2019/11/15更新ログ
ダイクストラ優先キューテンプレートに問題が見つかりました。それを変更し、多くの場所で複合体を削除して、詳細なコメントを追加しました。
上記は昨日のブログです。困っている方は、今日のブログを読む前に、上記を読み終えてください。
たぶん今日は少し面倒です、気をつけてください、それを注意深く読んだ後、あなたは理解すると信じています
境界線
次の日
はじめに：昨日、グラフの概念とグラフの記録方法について簡単に説明しました。これにより、誰もが一定の基盤を持てるようになり、グラフ理論アルゴリズムについて触れ始めます。
実際、これら2つのアルゴリズムはゲームで非常に優れているため、ダイクストラとフロイドについてのみ説明します。
今日は最短経路問題について話します
トップ1：最短経路の概念
Made in China-BaiduNavigationというナビゲーションソフトウェアがあることは誰もが知っていると思います。では、彼らはどのように私たちのためにナビゲートするのでしょうか？問題は、今日の使用で最短経路を学習する必要があることです。
学んだ後にナビゲーションができるかもしれませんが 、少し興奮していませんか？
\（キーポイント：最短経路問題は、ある地点から別の地点への最短経路です！\）
最短の専門用語：
トランジットポイント：別のポイントへのポイントは必ずしも直接の道路リンクではありません。他のポイントを通過する場合があります。これらのポイントをトランジットポイントと呼びます。
緩和のための：例えば、からエッジ重み点\（I \）に点\（J \）である（X \）\、今点がある\（K \）は、\（K \）の\ （I \）のサイドウェイトは\（Y \）であり、\（K \）から\（J \）へのサイドウェイトは\（Z \）です。場合\（Y \） + \（Z \） < \（X \） 、（れることからパスのエッジ重み\（I \）をポイント（J \）\点）以上（より（\ K \）から\（J \）のエッジの重み）に加えて（\（K \）から\（I \）のエッジの重み）が大きいので、\（I \）から\（ J \）\（X \）から転送できます\（K \）は\（Y + Z \）にドロップし、\（I \）から\（J \）への最短経路を改善します。
Top2：フロイドアルゴリズム
これで、誰もが最短経路が何であるかを知っているので、単純なものから複雑なものまで、初心者が理解しなければならないアルゴリズムを見てみましょう。
フロイドはシンプルで失礼で、開始点、終了点、通過点の3つのポイントを列挙しています。参照経路の通過点を開始点プラスパスの最後に通過点を以下でないパスの最後に、現在の開始点（緩和を継続することがある）です。
明らかに、フロイドのアルゴリズムは理解しやすいですが、時間計算量は少し高くなります- \（N ^ 3 \）の複雑さ。さらに、フロイドは複数のソースへの最短経路であるため、問い合わせるときにdisを呼び出すだけで済みます。
したがって、Nが1000より大きい場合は、注意して使用してください。
コードは非常に単純です（こんにゃくは隣接行列で書かれています）：
//如果为无向图,dis就会对称,Floyd的j就只要到i,且dis[i][j]dis[j][i] 要一起更新
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 1000 + 10;
int n,m;
int x,y,z;
int dis[MAXN][MAXN];
void Floyd(){
for(int k = 1;k <= n; k++)
for(int i = 1;i <= n; i++)
for(int j = 1;j <= n/*i*/; j++)
if(dis[i][k] + dis[k][j] < dis[i][j])dis[i][j] = dis[i][k] + dis[k][j];
return;
}
int main(){
cin>>n>>m;
for(int i = 1;i <= n; i++)dis[i][i] = 0;
for(int i = 1;i <= n; i++)
for(int j = 1;j <= n; j++){
if(i != j)dis[i][j] = 1e9;
}
for(int i = 1;i <= m; i++){
cin>>x>>y>>z;
dis[x][y] = z;
}
Floyd();
for(int i = 1;i <= n; i++){
for(int j = 1;j <= n; j++){
cout<<dis[i][j]<<" ";
}
cout<<endl;
}
return 0;
}
Top3：ダイクストラアルゴリズム
フロイドとは対照的に、ダイクストラはユニットの最短経路です。つまり、ある地点から他のすべての地点への最短経路のみを見つけることができます。
ダイクストラは貪欲な考えに属しています、正解：
まず、黒点と白点の2つのタイプを定義します。黒点は現在最短経路が計算されている点であり、白点はその逆です。
現在の黒い点に最も近い白い点を見つけるたびに、黒い点を追加し、白い点から原点までの最短経路を更新します。
コードは次のとおりです。注：ここでのdisは隣接行列ではなく、単一のソース最短パスです。totは隣接行列です！
隣接行列、こんにゃくは、Luogu P1828 SweetButterを使用した碑文の例のテンプレートです。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 100 + 10;
struct Node{
int x,y;
}f[MAXN];
int n,m,a,b,s,t;
bool black[MAXN];
double dis[MAXN];
double tot[MAXN][MAXN];
double calc(int i,int j){
return sqrt((f[i].x - f[j].x) * (f[i].x - f[j].x) + (f[i].y - f[j].y) * (f[i].y - f[j].y));
}
double Dijkstra(int start,int end){
for(int i = 1;i <= n; i++){
dis[i] = tot[start][i];
}
dis[start] = 0;
black[start] = true;
for(int i = 1;i < n; i++){
double M = 2e9;
int u = start;
for(int j = 1;j <= n; j++){
if(dis[j] < M && !black[j]){
M = dis[j];
u = j;
}
}
if(u == start)continue;
//此处的判断与前面的u = start对应,若该图存在一个单独的点这里就要加上
//否则可以u = 0,这个判断删掉
black[u] = true;
for(int j = 1;j <= n; j++){
if(black[j])continue;
if(dis[u] + tot[u][j] < dis[j]){
dis[j] = dis[u] + tot[u][j];
}
