C++ 赤黒ツリーの原理と実装

前のセクションでは、AVL ツリーについて学習しました。AVL ツリーは、ほぼ完璧でバランスに近いツリーです。しかし、マップとセットの基礎となるパッケージ化には、赤黒ツリーが使用されています。赤黒ツリーが使用されていることがわかります。 AVL ツリーよりも優れた利点があります。次に、赤黒ツリーの基本原理と特定のコード実装を見てみましょう。

 

赤黒木のコンセプト:

赤黒ツリーは 二分探索ツリー です が、ノードの色を示すストレージ ビットが各ノードに追加されます。ノードの色は赤または黒になります。

黒 。 赤黒ツリーは、ルートからリーフまでのパス上の各ノードの色を制限することで、パスが影響を受けないようにします。

このパスは他のパスの 2 倍の長さになるため 、 平衡に近く なります。

 赤黒木の性質:

1. 任意のパスの任意のノードから葉ノードまでの黒いノードの数は同じです。

2. ツリー全体に隣接する赤いノードはありません。ノードが赤の場合、その隣接する子ノードは黒でなければなりません。

3. ルート ノードは黒です。

4. 各葉ノードは黒です。(ここでのリーフ ノードは空のノードを指します)

赤黒ツリー ノードの定義:

enum Colour
{
	RED,
	BLACK,
};

template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{
	pair<K, V> _kv;
	RBTreeNode<K, V>* _left;
	RBTreeNode<K, V>* _right;
	RBTreeNode<K, V>* _parent;
	Colour _col;

	RBTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_kv(kv)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _col(RED)
	{}
};

コンストラクターで色がデフォルトで赤に設定されているのはなぜですか?

赤は安全な方法であるため、挿入されたノードが黒の場合、プロパティ 1 に違反する必要があります。赤いノードを挿入する場合は異なりますが、挿入されたノードの親ノードが黒の場合、挿入は上記のプロパティに違反しません。これは確率の問題であり、明らかに、黒いノードを挿入した場合に問題が発生する確率は、赤いノードを挿入した場合よりもはるかに高くなります。

赤黒の木への挿入:

赤黒ツリーの挿入条件は AVL ツリーの挿入条件と同じであり、元の AVL ツリーの特性が維持されます。

template<class K, class V>
class RBTree
{
	typedef RBTreeNode<K, V> Node;
public:
	pair<iterator,bool> Insert(const T& data)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(data);
			_root->_col = Black;
			return make_pair(iterator(_root), true);  //make_pair方式返回
		}

		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		KeyofT kot;
		while (cur)
		{
			if (kot(cur->_data) < kot(data))
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (kot(cur->_data) >kot( data))
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return make_pair(iterator(cur), false);
			}
		}
		
		cur = new Node(data);
		Node* newnode = cur;

		cur->_col = Red;
		
		if (kot(parent->_data) > kot(cur->_data))
		{
			parent->_left = cur;
			cur->_parent = parent;
		}
		else
		{
			parent->_right = cur;
			cur->_parent = parent;
		}
private：
     Node* _root=nullptr;
}

データを挿入した後、赤いノードを挿入しているため、バイナリ ツリーのバランスをとる必要があります。赤いノードの親が黒いノードの場合、条件に違反していなければバランスをとる必要はありません。親ノードが赤いノードの場合、連続した赤いノードを持つというルールに違反するため、バランスを取る必要があります。

ケース 1: cur は赤、p は赤、u は赤、g は黒です。

 g がルート ノードの場合、調整が完了すると g は赤になるはずですが、ルート ノードの性質としてルート ノードは黒なので、g を黒に変更します。

 g がルート ノードでない場合、このとき g のノードの色は赤になりますが、g の親も赤の場合は上方に調整し続ける必要があります。

解決策: p、uを黒に、g を赤に変更し、 g をcurとして取り、上方への調整を続けます。

ケース 2 : cur は赤、 p は赤、 g は黒、 u は存在しない /u は存在するが黒

 2 番目のケースでは、u が存在するか、u が存在しないかという状況に応じて議論する必要があります。しかし、u が存在する場合、それは黒いノードでなければなりません。

処理方法: p を軸として右 1 回転を実行します。右 1 回転後、p ノードは黒に、g ノードは赤に変わります。バランスの取れた二分木図は次のとおりです。

 逆に、p が右側、u が左側、cur が p の右側にある場合は、p を軸として左 1 回転が実行されます。

ケース 3: curは赤、pは赤、gは黒、uは存在しません/uは存在し、黒です

 状況 3 上図の g、p、cur が破線であり、p が凸であることがわかったので、まず p を軸として左 1 回転し、次に g を中心として右 1 回転します。 。残高コードは次のとおりです。

//调整平衡，并且更新颜色
		while (parent && parent->_col == Red)
		{
			Node* grandfather = parent->_parent;
			if (parent == grandfather->_left)
			{
				Node* uncle = grandfather->_right;
				if (uncle && uncle->_col == Red)
				{
					parent->_col = uncle->_col = Black;
					grandfather->_col = Red;
					cur = grandfather;
					parent = cur->_parent;
				}
				else
				{
					if (parent->_left == cur)
					{
						RotateR(grandfather);
						parent->_col = Black;
						grandfather->_col = Red;
					}
					else if (parent->_right == cur)
					{
						RotateL(parent);
						RotateR(grandfather);
						cur->_col = Black;
						grandfather->_col = Red;
					}
					else
					{
						assert(false);
					}
					break;
		        }
			}
			else
			{
				Node* uncle = grandfather->_left;
				if (uncle && uncle->_col == Red)
				{
					parent->_col = uncle->_col = Black;
					grandfather->_col = Red;
					cur = grandfather;
					parent = cur->_parent;
				}
				else
				{
					if (parent->_right == cur)
					{
						RotateL(grandfather);
						parent->_col = Black;
						grandfather->_col = Red;
					}
					else if (parent->_left == cur)
					{
						RotateR(parent);
						RotateL(grandfather);
						cur->_col = Black;
						grandfather->_col = Red;
					}
					else
					{
						assert(false);
					}
					break;
				}

			}
		} 
		_root->_col = Black;
		return make_pair(iterator(newnode), true);
	}

左右単一回転のコードは AVL の章で入手できるため、ここでは詳しく説明しません。

赤黒ツリー実装の完全なコードは実際にはそれほど重要ではありません. 赤黒ツリーの性質とそれがバランスを調整するさまざまな状況だけを知る必要があります. 次に、赤黒ツリーの検証方法について話しましょう赤黒ツリーバランス:

bool IsRBTree()
	{
		//空树也符合红黑树
		if (_root == nullptr)
		{
			return true;
		 }

		
		//验证根节点是否为黑色
		if (_root->_col == Red)
		{
			cout << "根节点为红色，不符合规则" << endl;
			return false; 
		}


		int ref = 0;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_col == Black)
			{
				++ref;
			}
			cur = cur->_left;
		}

		return _IsRBTree(_root, 0, ref);
		
		
	}

	bool _IsRBTree(Node* root, int count, int ref)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			if (count != ref)
			{
				cout << "每条路径的黑色节点数不相等" << endl;
				return false;
			}
			return true;
		}

		if (root->_col == Black)
		{
			++count;
		}

		Node* ppnode = root->_parent;
		if (ppnode && root->_col == Red && ppnode->_col == Red)
		{
			cout << "存在相连的红色节点" << endl;
			return false;
		}

		return _IsRBTree(root->_left, count, ref) && _IsRBTree(root->_right, count, ref);
	}

以上、赤黒木の説明でした。最後まで読んでいただき、ありがとうございました！