sin x と cos x のいくつかのべき乗の定積分
∫ 0 π 2 sin nx = ∫ 0 π 2 cos nx = { n − 1 n × n − 3 n − 2 × ⋯ × 1 2 × π 2 n は偶数 n − 1 n × n − 3 n − 2 × ⋯ × 1 2 × 1 n は奇数です\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^ nx= \begin {件} \dfrac{n-1}{n}\times \dfrac{n-3}{n-2}\times \cdots\times \dfrac 12\times \dfrac{\pi}{2 }\qquad n は偶数です\\ \qquad \\ \dfrac{n-1}{n}\times \dfrac{n-3}{n-2}\times \cdots\times \dfrac 12\times 1 \qquad n は奇数です\ end{cases}∫02p罪nバツ=∫02pコスnバツ=⎩ ⎨ ⎧nn−1×n−2n−3×⋯×21×2pnは偶数ですnn−1×n−2n−3×⋯×21×1nは奇数
証明：
\qquadsin x \sin xによると罪x和cos x \cos xコスx在[ 0 , π 2 ] [0,\dfrac{\pi}{2}][ 0 ,2p] ∫0 π 2 sin nxdx = ∫ 0 π 2 cos nxdx \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n xdx=\int_0^{\frac{\ pi}{2} }\cos^n xdx∫02p罪nx d x=∫02pコスnx d x
\qquad令I n = ∫ 0 π 2 sin nx = ∫ 0 π 2 cos xdx I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nx=\int_0^{\frac{\pi} {2}}\cos xdx私ん=∫02p罪nバツ=∫02pコスx d x、すると
I n = ∫ 0 π 2 sin x ⋅ sin n − 1 xdx = ∫ 0 π 2 sin n − 1 xd ( − cos x ) = − cos x ⋅ sin n − 1 x ∣ 0 π 2 − ∫ 0 π 2 ( − cos x ) d ( sin n − 1 x ) I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin x\cdot \sin^{n-1}xdx =\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-1}xd(-\cos x)=-\cos x\cdot \sin^{n-1}x\bigg\vert_0 ^{\frac{\pi}{2}}-\int_0^{\frac{\pi}{2}}(-\cos x)d(\sin^{n-1}x)私ん=∫02p罪バツ⋅罪n − 1x d x=∫02p罪n − 1x d ( −コス× ）=−コスバツ⋅罪n − 1バツ 02p−∫02p( −コスx ) d (罪n − 1× ）
= ( n − 1 ) ∫ 0 π 2 cos 2 x ⋅ sin n − 2 xdx = ( n − 1 ) ( ∫ 0 π 2 sin n − 2 xdx − ∫ 0 π 2 sin nxdx ) = ( n − 1 ) I n − 2 − ( n − 1 ) I n =(n-1)\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^2x\cdot \sin^{n-2}xdx =(n-1)(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-2}xdx-\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n xdx )=(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n=( n−1 )∫02pコス2バツ⋅罪n − 2x d x=( n−1 ) ( ∫02p罪n − 2x d x−∫02p罪nx d x )=( n−1 )私n − 2−( n−1 )私ん
\qquad( n − 1 ) I n (n-1)I_n を方程式の両辺に追加します。( n−1 )私ん得 n I n = ( n − 1 ) I n − 2 nI_n=(n-1)I_{n-2} 私は_ん=( n−1 )私n − 2，すなわちI n = n − 1 n I n − 2 I_n=\dfrac{n-1}{n}I_{n-2}私ん=nn−1私n − 2。数学的帰納法で証明できます。