幾何学的ベクトル: ベクトルから平面への投影と LookAt

開発 2023-08-01 17:15:06 訪問数: null

      研究所の極秘開発後、二波隔離に戻ってきましたが、もう４、５ヶ月近く外部ネットワークのパソコンに触れていないので、原始人になっているとも言えます。
      開発の詳細により、ベクトル投影と LookAt 関数を実装し、記録する必要があります。
      まず、次のようにベクトルから平面への投影を実装します。
ここに画像の説明を挿入

      点ベクトル平面の関係については以前にお話ししましたが、いくつかの記事を書いているようなので、ここでは簡単に説明します。実際、射影の計算は、平面 G 上の P の射影 P0 を計算することに他なりません。計算は次のとおりです。平面 G の
画像の説明を追加してください      方程式に従って ABCD 成分を取得し、係数 k を計算して次のようにします。次のように、X0、Y0、Z0 の代数式を使用して P0 座標に到達します。

using System.Collections;
using System.Collections.Generic;
using UnityEngine;

public class PALAVectorProjection : MonoBehaviour
{
    
    
    public Transform ground0;
    public Transform ground1;
    public Transform ground2;

    public Transform from;
    public Transform to;

    void Start()
    {
    
    

    }

    void Update()
    {
    
    
        Vector3 g0 = ground0.position;
        Vector3 g1 = ground1.position;
        Vector3 g2 = ground2.position;

        Debug.DrawLine(g0, g1, Color.black);
        Debug.DrawLine(g1, g2, Color.black);
        Debug.DrawLine(g2, g0, Color.black);

        Vector3 f = from.position;
        Vector3 t = to.position;

        Debug.DrawLine(f, t, Color.yellow);

        Vector3 f0 = GetProjectPoint(f, g0, g1, g2);
        Vector3 t0 = GetProjectPoint(t, g0, g1, g2);

        Debug.DrawLine(f0, t0, Color.white);
    }

    /// <summary>
    /// 获取向量到平面投影向量
    /// </summary>
    /// <param name="f"></param>
    /// <param name="t"></param>
    /// <param name="g0"></param>
    /// <param name="g1"></param>
    /// <param name="g2"></param>
    /// <returns></returns>
    private Vector3 GetProjectVector(Vector3 f, Vector3 t, Vector3 g0, Vector3 g1, Vector3 g2)
    {
    
    
        Vector3 f0 = GetProjectPoint(f, g0, g1, g2);
        Vector3 t0 = GetProjectPoint(t, g0, g1, g2);
        Vector3 vproj = t0 - f0;
        return vproj;
    }

    /// <summary>
    /// 计算点到平面投影
    /// </summary>
    /// <param name="p"></param>
    /// <param name="g0"></param>
    /// <param name="g1"></param>
    /// <param name="g2"></param>
    /// <returns></returns>
    private Vector3 GetProjectPoint(Vector3 p, Vector3 g0, Vector3 g1, Vector3 g2)
    {
    
    
        Vector3 gv1 = g1 - g0;
        Vector3 gv2 = g2 - g0;
        Vector3 n = Vector3.Cross(gv1, gv2).normalized;

        //构建平面参数
        float A = n.x, B = n.y, C = n.z;
        float D = -A * g0.x - B * g0.y - C * g0.z;

        //构建投影参数
        float X = p.x, Y = p.y, Z = p.z;
        float k = (A * X + B * Y + C * Z + D) / (A * A + B * B + C * C);

        float X0 = X - k * A;
        float Y0 = Y - k * B;
        float Z0 = Z - k * C;

        return new Vector3(X0, Y0, Z0);
    }
}

      効果は次のとおりです。
ここに画像の説明を挿入
      白い線分は、黄色の線分を平面 G に投影したものになります。
      次に、LookAt 関数を実装します。まず、次のように Unity の API を確認します。

using System.Collections;
using System.Collections.Generic;
using UnityEngine;

public class PALATestLookAt : MonoBehaviour
{
    
    
    public Transform from;
    public Transform to;

    void Start()
    {
    
    

