アルゴリズムの複雑さの詳細な説明と原理

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アルゴリズムの複雑さの詳細な説明と原理

ミッキーInvQ

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投稿日 2022-10-28 10:05:06

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14日間の読書チャレンジ* 努力は並大抵のものではありません~ アルゴリズムを学ぶ人は誰でも、桃源明の「桃花春」のように、アルゴリズムを解くための鍵が必要です。何十歩も歩くと突然陽気になる。」

アルゴリズムの知識ポイント

アルゴリズムの特徴

(1) 有限性: アルゴリズムは複数の命令から構成される有限なシーケンスであり、複数回実行されると必ず終了し、永遠に停止することは不可能です。
(2) 確実性: すべてのステートメントには、曖昧さのない明確な意味があります。
(3) 実現可能性：現在の環境では、限られた演算数でアルゴリズムを実現可能
(4) 入力/出力: 0 個以上の入力と 1 つ以上の出力があります。

アルゴリズムトピックの説明

シーケンスの合計を求めるアルゴリズムを作成します。

質問のアイデア

このトピックを見てどう思いますか? forループ？whileループ？まず for ループのコードを見てください。

for ループソリューション


int sum1(int n){
                
                
   int sum=0;
   for(int i=1;i<=n;i++)
      sum+=pow(-1,i);//表示（-1）^i 
   return sum;
}

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上記のコードは確かに合計演算を実現できますが、なぜそうではないのでしょうか?

別の書き方を見てみましょう。

誘導的解決策


int sum2(int n){
                
                
   int sum=0;
   if(n%2==0)
      sum=0;
   else
      sum=-1;
   return sum;
}

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このコードを見た後、これがまだ可能であることに突然気づきましたか?これは数学者ガウスが使用したアルゴリズムではないでしょうか?

対数は合計 50 あり、各対数の合計は 101 であるため、合計は次のようになります。

（1+100）* 50 = 5050

1787 年、他の子供たちが半日かかったのに対し、10 歳のガウスは非常に短時間で結果を計算しました。for ループを使用すると、n 回ループする必要があり、各ループで pow 演算が必要になり、加算演算が実行されることがわかります。n = 10000 の場合、このようなプロセスを 10000 回計算します。観察と帰納を通じて、2 番目の方法は 1 回だけ必要ですが、大きな違いはありますか?

ガウス法も知っていますが、同じような問題に遭遇したことがあります...私たちが使用している愚かな方法もアルゴリズムですか？答え: はい

アルゴリズムの複雑さの計算

優れたアルゴリズムの基準

効率的 - 時間の複雑さ
低ストレージ - スペースの複雑さ

時間計算量の計算

アルゴリズムの実行に必要な時間。現代のコンピューターは 1 秒間に多くの計算を実行できるため、秒単位で測定することはできません。同じコンピュータの 1 回の時間は比較的固定されており、構成が異なるコンピュータでは異なります。したがって、実行回数を時間計算量とみなします。


int sum=0;                  //运行1次
int total=0;                //运行1次
for(int i=1;i<=n;i++){
                
                      //运行n+1次，最后一次判断不满足循环条件
  sum=sum+i;                //运行n次
  for(j=1;j<=n;j++)         //运行n×(n+1)次
    total=total+i*j;        //运行n×n次
}

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上記すべてのステートメントの実行数を合計すると、次のようになります。

1 + 1 + n+1 + n + n×(n+1) + n×n 。

这个可以用一个函数T(n) 来表示： T(n) = 2n2+3n+3 当n足够大的时候，例如n = 105 ,那么T(n) = 2 * 1010 + 3 *105 +3 可以看出，算法运行的时间主要取决于最高项，小项和常数可以忽略不计。有些算法，如排序，查找、插入算法等，可以分为最好、最坏和平均情况分别去求算法的渐进复杂度。但是考察一个算法时，通常考察最坏的情况，最坏的情况对衡量算法好坏具有实际意义

空间复杂度的计算

算法占用的空间大小。空间复杂度的本意指的是算法在运行过程中，占用了多少存储空间。算法占用的存储空间包括：

（1）输入、输出数据
（2）算法本身
（3）额外需要的辅助空间输入输出占用的空间是必须的，算法本身占用的空间可以通过精简算法来缩减，但缩减的量是很小的，可以忽略不计。算法在运行时候，所使用的辅助变量占用空间，才是衡量算法复杂度的关键因素。

常数变量复杂度

请分析如下的算法空间复杂度


void swap(int x,int y){
                
                    //交换x与y 
     int temp;
     temp=x;               //temp为辅助空间 ①
     x=y;                  //②
     y=temp;               //③
}

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两个数交换的过程：

这里使用了temp辅助变量，空间复杂度为O（1）

递归空间复杂度

在递归算法中，每次递归都需要一个栈来保存调用记录，因此在计算递归的空间复杂度的时候，需要计算递归栈的深度。


int fac(int n){
                
                 //计算n的阶乘
    if(n==0||n==1) 
        return 1; 
    else 
        return n*fac(n-1); 
}

复制

阶乘是典型的递归调用问题，递归包括地推和回归。递推是将原问题不断分解成子问题，直至满足结束条件，返回最近子问题的解。然后逆向逐一回归，最终到达递推开始的原问题，返回原问题的解。

思考：试求5的阶乘，程序将怎么计算呢？ 5的阶乘的递推和回归的过程如下：