アルゴリズム研究ノート：ツリーDP

1はじめに

ツリーDPは一種のDP （ナンセンス）であり、ツリー上のDPに特別に使用されます。

このタイプのDPは、覚えやすいボードと目立つマーキングにより、わかりやすくなっています。

さらに、ツリー型のDPはDPのようには見えませんが、ブルートフォース検索のように見えます。

2.詳細

例：ボスのないP1352プロム

タイトルは実際にはnnで木を与えることです$n$点のツリーの$場合$、これらの点が互いに隣接しないようにいくつかの点を選択し、最大の点の重みを見つけます。

これがツリーDPボードの問題です。

最初にツリーを保存します。

序文で述べたように、ツリー型のDPはブルートフォース検索に似ているため、このツリーでdfsを再度実行する必要があります。サイドdfsサイドDPです。

ツリー型のDPは一種のDPであることを考えると（そうではありません）、DPの基本的なルーチンが必要です。状態を設定し、遷移方程式を推測し、初期値を推測し、答えを見つけます。

以下のすべての説明は、ツリーの形状とルートが決定されていることを前提としています。

ましょう$f_{K、0/1}$ノード$k$とそのサブツリーによって選択されたポイントの最大重みの合計。$0$はノードkkを意味します$k$ホールド、$1$はノードkkを意味します$k$置く。

したがって、ツリーDPとして、1つの非常に重要なポイントは次のとおりです。親ノードの$f$の計算は、子ノードに関連しています。

したがって、この問題の場合、状態遷移方程式は次のようになります。

$$f_{K、0}=\mathrm{最大}\{f_{〜、0}、f_{u、1}|u\in V\}$$

$$f_{K、1}=r_K+\mathrm{最大}\{f_{〜、0}|u\in V\}$$

ここで$V$は$k$の息子のコレクション。

このポイントが選択されていない場合、息子は選択できますが、選択されている場合、息子は選択できません。

注：選択した点セット$U=\varnothing$も可能なので、考えられる答えは$0$。

最終的な答えは$f_{ROOT、0/1}$ の最大値。

コード：

#include <bits/stdc++.h>
#define Max(a, b) ((a > b) ? a : b)
using namespace std;

typedef long long LL;
const int MAXN = 6e3 + 10;
int n, r[MAXN], f[MAXN][2], root;
vector <int> Next[MAXN];
bool book[MAXN];

int read()
{
    
    
	int sum = 0, fh = 1; char ch = getchar();
	for (; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar()) fh -= (ch == '-') << 1;
	for (; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) sum = (sum << 3) + (sum << 1) + (ch ^ 48);
	return sum * fh;
}

void dfs(int now, int fa)
{
    
    
	f[now][0] = 0, f[now][1] = r[now];
	for (int i = 0; i < Next[now].size(); ++i)
	{
    
    
		int u = Next[now][i];
		if (u == fa) continue;
		dfs(u, now);
		f[now][0] = Max(f[now][0], Max(f[now][0] + f[u][0], f[now][0] + f[u][1]));
		f[now][1] = Max(f[now][1], f[now][1] + f[u][0]);
	}
}

int main()
{
    
    
	n = read();
	for (int i = 1; i <= n; ++i) r[i] = read();
	for (int i = 1; i < n; ++i)
	{
    
    
		int x = read(), y = read(); book[x] = 1;
		Next[y].push_back(x); Next[x].push_back(y);
	}
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
		if (!book[i]) {
    
    root = i; break;}
	dfs(root, root);
	printf("%d\n", Max(f[root][0], f[root][1]));
	return 0;
}

ここではツリー型のDPボードが提供されていますが、このボードがすべての問題に合格できるという保証はありません。

int f[...];

void dfs(int now, int fa...)
{
    
    
	/*设置初值*/
	for (/*遍历儿子*/)
	{
    
    
		int u = /*儿子*/;
		if (u == fa) continue;//注意不能返回父亲节点
		dfs(u, now...);
		/*转移*/
	}
}

3.練習用の質問

練習用の質問？ゴーゴーゴーゴーゴー最初に行きます。