【分布系図】正規分布とカイ二乗分布の関係

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正規分布

正規分布は、二項分布の漸近公式で Dimove によって初めて得られ、その地位を実際に確立したのはガウスの測定誤差に関する研究であるため、ガウス分布とも呼ばれます。。計測は人間が自然界を定量的に理解するための基礎であり、計測誤差の普遍性により正規分布の応用範囲が広いためか、正規分布は分布系図において中核的な位置を占めています。

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正規分布 $N(\mu, \sigma)$ 期待値の影響を受ける $\mu$ と分散 $\sigma^2$ 規制の場合、その確率密度関数は

$\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp[-\frac{(x-\mu) ^2}{2\sigma^2}]$

当 $\mu=0$ および $\sigma=1$ の場合、標準正規分布 $N (0, 1)$ 、対応する確率分布関数は $\Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp[-\フラク{x^2}{2}]$ 。

カイ二乗分布

たら $k 個$ の独立確率変数 $\xi_1, \xi_2,\cdots,\xi_k$ 、すべてが標準正規分布に従う場合、これらの k 個の確率変数の二乗和が新しい変数を構成し、新しい変数は $\chi^2に従います。$ 配布。その確率密度関数は次のとおりです。

$\rho(x)=\frac{(1/2)^{k/2}} {\Gamma(k/2)}x^{k/2-1}e^{-x/2}$

次に、正規分布に従って $k 個の確率変数を計算し、それらの二乗和をプロットします。$

import numpy as np
from scipy.stats import norm, chi2
import matplotlib.pyplot as plt

k = 200
xs = [np.sum(norm.rvs(size=200)**2) for _ in range(10000)]
plt.hist(xs, density=True, bins=100, alpha=0.8)

rv = chi2(k)
st, ed = rv.interval(0.995)
xs = np.linspace(st, ed, 200)
plt.plot(xs, rv.pdf(xs))
plt.show()

効果は

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カイ二乗分布の極限

カイ二乗分布の PDF は $k$ 付き $k$ の値は増加し続け、カイ二乗分布は正規分布に近づきます。さらに、カイ二乗分布の一般的に使用される統計的特性も $k$ は密接に関連しており、その期待値は $k$ 、分散は $2 k$ 、中央値は $k-\frac 3 2$ 近く。

以下の $k$ 値。カイ二乗分布の乱数のセットを生成します。期待値は $k$ 、標準偏差は $\sqrt{\frac k2}$ 比較のための正規分布曲線。

fig = plt.figure()
for i,k in enumerate([1,10,100,1000]):
    ax = fig.add_subplot(2,2,i+1)
    chis = chi2(k).rvs(size=10000)        # 卡方分布
    ax.hist(chis, density=True, bins=100, alpha=0.8)
    rv = norm(k, np.sqrt(2*k))
    st, ed = rv.interval(0.995)
    xs = np.linspace(st, ed, 200)
    ax.plot(xs, rv.pdf(xs))
    ax.set_title(f"k={
      
      k}")

plt.show()

のことがわかります。 $k が$ 徐々に増加するにつれて、カイ二乗分布は正規分布に近づきます。

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