FOMMモデルの計算式導出

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FOMM はソース フレームから駆動フレームへのマッピング関係を見つけ、最終結果を与える必要があります。論文では次のように提案されています:
$$T_{S\leftarrow }\left(z\right)\approx T_{S\leftarrow }\left(p_{}\right)+\left({\frac{}{dp\_}{T}_{S\leftarrow }\left(p\right)|}_{p=p_{}}\right)\left({\frac{}{dp\_}{T}_{D\leftarrow }\left(p\right)|}_{p=p_{}}\right)\left(z-T_{D\leftarrow }\left(p_{}\right)\right)$$
これを見るたびに頭痛がするので、ここに記録します。
まず、$T_{S\leftarrow }\left(\right)$これは関数として見る必要があります。これはマッピング関係であり、$z$値は出力$z^{\text{'}\; の}$ように、そのようなマッピング関係を見つける方法は、ソース フレームから駆動フレームへのマッピング関係を見つけることと同じです。

この記事では、この関数の TS を見つけることを提案しています$T_{S\leftarrow }\left(\right)$したがって、これに対して 1 次テイラー展開が実行され、これが 1 次動的モデルという名前の由来となっています。
関数$f\left(x\right)$、関数$f\left(x\right)$ at${バツ}_{}$んと$n$次微分すると、${バツ}_{}$のフィールド、このフィールド内の任意の点$x$，有
$$\begin{array}{l}f\left(x\right)=f\left({\times }_{}\right)+f^{』}\left({\times }_{}\right)\left(\times -{バツ}_{}\right)+\frac{f^{「}（{\times }_{}}{2！}{\left(\times -{バツ}_{}\right)}^2+\cdots +\frac{f^{\left(n\right)}(x_{}}{ん！}{\left(\times -{バツ}_{}\right)}^n+ああ\left({\left(x-{バツ}_{}\right)}^n\right)\end{array}、$$
範囲$T_{S\leftarrow }\left(z\right)$在$z_{}$处进行一阶泰勒展开，则
$$T_{S\leftarrow }\left(z\right)=T_{S\leftarrow }\left(z_{}\right)+\left({\frac{}{dz\_}{T}_{S\leftarrow }\left(z\right)|}_{z=z_{}}\right)\left(z-z_{}\right)+ああ\left(\Vert z\_-z_{}\Vert \right)$$
すると、それは 2 つの部分に分割され、そのうちの 1 つは$T_{S\leftarrow }\left(z_{}\right)$、同様に、ここでは$T_{S\leftarrow }\left(\right)$内は関数です。
そうすれば、実際にはそれを簡単に理解できます:
$$T_{S\leftarrow }\left(\right)=T_{S\leftarrow }\left(T_{D\leftarrow R}^{-}\right())$$
固有関数$$\begin{array}{rl}{T}_{S\leftarrow }\left(z_{}\right)& =T_{S\leftarrow }\left(T_{R\leftarrow }\left(z_{}\right)\right)\\ & =T_{S\leftarrow }\left(T_{D\leftarrow R}^{-}\left(z_{}\right)\right)\\ & =T_{S\leftarrow }\left(T_{D\leftarrow R}^{-}\right(T_{D\leftarrow }\left(p_{}\right)))\\ & =T_{S\leftarrow }(p_{}\end{array}$$
上の式には多くの記号が含まれており、非常に複雑であることに注意してください$z_{}$実際、これはドライブ フレーム内のキー ポイントであり、マッピング関係$T_{S\leftarrow }\left(\right)$ソースフレームのキーポイントp S p_Sを取得できるようにする$p_{}$、なぜ最終的に TS ← R ( pk ) \mathcal{T}_{\mathbf{S} \leftarrow \mathbf{R}}\left(p_{k}\right) と書かれるのでしょうか？$T_{S\leftarrow }\left(p_{}\right)$、キーポイント$p_{}$は、想定される参照フレームのキーポイントです。さて、そのうちの 1 つを見つけました。次の部分を見てみましょう。これは$T_{S\leftarrow }\left(\right)$導出、点zk z_kを取得$z_{}$の値。TS ← D ( z ) = TS ← R ( TD ← R − 1 ( z ) ) \mathcal{T}_{\mathbf{S} \leftarrow \mathbf{D}}(z)=\mathcal { を渡すことができます
。$T_{S\leftarrow }\left(z\right)=T_{S\leftarrow }\left(T_{D\leftarrow R}^{-}\right(z))$の場合、同等のものは次のようになります:
$$\left(\frac{}{dz\_}{T}_{S\leftarrow }\left(z\right)|z=z_{}\right)=\left({\frac{}{dp\_}{T}_{S\leftarrow }\left(p\right)|}_{p=T_{R\leftarrow }(z_{}}\right)\left(\frac{}{dz\_}{T}_{D\leftarrow R}^{-}\left(z\right)|z=z_{}\right)$$
而$T_{R\leftarrow }\left(\right)$は駆動フレームから参照フレームへのマッピングを表し、入力駆動フレームのキーポイント$z_{}$明らかに、参照フレームのキーポイント$p_{}$pk
$$p_{}=T_{R\leftarrow }\left(z_{}\right)$$
方程式、逆関数:$$\left(\frac{}{dz\_}{T}_{S\leftarrow }\left(z\right)|z=z_{}\right)=\left({\frac{}{dp\_}{T}_{S\leftarrow }\left(p\right)|}_{p=p_{}}\right){\left({\frac{}{dp\_}{T}_{D\leftarrow }\left(p\right)|}_{p=p_{}}\right)}^{-1\; 番目の}$$
無限大、例:
$$T_{S\leftarrow }\left(z\right)\approx T_{S\leftarrow }\left(p_{}\right)+\left({\frac{}{dp\_}{T}_{S\leftarrow }\left(p\right)|}_{p=p_{}}\right){\left({\frac{}{dp\_}{T}_{D\leftarrow }\left(p\right)|}_{p=p_{}}\right)}^{-1}\left(z-T_{D\leftarrow }\left(p_{}\right)\right)$$