コーシー・リーマン方程式（略してCR方程式）は、複素変数関数が複素解析で微分可能かどうかを判断するための必要十分条件です。この記事では、代数的および幾何学的な方法を使用して、それが何を言っているかを理解しようとします。

代数的証明：

複素関数の分野では、f（z） $z_0$ は場所で解析的です=> f（z）は $z_0$ 場所で微分可能です<=> f（z）は $z_0$ 場所で微分可能です

証明1：

$w = f（z）$ 、次に $z_0$ ：

$\ Delta w = f（z_0 + \ Delta z）-f（z_0）= f '（z_0）\ Delta z + \ rho（\ Delta z）\ Delta z \ qquad（\ rho（\ Delta z）\ rightarrow 0 ）$

作る

$f '（z_0）= a + bi、\ \ Delta z = \ Delta x + i \ Delta y、\ \ Delta w = \ Delta u + i \ Delta v、\ rho（\ Delta z）= \ rho_1 + i \ rho_2$

代入上式:

$\\\デルタw = \デルタu + i \デルタv =（a + ib）（\デルタx + i \デルタy）+（\ rho_1 + i \ rho_2）（\デルタx + i \デルタy）\ \ = a \ Delta xb \ Delta y + \ rho_1 \ Delta x- \ rho_2 \ Delta y + i（b \ Delta x + a \ Delta y + \ rho_2 \ Delta x + \ rho_1 \ Delta y）$

複数の平等の条件によると：

$\ left \ {\ begin {matrix} \ Delta u = a \ Delta xb \ Delta y + \ rho_1 \ Delta x- \ rho_2 \ Delta y \\ \ Delta v = b \ Delta x + a \ Delta y + \ rho_2 \ Delta x + \ rho_1 \ Delta y \ end {matrix} \ right。$

上記の主要な項目aとbを保持し、項目を削除して、次の $\ rho_1、\ rho_2$ ことを証明したいと考えています。 $（\ rho_2 \ Delta x + \ rho_1 \ Delta y）$ と $（\ rho_1 \ Delta x- \ rho_2 \ Delta y）$ は両方とも微小です。

のため：

$\\\左| \ frac {\ rho_1 \ Delta x- \ rho_2 \ Delta y} {\ left | \ Delta z \ right |} \ right | = \ left | \ frac {\ rho_1 \ Delta x- \ rho_2 \ Delta y} {\ sqrt {\ Delta x ^ 2 + \ Delta y ^ 2}} \ right | \ leqslant \ left | \ rho_1 \ right | \ frac {\ left | \ Delta x \ right |} {\ sqrt {\ Delta x ^ 2 + \ Delta y ^ 2}} + \ left | \ rho_2 \ right | \ frac {\ left | \ Delta y \ right |} {\ sqrt {\ Delta x ^ 2 + \ Delta y ^ 2}} \\\ leqslant \ left | \ rho_1 \ right | + \ left | \ rho_2 \ right |$

時 $\ Delta z \ rightarrow 0$ 、時と $\ rho（\ Delta z）= \ rho_1 + i \ rho_2 \ rightarrow 0$ 同等 $\ Delta x \ rightarrow 0、\ Delta y \ rightarrow 0$ 、時、 $\ rho_1 \ rightarrow 0、\ rho_2 \ rightarrow 0$

したがって、高階より $（\ rho_1 \ Delta x- \ rho_2 \ Delta y）$ も $\左| \ Delta z \ right |$ 無限に小さく、同様に $（\ rho_2 \ Delta x + \ rho_1 \ Delta y）$ この結論も得られます。

など：

$\ left \ {\ begin {matrix} \ Delta u = a \ Delta xb \ Delta y \\ \ Delta v = b \ Delta x + a \ Delta y \ end {matrix} \ right。$

二変数の偏導関数の性質によると、次のようになります。

$\ frac {\ partial u} {\ partial x} = a、\ frac {\ partial u} {\ partial y} = -b、\ frac {\ partial v} {\ partial x} = b、\ frac {\部分的v} {\部分的y} = a、$

したがって、次のように導入できます。

$\ frac {\ partial u} {\ partial x} = \ frac {\ partial v} {\ partial y}、\ frac {\ partial u} {\ partial y} =-\ frac {\ partial v} {\ partialバツ}$

証明2：

$f（z）= u（x、y）+ iv（x、y）$ 、そしてエリアDのポイントを $z = x + iy$ ガイドすると、次のようになります。

$\ lim _ {\ Delta z} \ frac {f（z + \ Delta z）-f（z）} {\ Delta z} = f '（z）$

$\デルタz = \デルタx + i \デルタy$ 、

$\\ f（z + \ Delta z）-f（z）= \ Delta u + i \ Delta v = u（x + \ Delta x、y + \ Delta y）+ iv（x + \ Delta x、y + \デルタy）-u（x、y）-iv（x、y）= u（x + \デルタx、y + \デルタy）-u（x、y）+ i（v（x + \デルタx 、y + \デルタy）-v（x、y））$

