アルゴリズム研究ノート：Cantor展開と逆Cantor展開

1。概要

CantorExpansionとInverseCantor Expansionは、完全な順列問題で一般的に使用される2つのアルゴリズムです。

Cantor Expansion：nnを知る$n-$フルアレイaaを注文する$a$、これがどの完全な順列であるかを調べます（辞書式順序でソート）。

逆カンター拡張：nnを知る$n-$フルアレイaaを注文するこの配置全体で得られ$た$ランキング。

これらの2つの操作は単に双子の兄弟であることがわかります。

2.実現する

2.1カンター拡張

例

Cantorの展開式：$A_1\times \times （n-1）！+A_2\times \times （n-2）！+。。。+A_{N-1}\times \times 1！+A_{n個}\times \times 0！+1$。このブログの規則：$0！=0$。

上式中，$A_{私}$aia_iよりも良い$A_{私}$小さくてiiにはない$i$位置の前の数字の数。

したがって5 2 3 1 4、たとえば、拡張シミュレーションステップCantorを実行する必要があります。

1. 5小さい4の数よりも0前にあるので$A_1=4$。この4数は4×4！4 \ x 4！を生成できます$4\times \times 4！$フルアレンジ。
2. 正面2にある小さな数よりも、2 = 1 a_2 = 10$A_2=1$。1数を考慮して決定された、1×3！1 \ x 3！を生成できる残りの数$1\times \times 3！$フルアレンジ。
3. （ここでは一部の単語が省略されています）
4. 最終結果は$4\times \times 4！+1\times \times 3！+1\times \times 2！+0\times \times 1！+0\times \times 0！+1=105$

あなたはなぜこれをやっているのですか？

最初の例のように、次のことがわかります。1 2 3 4これらの4つの数値について5は、最初に配置全体を計算する必要はありません。順列と組み合わせの知識によると、結果は$4\times \times 4\times \times 3\times \times 2\times \times 1=4\times \times 4！$。残りは同じです。

コードはどうですか？実際、書く方が簡単です。

计算 $A_{私}$ 重み付き線分ツリー、セットなどを使用して解決できます。

もちろんFHQTreapを使用しましたが、行き詰まりました。

FHQ Treapの学生は、このブログを見ることができます。非常に詳細な説明があります。もちろん、他の実装を使用することもできます。

コード：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int MAXN = 1e6 + 10, P = 998244353;
int n, a[MAXN], cnt, root;
LL ans, f[MAXN];

struct node
{
    
    
	int l, r, size, val, key;
}tree[MAXN];

int read()
{
    
    
	int sum = 0, fh = 1; char ch = getchar();
	while (ch < '0' || ch > '9') {
    
    if (ch == '-') fh = -1; ch = getchar();}
	while (ch >= '0' && ch <= '9') {
    
    sum = (sum << 3) + (sum << 1) + (ch ^ 48); ch = getchar();}
	return sum * fh;
}

int Make_Node(int val)
{
    
    
	int now = ++cnt;
	tree[now].size = 1;
	tree[now].val = val;
	return now;
}

void update(int x) {
    
    tree[x].size = tree[tree[x].l].size + tree[tree[x].r].size + 1;}

void split(int now, int val, int &x, int &y)
{
    
    
	if (now == 0) x = y = 0;
	else
	{
    
    
		if (tree[now].val <= val)
		{
    
    
			x = now;
			split(tree[now].r, val, tree[now].r, y);
		}
		else
		{
    
    
			y = now;
			split(tree[now].l, val, x, tree[now].l);
		}
		update(now);
	}
}

int merge(int x, int y)
{
    
    
	if (!x || !y) return x + y;
	if (rand() & 1)
	{
    
    
		tree[x].r = merge(tree[x].r, y);
		update(x); return x;
	}
	else
	{
    
    
		tree[y].l = merge(x, tree[y].l);
		update(y); return y;
	}
}

void Insert(int val)
{
    
    
	int x, y; split(root, val - 1, x, y);
	root = merge(merge(x, Make_Node(val)), y);
}

int Find(int val)
{
    
    
	int x, y, ans;
	split(root, val - 1, x, y);
	ans = tree[x].size;
	root = merge(x, y);
	return ans;
}

int main()
{
    
    
	srand(time(0));
	n = read(); f[0] = 1; cnt = root = 0;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) a[i] = read();
	for (int i = 1; i <= n; ++i) f[i] = f[i - 1] * i % P;
	f[0] = 0;
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
	{
    
    
		Insert(a[i]); ans = (ans + ((LL)a[i] - 1 - Find(a[i])) * f[n - i]) % P;
//		printf("%d/%d/%d\n", f[n - i], Find(a[i]), ans);//调试用
	}
	printf("%lld\n", ans + 1);
	return 0;
}

2.2カンターの逆展開

著者が弱すぎるので、彼は学びませんでした。