 1~n中的素数
}
int main() {
return 0;
}オイラーふるい
オイラーふるい法は線形ふるい法とも呼ばれ、1~nの素数をO(n)線形時間でふるい分けることができます。
たとえば、合成数 6 は、素数 2 と 3 で取り消し線を引くことができます。このとき、最小の素数を明確に取り消す必要があるだけです。
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1e7;
int prime[N + 1];
bool visit[N + 1];
//素数筛
//埃式筛
int E_sieve(int n) {
int k = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) visit[i] = false;
// 1.普通
/* for (int i = 2; i <= n; i++) {
if (!visit[i]) {
prime[k++] = i;
for (int j = i * 2; j <= n; j+=i) { // i的倍数筛选调
visit[j] = true;
}
}
}*/
//2.优化 有些数可能会被多筛几遍 这样会影响时间复杂度
for (int i = 2; i * i <= n; i++)
if (!visit[i])
for (int j = i * i; j <= n; j += i) visit[j] = true;
int k = 0;
for (int i = 2; i <= n; i++) { // i * i 前面的合数被更小的素数划掉了
if (!visit[i]) prime[k++] = i;
}
return k; // 1~n中的素数
}
bool vis[N + 1];
int euler_sieve(int n) {
int cnt = 0;
memset(vis, 0, sizeof(vis));
memset(prime, 0, sizeof(prime));
for (int i = 2; i <= n; i++) {
if (!vis[i]) prime[cnt++] = i;
for (int j = 0; j < cnt; j++) {
if (i * prime[j] > n) break; //越界的不需要了
vis[i * prime[j]] = 1;//prime中全部的素数相乘一定式合数
if (i % prime[j] == 0) break; // 每个合数只被最小质因子划掉
}
}
return cnt;
}
int main() {
return 0;
}