など：

$\\\デルタu = u（x + \デルタx、y + \デルタy）-u（x、y）\\\デルタv = v（x + \デルタx、y + \デルタy）-v（ x、y）$

など：

$\ lim _ {\ Delta x \ rightarrow 0 \ \ Delta y \ rightarrow 0} \ frac {\ Delta u + i \ Delta v} {\ Delta x + i \ Delta y} = f '（z）$

$\デルタz = \デルタx + i \デルタy$ 上記の式は、0に近づいても常に成り立つため、次の2つの特別なパスがあります。

第1条： $\ Delta y = 0、\ Delta x \ rightarrow 0$

記事2： $\ Delta x = 0、\ Delta y \ rightarrow 0$

パスを次の図に示します。

パス1をたどります。

$\ lim _ {\ Delta x \ rightarrow 0} \ frac {\ Delta u} {\ Delta x} + i \ lim _ {\ Delta x \ rightarrow 0} \ frac {\ Delta v} {\ Delta x} = f '（z）$

など、

$\ frac {\ partial u} {\ partial x} + i \ frac {\ partial v} {\ partial x} = f '（z）$

パス2をたどります。

$\ lim _ {\ Delta y \ rightarrow 0} \ frac {\ Delta u} {i \ Delta y} + \ lim _ {\ Delta y \ rightarrow 0} \ frac {\ Delta v} {\ Delta y} = f '（z）= --i \ lim _ {\ Delta y \ rightarrow 0} \ frac {\ Delta u} {\ Delta y} + \ lim _ {\ Delta y \ rightarrow 0} \ frac {\ Delta v} { \デルタy}$

関数が分析的である場合、2つのパスによって計算された導関数は同じである必要があります。

$-i \ lim _ {\ Delta y \ rightarrow 0} \ frac {\ Delta u} {\ Delta y} + \ lim _ {\ Delta y \ rightarrow 0} \ frac {\ Delta v} {\ Delta y} = \ lim_ {\ Delta x \ rightarrow 0} \ frac {\ Delta u} {\ Delta x} + i \ lim _ {\ Delta x \ rightarrow 0} \ frac {\ Delta v} {\ Delta x}$

複数の平等の条件によると：

$\\-\ frac {\ Delta u} {\ Delta y} = \ frac {\ Delta v} {\ Delta x} \\ \\\ frac {\ Delta v} {\ Delta y} = \ frac {\ Delta u} {\ Delta x} \\$

あれは：

$\ frac {\ partial u} {\ partial x} = \ frac {\ partial v} {\ partial y}、\ frac {\ partial u} {\ partial y} =-\ frac {\ partial v} {\ partialバツ}$

幾何学的証明：

上記の代数的証明は、複素変数関数の導関数が存在する場合、必要な $z_0 + \デルタz \右矢印z_0$ 方法は任意であるとすでに述べています。これは、実変数の場合よりもはるかに複雑です。実変数関数の場合、導関数の存在は、ポイント $x_0 + \ Delta x$ 左（ $\ Delta x <0$ ）および右（ $\ Delta x> 0$ ）方向からx0に近づく $\デルタy / \デルタx$ と、比率の限界が存在し、等しくなります。複素変数関数の導関数の存在は、点が $z_0 + \デルタz$ 接続点に沿った $z_0$ 任意のパスに近づくと、 $z_0$ 比率の $\デルタw / \デルタz$ 限界が存在し、これらの限界が等しいことを意味します。複素変数関数の微分条件は次のようになります。実変数よりも優れています。関数の微分可能な条件はより厳しいものです。

以下に示すように：

で $z_0$ 誘導、それは意味します：

$f '（z_0）= \ lim _ {\ Delta z \ rightarrow 0} \ frac {\ Delta f} {\ Delta z}$

複素数のアルゴリズムによると、存在、

$\ frac {\ Delta f} {\ Delta z} = \ frac {r _ {\ Delta f}} {r _ {\ Delta z}} \ angle（\ theta _ {\ Delta f}-\ theta _ {\ Delta z}）$

