導入の数理モデル

モデルの背景

 

数学的手法

ほぼ半世紀のために、コンピュータ技術の急速な発展、技術だけではなく再生するために数学の応用、自然科学などの分野ますます重要な役割を持つが、経済学、経営、財務への前例のない広さと深さ生物学、医学、環境、地質学、人口、交通機関や他の浸透の新たな分野は、いわゆる数学的技術は、現代のハイテクの重要な一部となっています。

数理モデル （数理モデル）は、いくつかの客観的な現象を説明するかもしれない、または将来を予測することができます数学記号、数式、プログラム、グラフィック、対象不動産の実際の性質の抽象的かつシンプルな描写と、アナログであります発展の法則、あるいは特定の現象の発達を制御するために、いくつかの意味では、より良い最適な戦略や戦術を提供します。本当の問題の直接のレプリカは、一般的な数学的モデルではありません、それは多くの場合、さらに詳細に観察し、実際的な問題の分析を確立するために、両方の人々を必要とし、我々は柔軟な人々が巧みに数学の知識の様々なを使用する必要があります。プロセスの数学的モデルを抽出する対象における知識の実際のアプリケーションからこの要約は、呼ばれる 数学的モデリング （数理モデル）。

どんなに科学技術の分野で解決する現実的な問題の種類や生産数学的、あるいは学際的なプライマリおよび重要なステップを形成するために、他の分野と組み合わせた数理モデルの研究ではありませんし、（通常はコンピュータによって）を解く計算されます。知識経済時代の役割における数学的モデリングとコンピュータ技術は、さらに強力なとして記述することができます。

 

モデリングアプリケーション

数学は、その出現と発展の長い歴史の中で、それは密接に関連するアプリケーションとの問題の多種多様となっている、科学の形で現実の世界と空間の量との関係の研究です。数学的な機能だけではなく、抽象厳しさ、ロジックコンセプト、明快さと体制の終結の整合性が、また、その応用の幅インチ 20世紀以来、科学技術やコンピュータの急速な発展の普及と、様々な問題の人々は、より多くの、より正確な、特に21世紀の知識経済の時代に、より広くかつ深く数学を作ります、数理科学の状況が劇的に変化し、それが国民経済と科学技術の準備金から最前線に来ています。グローバル化の経済発展、コンピュータの急速な発展は、数学の理論と方法を拡張し、数学を作ることは、数学が実装できる一般的な技術となっている、重要な現代のハイテク部品になるとシンクタンクました。応用数学と能力の学生の意識は、数学教育の重要な側面となっています。

 

モデリングプロセス

モデル準備

背景には、情報のさまざまなオブジェクトを習得するために、その実用的な意義を明確に、実際の問題を理解します。 数学的思考の 本質の問題、問題の全体のプロセスを通じて、数学的な思考を収容し、その後、使用する 数学の言語を 、問題を記述すること。明確かつ正確な数学的な習慣に沿って、数学的な理論に沿って要件、。

 

モデルは想定してい

必要なオブジェクトと実際のオブジェクトモデリングの機能は、問題を単純化し、適切な正確な言語といくつかの仮定をします。

 

モデル

仮定に基づいて、（単純な数学的ツールを使用して可能な限り）一定の変数間の数学的関係、対応する数学的構造を特徴付けるために適切な数学的ツールを使用して。

 

モデルソリューション

モデルのすべてのパラメータ計算（または近似）するために取得したデータを使用して。

 

モデル分析

モデルのアイデアに構築するに説明され、そして得られた結果を数学的に解析しました。

 

モデル検査

モデルの結果は、モデル、合理性及び適用性の精度を検証するために、実際の状況と比較しました。モデルは、実際とよく一致している場合は、その実際の結果の意味、および解釈を与える必要があります。モデルが実際の貧困と一致している場合は、モデリングプロセスが再び繰り返され、仮定を変更する必要があります。

モデルアプリケーションとプロモーション

適用方法は、目的のために異なっており、問題の本質は、モデリングを変化し、モデルを促進するためには、モデルの既存のモデルに基づいており、現実に沿ったものより、モデルの確立をより総合的に考慮しています。

 

モデル意義

考え

数学的モデリングは、思考の数学的な方法は、確立を抽象化し、簡素化することで、数学的な言語および方法の使用で、強力な数学的なツールの実用的な問題を「解決」描く近似することができます。

