【分布系譜】スチューデントのt分布と正規分布、カイ二乗分布との関係

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序章

1908 年、ゴセットはワイナリーで働いていましたが、ワイナリーでは従業員がワイン関連の研究結果を発表することを禁止していたため、t 分布に関する研究を偽名で発表したStudentと考え。

がある場合 $\times 、 Y$ 、どちらも標準正規分布に従い、自由度は $\nu$ のカイ二乗分布 $\frac{X}{\sqrt{Y/\nu}}$ t 分布に従い、その確率密度関数は次のようになります。

$f(x,\nu)=\frac{\Gamma(\frac{ \nu+1}{2})}{\sqrt{\pi\nu}\Gamma(\frac{\nu}{2})}(1+\frac{x^2}{\nu})^{ -\frac{\nu+1}{2}}$

正規分布とカイ二乗分布

正規分布は、二項分布の漸近公式で Dimove によって初めて得られ、その地位を実際に確立したのはガウスの測定誤差に関する研究であるため、ガウス分布とも呼ばれます。計測は人間が自然界を定量的に理解するための基礎であり、計測誤差の普遍性により正規分布の応用範囲が広いためか、正規分布は分布系図において中核的な位置を占めています。

ここに画像の説明を挿入

正規分布 $N(\mu, \sigma)$ 期待値の影響を受ける $\mu$ と分散 $\sigma^2$ 規制の場合、その確率密度関数は

$\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp[-\frac{(x-\mu) ^2}{2\sigma^2}]$

当 $\mu=0$ および $\sigma=1$ の場合、標準正規分布 $N (0, 1)$ 、対応する確率分布関数は $\Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp[-\フラク{x^2}{2}]$ 。

たら $k 個$ の独立確率変数 $\xi_1, \xi_2,\cdots,\xi_k$ 、すべてが標準正規分布に従う場合、これらの k 個の確率変数の二乗和が新しい変数を構成し、新しい変数は $\chi^2に従います。$ 配布。その確率密度関数は次のとおりです。

$\rho(x)=\frac{(1/2)^{k/2}} {\Gamma(k/2)}x^{k/2-1}e^{-x/2}$

scipy を使用して 3 つの関係を確認する

次に、正規分布を通じて学生分布を構築し、検証します。

import numpy as np
from scipy.stats import norm, chi2, t
import matplotlib.pyplot as plt

k = 200
X = norm.rvs(size=10000)
Y = chi2(k).rvs(size=10000)
xs = X/(Y/k)
plt.hist(xs, density=True, bins=100, alpha=0.8)

rv = t(k)
st, ed = rv.interval(0.995)
xs = np.linspace(st, ed, 200)
plt.plot(xs, rv.pdf(xs))
plt.show()

結果は次のとおりです

ここに画像の説明を挿入
分布特性の観点から見ると、t 分布は正規分布に非常に似ており、すべて原点対称の単峰偶数関数です $n \to \infty$ 、スターリングの公式によると、 $t$ 分布は正規分布になる傾向があります。

さまざまな ν についてテストしてみましょう $\nu$ 、

fig = plt.figure()
xs = np.linspace(-5,5,1000)
for i,nu in enumerate([3,10,50,200]):
    ax = fig.add_subplot(2, 2, i+1)
    ax.plot(xs, norm.pdf(xs), label="norm")
    ax.plot(xs, t(nu).pdf(xs), lw=0.5, label="t")
    plt.legend()


plt.show()

結果を図に示します

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