1.一般的な信号のフーリエ係数。
- 周期的な方形波信号のフーリエ係数は次のように計算されます。
方形波信号の周期x（t）をT、振幅を1、パルス幅をτ、デューティサイクルを1/2とすると、T =2τが得られます。画像を以下に示します。
c0の派生プロセスを次の図に示します。
上の図では、積分区間[-τ/ 2、τ/ 2]では、x（t）= 1であり、c0はそれを取り込むことで得られます。
ckの派生プロセスは次のとおりです。
から：ω0=2π/ T、次のようになります：ω0T =2π、そして：T =2τなので： ω02τ=2π、次のようになります：ω0*τ=π、方形波信号ckは図の式です以下。
C0は、ckの一般式から直接取得することもできます。k-> 0、sin（kπ/ 2）/（kπ/ 2）-> 1の場合、sin（kπ/ 2）/（kπ/ 2）は初等関数であるため、関数値は極限値に等しくなります。したがって、この例ではc0が0.5に等しいことがわかります。 - 周期的な矩形信号のフーリエ係数は次のように計算されます。
周期的な方形波信号は、実際には周期的な方形波信号に属します。周期的な方形波信号のデューティ比は2に等しく、周期的な方形波信号のデューティ比はnです。したがって、周期的な方形波信号に拡張できます。周期的な方形波信号を介して。
周期的な矩形信号の振幅を1、パルス幅をτ、周期をT、デューティサイクルを1 / nとすると、T =nτ、ω0nτ=2π、ω0で次の式になります。 τ=2π/ nZizhong。
それを持ち込んだ後、周期的な矩形信号のフーリエ係数の一般項ckを計算によって得ることができます。以下に示すように。
上図の式から、デューティサイクルが1/2の場合、つまりn = 2の場合、振幅1の方形波信号のフーリエ係数が代入されていることがわかります。
2.一般的な周期信号の離散スペクトル。
- 余弦関数の離散スペクトルを次の図に示します。
コサイン信号が下図のようになっていると仮定します。
上図の式は、虚数jを含む項を削除したオイラーの式から導き出されたものです。コサイン関数の複素指数信号の分解は、オイラーの公式によって得られることがわかります。
例の余弦関数の3次元周波数スペクトルを次の図に示します。
上図の3ビットスペクトルは、横軸に角速度wを使用し、横軸に周波数fを使用することもできます。ckは複素数であるため、xy平面はckを表すために使用されます。
余弦関数の振幅スペクトルを次の図に示します。
上図の縦軸の振幅は、ckの係数を表しています。
余弦関数の位相スペクトルを下図に示します。
ckは複素数であるため、上の図の縦軸の位相はckの位相を表しています。-w0とw0での余弦関数のckは両方とも0.5であり、複素平面デカルト座標系の実軸の正の方向に対応するため、引数は0であり、これらの2点での位相は0です。 - 正弦波信号の周波数スペクトル。
正弦波信号が次の図のようになっているとします。
コサイン信号と同様に、正弦波信号の複素指数信号への分解は、フーリエ級数による近似を必要とせずに、オイラーの公式を削除することで取得できます。
正弦波信号の3次元スペクトルを次の図に示します。
正弦波信号の振幅スペクトルを次の図に示します。
縦軸はckの弾性率を表します。
正弦波信号の位相スペクトルを次の図に示します。
上の図では、wが-w0に等しい場合、ckは0.5jに等しく、これは虚軸の正の方向に対応するため、引数はπ/ 2になります。 - 周期的な方形波信号の周波数スペクトル。
周期的な方形波信号の周期：T = 1、パルス幅：τ= 0.5、デューティサイクル：1 / n =τ/ T = 1/2と仮定します。以下に示すように。
周期的な方形波信号のフーリエ係数ckの一般項によれば、この例の周期的な方形波信号の一般的な項ckを得ることができます。
周期的な矩形信号のフーリエ係数ckの総称を下図に示します。
周期的な方形波信号のフーリエ係数の総称を下図に示します。
周期的な方形波信号の3次元周波数スペクトルを下図に示します。
下の横軸はk、k = 0、±1、±2、...を表します。これは、kの横軸の横軸の単位がw0またはf0であることを意味します。つまり、離散点間の距離は次のようになります。 w0またはf0、横軸の点はkw0またはkf0であり、異なる単位は異なる独立変数に対応します。縦軸はckを表します。 - 周期的な矩形信号の周波数スペクトル。