数学的モデリングは、記述するために、数学的言語を使用して実世界の現象のプロセスです。ここでは、両方のそのような特定の自由落下現象を含めるなどの自然現象の実際の現象は、また、顧客が撮影した商品を評価する傾向があるような抽象的な現象が含まれています。本明細書に記載さだけでなく、外部の形態学的記述内部機構を含むだけでなく、実際の現象の内容予測、試験及び解釈を含みます。

また、直感的にこの概念を理解することができます：数学的モデリングは、純粋な数学者であるしましょう（数学を勉強するだけでいい、実際には関係なく、数学者の数学を適用）でも物理学者、生物学者、経済学者となります心理学者などのプロセス。

一般的な数学的モデルは、数学的に簡略化実用的なものです。それは多くの場合、そこに抽象的な形の感覚が、本物であり、それは本質的に異なる本物に近いです。実際の現象を記述するためには、オーディオ、ビデオ、メタファー、その上の噂やなど、さまざまな方法を持つことができます。より科学的、論理的、客観性と再現性を説明するために、人々が広く、この言語は数学で、現象の多様性を説明するために、より厳格な言語を採用することを信じていました。数学モデルと呼ばれるものを記述するための数学的な言語を使用してください。時々、私たちはいくつかの実験を行う必要があるが、これらの実験ではなく、実際のオブジェクトとそれに対応する実験の抽象的な数学モデルのうち、実験自体も理論の実用的な選択肢であることが多いです。

 

数理モデル

様々な実用的な問題を解決するための数学の応用は、数学的モデルは重要なステップだけでなく、非常に困難なステップです。プロセスの数理モデルは、合理的なプロセスであり、抽象的な数学的構造の複雑な現実的な問題を単純化することです。実際のオブジェクトと固有法の固有の特性のデータ、観測と研究を収集、調査を通じ、主要な矛盾をつかむ、との関係を確立するには、実用上の問題の数を反映して、問題を分析し、解決するために数学的理論やメソッドを使用します。これは、深い固体数学的な基盤、鋭い洞察力と想像力、実践的な問題や幅広い知識への関心が必要です。数学的モデリングは、数学的な橋の実用上の問題とリンクして、メディアが広く数学の様々な分野で使用されており、科学技術は、数学的変換主な方法で、科学技術の発展における数学的モデリングの重要な役割より多くの数学と工学世界広く注目は、それが現代の科学技術労働者がの主要な機能持っているとなっています 。高品質、高レベルの科学技術人材の科学技術の発展や文化のニーズを満たすために、数学的モデリングは徐々に、大学教育では、より多くの国内および数学的モデリングの教育大学のコースやオープン数学的で継続的な参加を行ってきましたモデリングコンテスト、高等教育と多くのカレッジや大学の重要な側面の高レベルの科学技術人材の育成機関の教育と教育改革などの数学的モデリングコンテスト数学的モデリングと教育改革は、より効果的な数学を探求する努力を組み合わせています私たちのカレッジや大学内の他の数学のコースと比べて、21世紀のためのアプローチ育成の才能と新しいアイデアをモデル化し、数学的モデリングは、広い範囲、柔軟なフォーム、教師と生徒が高い数学的な工事を必要とを含む、大きな困難を持っていますティーチングモード自体は常に、探索プロセスを革新し、改善し、強化し続けています。知識ベースの過去を付与、教室に基づく教育に伝統的な教師中心の授業モデルを変更するためには、原則を導く数学的モデリングのコースがある：実験室ベース、学生中心、問題ベースライン、育成するために、組織的指導を標的とする能力。彼らは将来的に働くように、数学への関心を高め、数学の意識と能力を適用し、学生が問題を分析し、解決するために数学的理論と方法を使用しての全体のプロセスを理解し、問題を分析し、解決する能力を向上させるために教えること定期的に問題を解決するために数学を使用することを期待することができ、彼らはコンピュータソフトウェアと現代のハイテク成果の利用の意識を高めるためにしようと、数学ができ、コンピュータが有機的に現実的な問題を解決するために組み合わせます。数学的モデリングは、学生が積極的に文献にアクセスし、新しい知識を習得するために鼓舞し、案内し、学生がすることが奨励され、教師が事前の設計にいくつかの良い質問を使用する学生でした 学生は探求と研究のスタイルを押し進めるために努力し、予備的な研究活動に従事する学生の能力を養う、学生は団結と協力の精神を養う、活気のある環境や雰囲気を形成するためのイニシアチブを取る活発な議論や論争は、教育プロセスの焦点は、にする環境を作ることです重点は、新しい知識を取得している、学び、彼らの自己学習能力を開発し、その数学的な資質や革新能力を高め、数学の質を向上させるために、学生の意欲を誘発し、それはかなりの知識や結果よりも、問題解決のプロセスです。ほとんどの学生は、数学、統計、最適化、グラフ理論、微分方程式、計算方法、ニューラルネットワーク、階層分析法、ファジー数学、数学的なソフトウェアパッケージなど「ショートコースとして、学ぶ必要がある前に、モデルのトレーニングに数学コンテストに参加することを認められました「（または講演）、主に自身が学び、完全に学生の熱意を動員する学生による、基本的な概念と方法のいくつかについての最も刺激的、時間の多くで、学生の可能性を十分に発揮します。セミナーウェイトレーニングが広く使用され、学生自身が競争は、SPSS、Lingoの、メープル、Mathematicaの、Matlabのように、コンピュータおよび適切なソフトウェアを使用している必要があり、カウンセリングの役割を答える、主尋問からの議論、討論、教師を報告しますでも、組版ソフトウェア。

