プルック座標の捉え方（幾何学的理解）

目標: Pluck の座標を理解する方法
最近論文を読んで直線の表現に出会いました。最近プロジェクトを書いていたため、このような問題に遭遇しましたが、この種の問題に対する中国語の資料があまりないので、私自身の理解を記録します。

定義:従来のユークリッド座標系における直線のベクトル表現: $L:\overrightarrow{r}=\overrightarrow{P}+t\overrightarrow{私}$Pを減算します$\overrightarrow{P}=⎝\begin{array}{c}{p}_{}\\ p_{}\\ p_{}\end{array}⎠$, $\overrightarrow{私}=⎝\begin{array}{c}{私}_{}\\ {私}_{}\\ {私}_{}\end{array}⎠$、ここで$\overrightarrow{P}$は直線上の頂点を表します、$\overrightarrow{私}$線の方向です。

定義:プリュッカー座標系では、直線の式は一般に$(\overrightarrow{私}、\overrightarrow{メートル})$，その中$\overrightarrow{メートル}=\overrightarrow{p}\times \overrightarrow{私}$、と呼ばれる:$momentvector,$ l → \overrightarrow{\ bm$\overrightarrow{私}$線の方向です。

しかし、多くの人は ( l → 、 m → ) (\overrightarrow{\bm{l}},\overrightarrow{\bm{m}}) を理解していません。$(\overrightarrow{私}、\overrightarrow{メートル}）は$幾何学的な意味で直線を表現します。そして、それはユークリッド座標系の直線とどのような関係があるのでしょうか?

答え:
まず、非常に重要なベクトル$\overrightarrow{私}$、これはライン上の方向です。ユークリッド幾何学の直線の方向と同じで、直線の方向を意味します。下図に示すように、直線の方向であり、一般に長さの情報は持たず、正規化できますが、正規化しない場合はスケールを与えるので、 c = ∣ l → と表すことができます。 ∣ c=|\overrightarrow{\bm{l $c=|\overrightarrow{私}|$。そしてこの$c$がm → \overrightarrow{\bm{m}}を提供しました$\overrightarrow{メートル}$(なぜなら$\overrightarrow{メートル}$l → \overrightarrow{\bm{l}}からも派生します$\overrightarrow{私}$）。以下の計算により、 l → \overrightarrow{\bm{l}}であることがわかります。$\overrightarrow{私}$スケール変数は提供されていません。実際には、スケール変数は直線上の頂点$\overrightarrow{P}$P $\overrightarrow{P}$和$\overrightarrow{メートル}$ラインのもう 1 つの重要な変数であるライン上の頂点を一緒に決定します。次の図は$\overrightarrow{P}\perp$、これは線に垂直な頂点です。

もう 1 つの非常に重要なベクトル$\overrightarrow{メートル}$、方向を示すことに加えて、長さの情報もあり、それと直線上の頂点 p $\overrightarrow{p}$関係ない。これは非常に重要なプロパティです。
証明: $\overrightarrow{メートル}$そして$\overrightarrow{p}$m → = p → × l → \overrightarrow{\bm{m}} = \overrightarrow{\bm{p}} \times \overrightarrow{\bm{l}} と仮定すると、（線上の頂点は）無関係です。$\overrightarrow{メートル}=\overrightarrow{p}\times \overrightarrow{私}$;直線上の別の頂点p ' → \overrightarrow{\bm{p'}}$\overrightarrow{p^{』}}$は直線上の任意の頂点です。$\overrightarrow{p^{』}}-\overrightarrow{p}=私\overrightarrow{私}$。証明は直線上の頂点とは何の関係もないので、次のようになります:
$$\begin{gathered} \overrightarrow{p^{』}}\times \overrightarrow{私} \\ =(l\overrightarrow{私}+\overrightarrow{p})\times \overrightarrow{私} \\ =私\overrightarrow{私}\times \overrightarrow{私}+\overrightarrow{p}\times \overrightarrow{私} \\ =\overrightarrow{p}\times \overrightarrow{私}=\overrightarrow{メートル} \end{gathered}$$

グラフを見ると次のようになります: $\overrightarrow{メートル}$pに垂直$\overrightarrow{p}$和$\overrightarrow{私}$それが配置されている飛行機。$\overrightarrow{メートル}$∣ m → ∣ |\overrightarrow{\bm{m}}|の長さ$|\overrightarrow{メートル}|$。原点から直線への垂線は$\overrightarrow{P}\perp$。
ベクトル$\overrightarrow{私}$は単位ベクトルです。ベクトル$\overrightarrow{P}\perp$の長さは∣ m → ∣ |\overrightarrow{\bm{m}}|と同じです$|\overrightarrow{メートル}|$長さは同じで、位置決め線の頂点でもあり、線の頂点に相当します（したがって、線の方向と頂点によって線は一意に決まります）。この結論を証明するには、$\overrightarrow{{私}^{』}}$m → \overrightarrow{\bm{m}}なので、は直線上の単位ベクトルです。$\overrightarrow{メートル}$p → × l → \overrightarrow{\bm{p}} \times \overrightarrow{\bm{l}}から$\overrightarrow{p}\times \overrightarrow{私}$, したがって、それも変化します。これは、$\overrightarrow{{メートル}^{』}}$したがって：c $\overrightarrow{{私}^{』}}=\overrightarrow{私}$;c $\overrightarrow{{メートル}^{』}}=\overrightarrow{メートル}$