これは、任意の軌道に沿ってアプローチすることも意味し $z_0$ ます。

$\ frac {r _ {\ Delta f}} {r _ {\ Delta z}}$

と

$\ angle（\ theta _ {\ Delta f}-\ theta _ {\ Delta z}）$

すべて固定値です。ここで

$\ frac {r _ {\ Delta f}} {r _ {\ Delta z}} = \ left | f '（z0）\ right |$

膨張比と呼ばれる、

$\ frac {r _ {\ Delta f}} {r _ {\ Delta z}} = \ angle Arg（f '（z_0））$

回転角です。

以下に示すように：

$f（z）= z ^ 2$ 例として複素変数関数を取り上げ、最初にCR方程式に従ってその導出可能性を判断します。

$f（z）= z ^ 2 =（x + iy）^ 2 = x ^ 2-y ^ 2 + 2xy \ cdot i$

作る：

$u（x、y）= x ^ 2-y ^ 2$

$v（x、y）= 2xy$

$\ frac {\ partial u} {\ partial x} = 2x$ $\ frac {\ partial v} {\ partial y} = 2x$

$\ frac {\ partial u} {\ partial y} = -2y$ $\ frac {\ partial v} {\ partial x} = 2y$

$\ frac {\ partial u} {\ partial x} = \ frac {\ partial v} {\ partial y}、\ frac {\ partial u} {\ partial y} =-\ frac {\ partial v} {\ partialバツ}$ 設立。

など

$f '（z）= \ frac {\ partial u} {\ partial x} + i \ frac {\ partial v} {\ partial x} = 2x + 2y \ cdot i = 2z$ 、

または：

$\\ f '（z）= lim _ {\ Delta z \ rightarrow 0} \ frac {（z + \ Delta z）^ 2-z ^ 2} {\ Delta z} = lim _ {\ Delta z \ rightarrow 0 } \ frac {\ Delta z ^ 2 + 2z \ Delta z} {\ Delta z} \\ = lim _ {\ Delta z \ rightarrow 0}（2z + \ Delta z）= 2z$

したがって、それ $f（z）= z ^ 2$ はどこでも導関数であり、導関数は $2z$ です。

複素関数 $w = f（z）= z ^ 2$ とその後 $z_0$ の導関数は、 $f '（z_0）$ 異なるパスに沿って得られる導関数になります $f '（z_0）$ 。

複数のアプローチパスから任意に2つのhとgを選択し、パスhとgの間の角度は $\ angle \ beta$ です。

取得することができます

$\デルタW_h = f（z_0 + \デルタz）-f（z_0）= f '（z_0）\デルタz_h$

$\デルタW_g = f（z_0 + \デルタz）-f（z_0）= f '（z_0）\デルタz_g$

作る：

$\ Delta z_h = r_h \ angle \ theta_h$

$\デルタz_g = r_g \角度\ theta_g$

$f '（z_0）= r \ angle \ theta$

そして

$\ angle \ theta_h- \ angle \ theta_g = \ angle \ beta$

など

$\ Delta W_h = f（z_0 + \ Delta z）-f（z_0）= f '（z_0）\ Delta z_h = r \ cdot r_h \ angle（\ theta_h + \ theta）$

$\ Delta W_g = f（z_0 + \ Delta z）-f（z_0）= f '（z_0）\ Delta z_g = r \ cdot r_g \ angle（\ theta_g + \ theta）$

したがって、h、g線にわずかな摂動を加えた後、h、g方向のw = f（z）の変化ベクトルの方向は次のようになります。

$\ Delta W_h = r \ cdot r_h \ angle（\ theta_h + \ theta）$

$\ Delta W_g = r \ cdot r_g \ angle（\ theta_g + \ theta）$

気づいた

$\ frac {\ Delta W_h} {\ Delta W_g} = \ frac {r_h} {r_g} \ angle（\ theta_h- \ theta_g）= \ frac {r_h} {r_g} \ angle \ beta$

$\ frac {\ Delta z_h} {\ Delta z_g} = \ frac {r_h} {r_g} \ angle（\ theta_h- \ theta_g）= \ frac {r_h} {r_g} \ angle \ beta$

したがって、小さな摂動が複素関数によって変換された後でも、得られる方向ベクトルの $\ベータ$ 角度は異なります。これは、複素変数解析関数の「コンフォーマル特性」であり、複素変数関数の解析パフォーマンスを直感的に説明します。導関数の幾何学的意味。

下の図に示すように、左側の2つのパスhとgの間の角度は、右側の2つの曲線の間の角度と同じである必要があります。この特性に従って、CR方程式を導出することもできます。

複素関数は記憶されています $f（z）= u + iv$ 。ここ $z = x + iy$ で、、を取得できます $f（z）= u（x、y）+ iv（x、y）$ 。ここで、x、yは実数、u、vは実関数です。 $f（z）$ 分析的である場合、それは $u（x、y）、v（x、y）$ 何を意味しますか？