 

モデルの原点

西ケース

数学的モデリングは、 1960年代と1970年代にいくつかの欧米諸国の大学に入って、中国はまた、1980年代初頭にはいくつかの大学の教室に数学的モデリングです。開発の20年後、大学や多くの大学の大半は、効果的な方法を開いた数学的モデリングコースと実践的な問題を解決するために、数学的方法の使用を分析する学生の能力の訓練のためのセミナーの様々な形態を設定しています。

モデルにおける数理コンテストは、最初の組織と数学的モデリングにおける教育の振興にはいくつかの先生の下で、1989年に米国で1985年に登場した、中国のいくつかの大学の学生は、米国の競争に参加するために始めた、と熱意を増やします近年の参加校数は、チームの数が大きな割合を占めています。モデルで数学コンテストは、中国、結果に開花、米国で生まれている、と言うことができます。

 

中国の場合

1992年に彼は応用数理組織の中国人留学生協会による10都市のリーグの数学的モデルを開催し、74大学の314チームが参加しました。発見と育成する教育省、この新しいものを育て、1994年以来の決定は、工業用および応用数学、毎年恒例のセッションのための高等教育のモデル化省、中国社会における国家数学コンテストの共催による。過去10年間の開発の25％以上の年間平均成長率へのこの大会の規模。

2009年に国は15046チームのすべての専攻から、45,000以上の学生（12276チーム、2770グループBのチームグループA）、（香港、マカオ特別行政区を含む）33の省/自治体/自治区1 137校を持っていますコンテストは、（チベットとマカオの最初のエントリである）年間のエントリの最大数です。  [2] 

 

モデルコンテスト

モデルの国立数学コンテスト

高等教育の国務省によるモデルの国立数学コンテスト

そして、応用数理のための中国協会が共催します。競争のタイトルが適切にだけ大学の数学のカリキュラムの習得前深度の専門知識を習得するために参加者を必要としない、実用的な問題のプロセスを簡素化する完全なモデルの仮定、確立とを含み工学と経営学の一般的な側面から来ています設計の実装、試験紙モデル（すなわち、人）の側面の分析と改善の結果の解決、及びコンピュータ計算方法。主な基準の結果のテキスト表現の合理性、創造的なモデリング、正確さと明確さの仮定に基づいて競争賞。  [2] 

統一国家のタイトルコンテストは、比較的濃縮された形で行われる双方向通信コンテスト、取る;通常は、毎年9月上旬に3日間で開催された大会を（誰もがコースを遅らせています確保するために、極力、それは一般的に、週末を含め2日である）;のためのチームを持つ学生カウンセリング、プロの限られたとしてユニット、チームごとに3人と教師が参加。

 

 

競争制定法（2008年）

一般規定の条

学生が改善する数学的モデルを開発し、数学を学ぶ学生をやる気モデルの国立数学コンテスト（以下、競争と呼ばれる）熱意を目的とした国立大学のための中国の産業と応用数学研究所の共催質量科学技術活動の教育省と高等教育課、積極的に課外科学技術活動に参加する学生を奨励するために、現実的な問題を解決するためのコンピュータ技術を使用するための知識を開発するために、創造的な精神を開発し、感覚協力のと内容や方法を教え、数学の教育システムの改革を推進し、総合的な能力。