计算$\overrightarrow{P}\perp =\overrightarrow{{私}^{』}}\times \overrightarrow{{メートル}^{』}}$

発現ベクトルは次のとおりです: $\overrightarrow{P}\perp \overrightarrow{P}=t\overrightarrow{{私}^{』}}$, $\overrightarrow{○}\overrightarrow{P}=\overrightarrow{P}$（Oが原点だから）。

因みに知道$cos\left(\theta \right)=|\overrightarrow{P}\perp \overrightarrow{P}|/|\overrightarrow{○}\overrightarrow{P}|=(\overrightarrow{{私}^{』}}\cdot \overrightarrow{P})/(|\overrightarrow{{私}^{』}}|\cdot |\overrightarrow{P}|)$、これは基本的な三角関数の公式です。

$$\begin{gathered} |\overrightarrow{P}\perp \overrightarrow{P}| \\ =|\overrightarrow{○}\overrightarrow{P}|cos\left(\theta \right) \\ =(\overrightarrow{{私}^{』}}\cdot \overrightarrow{P})/|\overrightarrow{{私}^{』}}| \\ =\overrightarrow{{私}^{』}}\cdot \overrightarrow{P}(なぜなら\overrightarrow{{私}^{』}}は単位ベクトルです) \end{gathered}$$

上記の式を計算すると、垂直点は次のように取得できます。

$$\begin{gathered} \overrightarrow{P}\perp =\overrightarrow{P}-(\overrightarrow{{私}^{』}}\cdot \overrightarrow{P})\overrightarrow{{私}^{』}} \\ =(\overrightarrow{{私}^{』}}\cdot \overrightarrow{{私}^{』}})\overrightarrow{P}-(\overrightarrow{{私}^{』}}\cdot \overrightarrow{P})\overrightarrow{{私}^{』}} \\ =\overrightarrow{{私}^{』}}\times (\overrightarrow{P}\times \overrightarrow{{私}^{』}}) \\ =\overrightarrow{{私}^{』}}\times \overrightarrow{{メートル}^{』}} \end{gathered}$$

上の式からわかるように、直線上の頂点 P $\overrightarrow{P}\perp$次の 2 つの式があります$\overrightarrow{{私}^{』}}\times \overrightarrow{{メートル}^{』}}$得る。また、直線の一意性も決まります。$\overrightarrow{P}\perp が$変化すると、方向は同じですが位置が変わりますので、直線の位置も変わります。したがって、直線上の頂点は$\overrightarrow{{私}^{』}}\times \overrightarrow{{メートル}^{』}}$決定。

if $\overrightarrow{私}$は単位ベクトルではなく、$\overrightarrow{私}$l ′ → = l → / ∣ l → ∣ = l → / c \overrightarrow{\bm{l}'}=\overrightarrow{\bm{l}}/|\overrightarrow{\bm{l と表すことができます。$\overrightarrow{{私}^{』}}=\overrightarrow{私}/|\overrightarrow{私}|=\overrightarrow{私}/c$ ,因此公式中:
$$\begin{gathered} \overrightarrow{P}\perp =\overrightarrow{{私}^{』}}\times \overrightarrow{{メートル}^{』}}=(\overrightarrow{私}/|\overrightarrow{私}|)\times \overrightarrow{{メートル}^{』}} \\ =(\overrightarrow{私}\times \overrightarrow{{メートル}^{』}})/|\overrightarrow{私}|=(\overrightarrow{私}\times \overrightarrow{{メートル}^{』}})/c \\ =(\overrightarrow{私}\times (\overrightarrow{メートル}/c))/c=(\overrightarrow{私}\times \overrightarrow{メートル})/c^2 \end{gathered}$$

式からわかるように、
原点から直線までの距離は$|\overrightarrow{P}\perp |=|(\overrightarrow{私}\times \overrightarrow{メートル})|/c^2=|(\overrightarrow{私}\times \overrightarrow{メートル})|/|\overrightarrow{私}{|}^2$ 、 l → \overrightarrow{\bm{l}}に関係なく取得できます$\overrightarrow{私}$m → \overrightarrow{\bm{m}}である限り正規化するかどうか$\overrightarrow{メートル}$そして正規化された$\overrightarrow{私}$一貫性を保ってください、大丈夫です。

同時に、
$$(\overrightarrow{私}、\overrightarrow{メートル})=(c\overrightarrow{私}、c\overrightarrow{メートル})$$
等号は、同じ直線の表現であることを意味します。
証明:$\overrightarrow{P}\perp$公式で十分です。

参考論文：空間内の線のプリュッカー座標 ∗