定積分のいくつかの性質

前提知識:ニュートン・ライプニッツの公式

パリティ

セット$f$在$[-a、](\_\_>0)$、その後

$${\int }_{-\_}^{}f\left(x\right)dx=\{\begin{array}{l}2{\int }_0^{}f\left(x\right)dx、fは偶数関数です\\ 0、fは奇\end{array}$$

証明: ∫ − a 0 f ( x ) dx \int_{-a}^0f(x)dxの場合${\int }_{-\_}^{}f\left(x\right)dx$，令$バツ=-t$、その後

$${\int }_{-\_}^{}f\left(x\right)dx={\int }_{ある}^{}f(-t)d(-t)=-{\int }_{ある}^{}f(-t)dt={\int }_0^{}f(-t)dt={\int }_0^{}f(-x)dx$$

\qquad所以原式$={\int }_0^{}f\left(x\right)dx+{\int }_{-\_}^{}f\left(x\right)dx={\int }_0^{}f\left(x\right)dx+{\int }_0^{}f(-x)dx$

$={\int }_0^{}\left[f\right(x)+f(-x)]dx$

$=\{\begin{array}{l}2{\int }_0^{}f\left(x\right)dx、fは偶数関数です\\ 0、fは奇\end{array}$

定期的に

セット$f$はTTです$T$は周期連続関数であり、任意の実数aa、両方とも持ってい$ます$

$${\int }_{ある}^{a+}f\left(x\right)dx={\int }_0^{}f\left(x\right)dx$$

证明：
$${\int }_{ある}^{a+}f\left(x\right)dx={\int }_{ある}^{}f\left(x\right)dx+{\int }_0^{}f\left(x\right)dx+{\int }_T^{a+}f\left(x\right)dx$$

\qquadx = t + Tとする$バツ=t+T$では、

$${\int }_T^{a+}f\left(x\right)dx={\int }_0^{}f(t+T)dt\_={\int }_0^{}f\left(t\right)dt$$

\qquadそれで

${\int }_{ある}^{a+}f\left(x\right)dx={\int }_{ある}^{}f\left(x\right)dx+{\int }_0^{}f\left(x\right)dx+{\int }_T^{a+}f\left(x\right)dx$

$={\int }_{ある}^{}f\left(x\right)dx+{\int }_0^{}f\left(x\right)dx+{\int }_0^{}f\left(x\right)dx$

$={\int }_0^{}f\left(x\right)dx$