第二コンテストの内容

トピック彼らの創造性を再生するには、参加者のためのより高い柔軟性。参加者は、紙の結果（すなわち回答者）の改良モデルの側面を設立し、ソリューション、計算方法およびコンピュータ設計の実装、分析とテストを含め、その完全なモデルを仮定すると、尋ねた質問に基づいている必要があります。

競争、規則や規律の形で条

1。統一国家のタイトルコンテスト、比較的濃縮された形で行われる双方向通信コンテストを、取ります。

2。コンテストは、通常、1回の週末の前と後、3日以内に開催され、毎年開催しました。

3。限られたプロのユニット、各チーム3人（同じ学校に属している必要があります）としてチームに参加する学生は、。この競技学部、専門家2つのグループは、学部学生は学部生グループの競争に参加し、大学生が競技の専門家グループ（グループの競争も学部に参加することができる）に参加するために、大学院生が参加しない場合があります。各チームは競技前にカウンセリングや組織の仕事に従事し、指導教師（または教師グループ）を設定することができますが、チームのメンバーは、競技中に避けなければならない、議論やガイダンス、または他の懲戒プロセスに参加してはなりません。

4。レース中、チームメンバーは、書籍、コンピュータやソフトウェアのさまざまな使用することができ、インターネット上で閲覧ではなく、議論（オンライン含む）チーム以外の誰とでも。

5。競争が開始された後、タイトルマッチがチームをダウンロードするための指定されたURLで発表され、チームの回答者は、指定された時間内に完了し、時間に割り当てを行っています。

6。参加機関は、規範や学校の競争の公平性を確保するための競争監督の組織と規律を担当する関係部署に指示する必要があります。

組織の第4条フォーム

1。モデル組織の国立数学コンテスト（以下、国家組織委員会と呼ばれる）によって、競争委員会は、毎年恒例の登録、タイトルレースの準備、回答者のレビューと賞の国民の優れた組織、印刷された賞の証明書を起動するための責任を委員長とする国家表彰式を開催しました。

2。サブ分割競技団体。原則として、除算などの省（自治区、直轄市）、および各部門は6つの機関に参加するには、少なくとも20組のチームを持っている必要があります。隣接地域は、分割を形成してもよいです。宣伝や登録、監督と規律競技の部門を担当する（以下、事業組織委員会と呼ばれる）組織委員会設立の各部門は、回答者が仕事のレビューを組織しました。直接国家組織委員会へのチームの何セットアップ地方の学校部門は競争に入っていません。

3。部門と組み合わせる部門組織委員会の達成における競争の作業組織の優れたまたは未解決の進行の認識で組織優秀賞の設立、参加チームの数と量と質の学校の課税の質問の数、無規律現象で、品質レビューが働きます、仕事だけでなく、国家組織委員会と創造その他の協力の主な基準を実施するための具体的な状況。

記事の授与

1。各部門組織委員会が受賞したこの部門のファーストクラス、二等賞（も追加賞金）という名前の委員会は、正常に完了している残りの資格回答者の3分の1を超えることはありません専門家の査読を雇うへのエントリを取得証明書。

2。各部門組織委員会は、国家組織委員会の優れた規定の数に応じて、この委員会の回答者の国立部門をお送りします。国家組織委員会は、国家第一級、中に送信されたすべてのアリーナから優れた応答の二等賞を選択した統一基準によると、国家委員会の専門家の査読を雇います。

3。第一及び第二の受賞者と国立部門は、証明書を授与されました。

4。チームのルールに違反するために、一度競技から失格発見し、無効となります。学校が資格を次の学年の廃止まで、通知、警告されるべき場所の。国家組織委員会の規定に違反して作業のための部門賞はその賞の結果を認識しません。

記事の反対制度

1。公告の日の二週間国（または各部門）内の任意の個人やユニットからの受賞者は、国家組織委員会（または、各部門組織委員会）で挑戦することができます受信するための責任があります。

2。許容異議にフォーカス関わる教師の間の競争、議論する選手など、不正と他のレビューを含む競争の定款の違反です。回答者は、受賞歴のあるレベルの魅力を向上させるために、再評価が必要の場合は、原則として、許容特殊な状況は、検証のための国家委員会の部門組織委員会により、各監査後の最初の部門組織委員会することができます。

3。異議は、書面でなされなければなりません。ユニットが提起した異議は、連絡先の名前を表示しなければならない、通信、個人の異議は私の本当の名前、所属、およびサインがあります（電話または電子メールアドレス等を含む）、メールアドレスを通知する必要性を提起しました、および公印（電話または電子メールアドレス等を含む）に対処。オブジェクトへの国家組織委員会及び個人または団体のすべての部門組織委員会の機密保持。