    }

    void Update()
    {
    
    
        Debug.DrawLine(from.position, to.position, Color.blue);
        Debug.DrawLine(from.position, from.position + from.right, Color.red);
        Debug.DrawLine(from.position, from.position + from.up, Color.green);
        from.LookAt(to);
    }
}

      その効果は次のとおりです。
ここに画像の説明を挿入
      今、私自身も次のように実感しています。
ここに画像の説明を挿入

      姿勢計算は半角ベクトルの 180 度回転計算であり、Z 軸上の法長が ft 法と等しいベクトル ft0 を半角ベクトル ft1 を中心に 180 度回転すると、
      ベクトルフィート

using System.Collections;
using System.Collections.Generic;
using UnityEngine;

public class PALAAxisLookAt : MonoBehaviour
{
    
    
    public Transform from;
    public Transform to;

    void Start()
    {
    
    

    }

    void Update()
    {
    
    
        Debug.DrawLine(from.position, to.position, Color.blue);
        Debug.DrawLine(from.position, from.position + from.right, Color.red);
        Debug.DrawLine(from.position, from.position + from.up, Color.green);

        GetAxisLookAt();
    }
    /// <summary>
    /// 绕中轴旋转180度
    /// </summary>
    private void GetAxisLookAt()
    {
    
    
        Vector3 f = from.position;
        Vector3 t = to.position;

        Vector3 ft = t - f;

        float ftlen = Vector3.Distance(f, t);
        Vector3 ft0 = Vector3.forward * ftlen;

        Vector3 ft1 = ft + ft0;

        from.eulerAngles = Vector3.zero;

        //绕ft1轴旋转180度
        from.RotateAround(f, ft1, 180);
    }
}

      効果は以下の通りです。
ここに画像の説明を挿入
      これは LookAt の実装方法です。
      現実に存在する方向の計算について調査を続けます。次のような戦車が良い例です。
ここに画像の説明を挿入

      戦車の砲塔はワールド座標の Y 軸を中心に回転し、砲身はローカル座標の X 軸を中心に回転すると想像できます。次のように少し描画します。
ここに画像の説明を挿入

      まず、平面 xfz 上の ft の投影 ft0 を取得します。ft' (fz) とワールド座標 Y 軸の周りの投影 ft0 との間の角度 θy 度が「砲塔」の回転角度であり、次に ft0 と ft の間の角度です。ローカル座標 X 軸周りの θx 度 これは「バレル」の回転角度であり、回転は左手の法則に基づいており、次のコードが実装されます。

using System.Collections;
using System.Collections.Generic;
using System.Reflection;
using UnityEngine;

public class PALAProjectionLookAt : MonoBehaviour
{
    
    
    public Transform from;
    public Transform to;

    void Start()
    {
    
    
        Application.targetFrameRate = 60;
    }

    void Update()
    {
    
    
        Vector3 f = from.position;
        Vector3 t = to.position;
        Vector3 lx = f + from.right;
        Vector3 ly = f + from.up;
        Vector3 lz = f + from.forward;

        Debug.DrawLine(f, lx, Color.red);
        Debug.DrawLine(f, ly, Color.green);
        Debug.DrawLine(f, t, Color.black);

        GetProjectLookAt();
    }

    /// <summary>
    /// 世界坐标Y轴投影旋转
    /// 本地坐标X轴旋转
    /// </summary> 
    private void GetProjectLookAt()
    {
    
    
        Vector3 f = from.position;
        Vector3 t = to.position;
        Vector3 x = f + Vector3.right;
        Vector3 y = f + Vector3.up;
        Vector3 z = f + Vector3.forward;

        //重置旋转
        from.eulerAngles = Vector3.zero;

        //绕世界Y轴旋转
        Vector3 yaxis = Vector3.up;
        Vector3 ft0 = GetProjectVector(f, t, f, x, z);
        Vector3 fz = Vector3.forward;
        float θy = GetVectorAxisAngle(fz, ft0, yaxis);
        from.RotateAround(f, yaxis, θy);
        //绕本地X轴旋转
        Vector3 xaixs = from.right;
        Vector3 ft = t - f;
        float θx = GetVectorAxisAngle(ft0, ft, xaixs);
        from.RotateAround(f, xaixs, θx);