周期的方形波信号は周期的矩形波信号の一種であり、周期的方形波信号のデューティサイクルは2です。
周期的な矩形信号の振幅を1、パルス幅をτ、デューティサイクルを1 / nと仮定します。
周期的な矩形信号のフーリエ係数を次の図に示します。
上の図のnは、デューティサイクルを表します。上図の周期矩形信号のフーリエ係数は、下図のように変換できます。
上図の式をsinc関数に組み込むと、下図の式を取得できます。
上図の式によると、上図の式から、振幅1、パルス幅τ、デューティ比1 / nの周期的矩形信号の離散スペクトルckがサンプリングされ、サンプリング間隔はf0となります。
周期的な矩形信号のパルス幅は0.5、周期は1、2、4、対応するデューティ比は1 / 2、1 / 4、1 / 8です。波形を下図に示します。
上の図で、横軸は周期を表し、縦軸は振幅を表します。
周期的な矩形信号のパルス幅は0.5、周期は1、2、4、対応するデューティ比は1 / 2、1 / 4、1 / 8です。波形を下図に示します。
上の図では、横軸はkを表し、間隔の単位はf0です。つまり、サンプリングポイントkとk +1の間の間隔はf0です。
3.非周期信号の連続スペクトル。
- 非周期的な矩形信号の離散スペクトル。
周期的な矩形信号のフーリエ係数式、つまり離散スペクトルを次の図に示します。
非周期的な矩形信号の波形は、周期的な信号の周期Tが無限大になりがちなときに得られる波形と同等です。上図の周期的な矩形信号の離散スペクトルに従って解析を行うと、Tが無限大になると、nも無限大になるため、次のようにスペクトルの線間隔と長さがゼロに近づきます。図。
これは、非周期的矩形信号の分析に不便をもたらすため、非周期的信号を解析する場合、非周期的矩形信号のフーリエ係数は一般に直接分析されません。つまり、離散スペクトルは一般に説明されませんが、継続的な研究は、いくつかの変換の後に実行されます。スペクトル。 - 非周期的な矩形信号の連続スペクトル。
非周期的な矩形信号は、一般的にck / f0を使用して記述されます。周期信号のフーリエ係数の式から、下図の式が得られます。
上図から、ck / f0の値はτsinc（τf）のフラットトップサンプリングであり、サンプリング間隔はf0であることがわかります。
次の図に示すように、振幅1、パルス幅τ= 0.5、周期1、2、4の周期的な長方形信号のck / f0ステップポリラインと離散スペクトルを一緒に描画します。
上図からわかるように、周期が長くなるにつれて、階段状の破線は徐々にτsinc（τf）の曲線に近づきます。非周期的な矩形信号の周期は無限大になる傾向があるため、連続スペクトルとして理解できます。非周期的な矩形信号の場合下図に示すのはτsinc（τf）の曲線です。
4.非周期信号のフーリエ変換。
- 矩形パルス信号。
矩形パルス信号の振幅を1、パルス幅をτとすると、その像とフーリエ変換された像を下図に示します。
フーリエ変換は、時間領域の信号を周波数領域の信号に変換するのと同じです。上の図の左側の非周期的な長方形の信号の画像は、時間領域の画像です。横軸は時間です。 、縦軸は振幅、右は周波数領域での非周期的長方形信号の画像です。前にプッシュされた非周期的長方形信号の連続スペクトルによると、次のことがわかります。画像はsinc関数です。したがって、非周期的な矩形信号のフーリエ変換はsinc関数です。 - sincパルス信号。
sincパルス信号の関数がτsinc（τt）であると仮定すると、そのフーリエ変換は非周期的な矩形関数です。以下に示すように。
フーリエ変換には一定の対称性があります。A関数が偶数関数で、A関数のフーリエがB関数の場合、B関数のフーリエ変換はA関数です（B関数の引数fをTheに変更します。 t、B関数は周波数領域から時間領域への変化として理解でき、フーリエ変換はA関数になります。つまり、A関数の独立変数tはfに変更されます。奇数関数の場合、対称性もありますが、関数と同じではありません。 - 単位インパルス信号
単位インパルス信号は、sincパルス信号τsinc（τt）から取得できます。τ->無限大の場合、フーリエ変換は、sincパルス信号のフーリエ変換からも取得できます。つまり、非周期的です。下の図に示すように、τ->無限大の場合にも得られます。
上の図からわかるように、単位インパルス関数のフーリエ変換はDC信号関数です。