4。学校当局の許容に関する異議は、調査する異議のための国家組織委員会とすべての部門組織委員会を支援する責任がある、との意見を前方に置きます。国家組織委員会や各部門組織委員会は、異議申立期間の終了後2ヶ月以内に、原告は、処理結果を回答するものとします。

第7条資金

1。部門組織委員会をホストするために入場料を支払うためにチームの学校。

2。部門組織委員会は、国家組織委員会への資金の一定額を支払います。

3。すべてのレベルでの教育機関に資金を提供しました。

4。資金のコミュニティ。

第8条、解釈および適用

この憲法は、2008年に国家組織委員会に帰属し、その解釈や修正を開始しました。

モデルでアメリカ数学コンテスト

（学際的なコンテストを含む）モデルで、アメリカ数学コンテストは、国立科学財団とアメリカ数学会とアメリカのオペレーションズ・リサーチ学会の応用の数学協会、工業用および応用数学、数学会や国際機関の数共催CD協会が主催しています11国際的なモデリングコンテスト。コンクールは、次の3人の学部の学生は、数学的モデリングおよびその他の知識を持つ4日以内に、特定の問題を解決するために、英語で論文を提出するソーシャルエンジニアリングを卒業していないが必要です。

 

 

データセット

次のような数学的モデリングアルゴリズムをテストし、実証するための研究担当者のための大規模なデータセットを含む数学的モデリング、

1.2008大学院数理モデルコンテストの質問とデータ

2.2011高等教育プレス杯全国学部数理モデルコンテストのタイトル

3.密度はアイリストレーニングデータセットをモデル化することができます

4.応用ベイズモデルデータセット（ベイジアンモデリングデータセット）

マルチレベルモデリング5.ワークシートデータ（多値モデリング作業テーブル形式データ）、等

 

国内教材

1.数学的モデリングアルゴリズムとアプリケーションは、長官クイ、日玉渓ジン編保つ。、国防産業プレス（2012年）。

2.数学モデル、江アン・キユアンコンパイル高等教育を押して（初版1987年、第二版1993年、第三版2003年第4版、2011; 1992年に初版は、教育の国家委員会は、その第二を開催しました国立優れた教科書賞）、「国家優秀教育賞」を受賞しました。

3。数理モデル化とケース、張Wanlong編、国防産業プレス（2014年）。

4.数理モデルのエントリと改善、李Hanlong編、国防産業プレス（2013）。

5数学的モデルとコンピュータシミュレーション、姜瑜趙、新ペイ愛編み、電子科学技術大学出版、（1989）。

6。（本から数学への）選挙の話の数理モデル、華、王元で、王柯翻訳、湖南教育出版（1991）。

7。数理モデル、単一のピーク、朱Limei、国防産業プレス（2011年）。

8。数理モデル、陳一華編、重慶大学出版、（1995）

9。数学的モデリング分析、カイ長豊編、アカデミック・プレス、（1995）。

10。モデルチュートリアル、李尚志エディタ、江蘇省教育出版、（1996）における数理コンテスト。

11。数学的モデリング、Xuquan志、ヤンJinhao編、成都電子科学技術プレス、（1996）を取得します。

12。数学的モデリング、シェン智、Shijiuゆう、ガオジェンビン、張Xiaowei、編、ハルビン工程大学出版、（1996）。

13。ED臥数学モデル、王。、中国プレス、（1996）の科学技術大学。

14。数学的モデリング手法、チーフアンは、華中大学出版、（1996）を編集しました。

15。南京の数理モデル化と実験的、数学的モデリングとエンジニアリングの大学工業数学コンパイルセミナー、Hehai大学出版、（1996）。

16。芸術をコンパイル劉フー、北京師範大学出版杜（1997）への数理モデルと数学的モデリング、。

17.数学的モデリング、元Zhendong、香港人民元、林呉中、江LUMIN編、華東師範大学出版。

18。数理モデル、タンヨンジ、復旦大学出版（1997）コンパイルゆうウェントピラマート。

19。実用的なチュートリアルの数理モデル、研修費、中間層エディタチェン元、四川大学出版、（1998）。

20。数学的モデリング（基本建設工学の数学の本）の優れた例を選択し、王國強エディタ、技術力プレス、（1998）の華南大学。

21。経済数学モデル（第二版）（基本建設エンジニアリング数学シリーズ）、チャンZhihua、技術力プレスの華南大学、（1999）によって編集され香港李、彼徳化、。