$dz$ 実軸と虚軸に平行な2つの特別な方向を取り、 $z_0$ 点に近づきます。

AB方向の場合、アプローチ方法は次のとおりです。

$z = x + y_0i$

$\\ f（z）= z ^ 2 =（x + y_0i）^ 2 = x ^ 2-y_0 ^ 2 + 2xy_0i => \ left \ {\ begin {matrix} u = x ^ 2-y_0 ^ 2 \\ v = 2xy_0 \ end {matrix} \ right。=> u = \ frac {v ^ 2} {4y_0 ^ 2} -y_0 ^ 2$

右に開く放物線です

$z = x_0 + yi$

$\\ f（z）= z ^ 2 =（x_0 + yi）^ 2 = x_0 ^ 2-y ^ 2 + 2x_0yi => \ left \ {\ begin {matrix} u = x_0 ^ 2-y ^ 2 \\ v = 2x_0y \ end {matrix} \ right。=> u = x_0 ^ 2- \ frac {v ^ 2} {4x_0 ^ 2}$
左に開く放物線です。

固定値の二乗項しかないため、非固定対称軸を中心に対称な2本の直線が同じ放物線に写像されます。

直角を維持する写像については、次の代数的証明で見ることができます。

$\\ \ frac {du} {dv} = \ frac {2v} {4y_0 ^ 2} \\ \\ \ frac {du} {dv} =-\ frac {2v} {4x_0 ^ 2} \\ \ frac { du} {dv} \ cdot \ frac {du} {dv} =-\ frac {v ^ 2} {4x_0 ^ 2y_0 ^ 2} =-\ frac {v ^ 2} {v ^ 2} = -1$

傾斜は直交しており、直角を維持する性質が証明されています。

以下に示すように：

交差の瞬間の状況を分析します。微分可能な条件に従って、下の図の2つの三角形は合同である必要があります。したがって、CR方程式も取得できます。

$\ frac {\ partial u} {\ partial x} = \ frac {\ partial v} {\ partial y}、\ frac {\ partial u} {\ partial y} =-\ frac {\ partial v} {\ partialバツ}$

線形空間変換との関係：

コーシー・リーマン方程式の幾何学的な意味は、変換の前後で安定した膨張比と回転角を保証することであることが幾何学と代数によって証明されています（ここでは、複素変数関数の導出）。

コーシー・リーマン方程式を満たす微分可能複素変数関数局所変換効果は、 $\ theta$ この点から、伸長（ストレッチ）ねじれ（固定角度での回転）、つまり特定の領域内の点に変換できるマッピングです。開始時の極小複素数摂動の下で、変換は同じ俯角変換と振幅変換を満たします。微視的レベルでは、小さな円を小さな円に変換することができ $\デルタz$ ます。 $\デルタf（z）$ それはまだ円であるため、 $\ frac {\ Delta f（z）} {\ Delta z}$ 変更されません。

線形空間変換の種類に関しては、線形代数と線形空間理論が最も導入されています。したがって、複雑な変数関数の微分可能性の2つの条件は次のとおりです。

1.同じ倍率

2.同じ回転角

線形空間理論の変換行列に対応できます。最初は拡張係数です。

1.拡大と縮小の $r$ 兆候

2.回転変換が最もよく理解されています。反時計回り $\ theta$ の変換には、行列を使用できます。

$\ begin {bmatrix} cos（\ theta）＆-sin（\ theta）\\ sin（\ theta）＆cos（\ theta）\ end {bmatrix}$

手段

2つの変換の組み合わせは

$r \ begin {bmatrix} cos（\ theta）＆-sin（\ theta）\\ sin（\ theta）＆cos（\ theta）\ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} rcos（\ theta）＆-rsin （\ theta）\\ rsin（\ theta）＆rcos（\ theta）\ end {bmatrix}$

そして、 $a + ib$ 乗算 $x + iy$ によっても変換が行われることがわかります。

$（a + ib）（x + iy）=（ax-by）+ i（bx + ay）= u + iv$

$\ begin {bmatrix} u \\ v \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} ax-by \\ bx + ay \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} a＆-b \\ b＆a \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix} = \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} \ begin {bmatrix} \ frac {a} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2 }}＆-\ frac {b} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} \\ \ frac {b} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}}＆\ frac {b} {\ sqrt {b ^ 2 + a ^ 2}} \ end {bmatrix}$

これらの2つの変換がどれほど類似しているか、つまり、複素変数関数の微分可能性が線形空間での変換のタイプに対応していることがわかります。

複素解析におけるコーシー・リーマン方程式の代数的および幾何学的解析

代数的証明：

証明1：

証明2：

幾何学的証明：

線形空間変換との関係：

終わり！

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