#if UNITY_EDITOR
        Debug.LogFormat("PALAProjectionLookAt θx = {0} θy = {1}", θx, θy);
#endif
    }

    /// <summary>
    /// 获取绕axis轴f到t的角度
    /// </summary>
    /// <param name="f"></param>
    /// <param name="t"></param>
    /// <param name="axis"></param>
    /// <returns></returns>
    private float GetVectorAxisAngle(Vector3 f, Vector3 t, Vector3 axis)
    {
    
    
        float deg = Vector3.SignedAngle(f, t, axis);
        return deg;
    }

    /// <summary>
    /// 计算f（不变）的投影向量
    /// </summary>
    /// <param name="f"></param>
    /// <param name="t"></param>
    /// <param name="g0"></param>
    /// <param name="g1"></param>
    /// <param name="g2"></param>
    /// <returns></returns>
    private Vector3 GetProjectVector(Vector3 f, Vector3 t, Vector3 g0, Vector3 g1, Vector3 g2)
    {
    
    
        Vector3 t0 = GetProjectPoint(t, g0, g1, g2);
        Vector3 ft0 = t0 - f;
        return ft0;
    }

    /// <summary>
    /// 计算点到平面投影
    /// </summary>
    /// <param name="p"></param>
    /// <param name="g0"></param>
    /// <param name="g1"></param>
    /// <param name="g2"></param>
    /// <returns></returns>
    private Vector3 GetProjectPoint(Vector3 p, Vector3 g0, Vector3 g1, Vector3 g2)
    {
    
    
        Vector3 gv1 = g1 - g0;
        Vector3 gv2 = g2 - g0;
        Vector3 n = Vector3.Cross(gv1, gv2).normalized;

        //构建平面参数
        float A = n.x, B = n.y, C = n.z;
        float D = -A * g0.x - B * g0.y - C * g0.z;

        //构建投影参数
        float X = p.x, Y = p.y, Z = p.z;
        float k = (A * X + B * Y + C * Z + D) / (A * A + B * B + C * C);

        float X0 = X - k * A;
        float Y0 = Y - k * B;
        float Z0 = Z - k * C;

        return new Vector3(X0, Y0, Z0);
    }
}

      その効果は次のとおりです。
ここに画像の説明を挿入
      これも LookAt の実装方法です。
      次のように、外積ベクトルで回転する LookAt 実装メソッドもあります。
ここに画像の説明を挿入

      fc 外積ベクトルを計算し、次に fdir から ft までの回転角 θ を計算すると、LookAt 方向を計算できることがわかります。コードは次のとおりです。

using System.Collections;
using System.Collections.Generic;
using UnityEngine;

public class PALACrossLookAt : MonoBehaviour
{
    
    
    public Transform from;
    public Transform to;

    void Start()
    {
    
    

    }

    void Update()
    {
    
    
        Debug.DrawLine(from.position, to.position, Color.blue);
        Debug.DrawLine(from.position, from.position + from.right, Color.red);
        Debug.DrawLine(from.position, from.position + from.up, Color.green);

        GetCrossLookAt();
    }
    /// <summary>
    /// 绕叉积向量旋转θ度
    /// </summary>  
    private void GetCrossLookAt()
    {
    
    
        Vector3 f = from.position;
        Vector3 t = to.position;

        Vector3 ft = t - f;

        Vector3 fdir = from.forward;

        Vector3 c = Vector3.Cross(fdir, ft);

        float θ = Vector3.SignedAngle(fdir, ft, c);

        from.RotateAround(f, c, θ);
    }
}

      効果は次の図に示すとおりです。
ここに画像の説明を挿入

      これも LookAt の実装です。
      LookAt を自分で実装する利点は方向軸を自由に制御できることですが、API が必ずしも開発ニーズに適しているとは限りません。
      さて、続きはまた後ほど。

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転載: blog.csdn.net/yinhun2012/article/details/128098726
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