22。数理モデルの配布資料、レイヤン功編、大学出版（1999）。

23。朱タオ元、東南大学出版、（1999）によって編集された細かい話の数理モデル化、

24。この問題を解決するための数学的モデリング手法、文芸編集した劉ライフー、北京師範大学出版、（1999）。

25。数学的モデリングの理論と実践、呉翔、呉マンタットは、チェンライチーは、国防大学出版、（1999）を編集しました。

26、数学的モデリングのケーススタディ、Baiqi陵エディタ、オーシャンプレス、（2000年、北京）。

27。数学実験（大学教科書シリーズ）、日謝は、張は、エディタ、科学プレス、（2000）をしましょう。

28。数学のテスト、フー鵬、ゴングリブ、Qiong-日、どのような都市では、編、アカデミック・プレス、（2000）。

29。数理モデル化と数値実験、趙ジンが、チーコンパイル高等教育プレス（2000年）。

30。李Hanlong、国防工業を押して、（2016）によって編集された数学的モデリングアプリケーション（第2版）、Mathematicaで適時。

 

コンペの参考書

リットル、中国の学生数学的モデリングコンテスト、李Daqianエディタ、高等教育プレス（1998）。

2。モデルリソースの材料で数理コンテスト、（A）（2）（3）、イェQixiaoエディタ、湖南省教育出版（1993、1997）。

3。数理モデル化教育とモデリング「エンジニアリング数学」で国際数学コンクールアルバム、イェQixiaoエディタ、「エンジニアリング数学」誌、1994）。

モデリングガイドで数学コンテスト4.学生、Xiaohua龍エディタ、電子工業プレス（2015年）。
質問は、モデル5国立大学で数学コンテスト、WANG智建エディタ、国防工業を押して（2015）を研究しています。

 

外国の参考書

（訳）

1、数学モデル、E.入門 A. 前方ベンダー、八尾朱チェン、徐Weixuan翻訳、ポピュラーサイエンスプレス（1982）。

2。近藤二郎、政府栄張、M.、機械工業プレス、（1985）との数学的モデル、[ドア]。

3。微分方程式モデル（数学モデルが適用されるシリーズ第1巻）、[米国] W. F. ルーカスエディタ、朱ユーミン、M.、国防大学出版、（1988）。

4。政治や関連モデル（数理モデルシリーズの第2巻の応用）、[米国W. F. ルーカスエディタ、王Guoqiu翻訳、国防大学出版、（1996）。

5。離散およびシステムモデル（数理モデルシリーズの第3巻の応用）、[米国ワット F. ルーカス・ライチー、国防大学出版、（1996）に翻訳、編集しました。

6。ライフサイエンスモデル、[米国1W（数理モデルシリーズ第4巻の応用）。F. ルーカスエディタ、テキXiaoyan、M.、国防大学出版、（1996）。

7。数学的モデル - 連続電力システムと離散力学系、[英国1H。B. Grif6thsとA. シャオ式典、張志軍のコンパイル、科学プレス、（1996）、と01dknow。

8。数学的モデリング - イギリスの業界調査から4例（応用数学のレンディション第4号）、英国] D. Burglles（1997）、Yeqiシャオ、WU清バオ翻訳、世界ブック出版社、待っています

 

プロフェッショナル参考書

（本書のロット、参照用にのみいくつかの列）：

1。複雑なネットワークアルゴリズムとアプリケーションは、長官クイ、日玉渓ジン編保つ。、国防工業を押して、（2015）。

2。水環境の数理モデル、[ドイツ] W. このような編集、中国建築業プレス、（1987）などヨン6月、劉Zhaochang、とKinZE1bach。

3。科学技術プロジェクトの数理モデル、編集したチーの価値がある、鉄道出版社（1988）

4。生物医学数学モデル、緑のフリースクール編、湖南省科学技術プレス（1990）。

5。害虫管理と数理モデル、ポーZhelongエディタ、広東省科学技術出版社（1990）の適用をトリミング。

6。欧陽梁、山東大学出版、（1995）によって編集されたシステムサイエンス数学モデル、。

7。馬のお世話数理モデル化と個体群生態学の研究、安徽教育出版、（1996）

8。モデリング、変換、最適化 - 構造への進捗状況の包括的アプローチ、隋Yunkang大連理工大学出版社、（1986）

9。朱6月、中国農業プレス（1997）との遺伝的モデル解析方法。（数学科、中山王Shousongエディタ、2001年4月）