}
}
return dis[end];
}
int main(){
scanf("%d",&n);
for(int i = 1;i <= n; i++)
for(int j = 1;j <= n; j++){
tot[i][j] = i == j ? 0 : 1e9;
}
for(int i = 1;i <= n; i++){
scanf("%d%d",&f[i].x,&f[i].y);
}
scanf("%d",&m);
for(int i = 1;i <= m; i++){
scanf("%d%d",&a,&b);
tot[a][b] = calc(a,b);
tot[b][a] = tot[a][b];
}
scanf("%d%d",&s,&t);
printf("%.2f",Dijkstra(s,t));
return 0;
}
したがって、ダイクストラの時間計算量は\（N ^ 2 \）です。
それを最適化する方法は？非常に簡単です。黒い点に最も近い白い点を探すときは、優先度付きキューを使用してください。
ただし、ここで注意する必要があるのは、単調なキューメンテナンスを使用するだけであり、Luogu P4779 [テンプレート]単一ソースの最短パスでTLEを使用することです。
どうして？
優先キューはSTLを設定して待機することを望まず、自動重複排除機能もありません。したがって、キューに同一の要素が複数ある場合、ダイクストラの効率は大幅に低下します。
したがって、ブール型の配列が必要です。現在キューに存在する各要素を記録するために使用される配列を考えるのは難しくありません。
詳細はこちらです。現在キューに存在する各要素のブール配列を定義しました。したがって、チームの最優先キューに入れて操作するたびに、最初のチームブールマークをキャンセルする必要があります。
要素は、キューに単独で複数回表示できますが、一度に複数回キューに表示することはできません。
チームのトップに何度も拡張されていますが、チームのヘッドからソースポイントまでの最短パスが更新される場合があります。ですから、チームのトップから再び拡大して、周囲のポイントへの回答を更新したほうがよいでしょう。これが、チームのトップのブールマークをキャンセルする理由です。
優先キューダイクストラ：
#include<bits/stdc++.h>
#include<cctype>
#pragma GCC optimize(2)
#define in(a) a = read()
#define out(a) write(a),printf(" ")
#define outn(a) write(a),putchar('\n')
#define ll long long
#define rg register
#define New int
using namespace std;
namespace IO_Optimization{
inline New read()
{
New X = 0,w = 0;
char ch = 0;
while(!isdigit(ch))
{
w |= ch == '-';
ch=getchar();
}
while(isdigit(ch))
{
X = (X << 3) + (X << 1) + (ch ^ 48);
ch = getchar();
}
return w ? -X : X;
}
inline void write(New x)
{
if(x < 0) putchar('-'),x = -x;
if(x > 9) write(x/10);
putchar(x % 10 + '0');
}
#undef New
}
using namespace IO_Optimization;
const int MAXN = 1000000 + 2;
int n,m,s,x,y,z,len,p;
int dis[MAXN],nxt,val;
struct Node
{
int num,dist;
inline bool operator <(const Node &nnxt)const{
return dist > nnxt.dist;
}
};
vector<Node> nei[MAXN];
bool vis[MAXN];
inline void Dijkstra(int start)
{
memset(dis,0x3f3f3f3f,sizeof(dis));
memset(vis,false,sizeof(vis));
priority_queue<Node>q;
Node cur = {start,0};
q.push(cur);
dis[start] = 0;
vis[start] = true;
while(!q.empty())
{
cur = q.top();
q.pop();
p = cur.num;
vis[p] = false;
len = nei[p].size();
for(rg int i = 0;i < len; ++i)
{
nxt = nei[p][i].num;
val = nei[p][i].dist;
if(dis[nxt] > dis[p] + val)
{
dis[nxt] = dis[p] + val;
if(!vis[nxt])
{
Node tmp = {nxt,dis[nxt]};
q.push(tmp);
vis[nxt] = true;
}
}
}
}
return;
}
int main()
{
in(n),in(m),in(s);
for(rg int i = 1;i <= m; ++i)
{
in(x),in(y),in(z);
nei[x].push_back((Node){y,z});
}
Dijkstra(s);
for(rg int i = 1;i <= n; ++i)
out(dis[i] == 0x3f3f3f3f ? 2147483647 : dis[i]);
return 0;
}
ちなみに、動的配列で記録されたSPFAとダイクストラのアルゴリズムテンプレートを見てください（ここでは詳しく説明していませんが、必要な人はそれをコピーできます）
SPFA：
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cstring>
using namespace std;
int n, p, c, cow[801], a, b, d, cnt = 0, sum = 0, ans = 2147483647;
int dis[10000], w[10000], next[10000], to[10000], first[10000] = {0};
bool exist[10000] = {false};
queue<int> q;
void addEdge(int u, int v, int weight)
{
cnt++; //边的编号
to[cnt] = v; //第cnt条边指向点v
w[cnt] = weight; //第cnt条边的权值
next[cnt] = first[u]; // 第cnt条边指向连接点u的第一条边
first[u] = cnt; //将连接点u的第一条边更新为第cnt条边
return;
}
void spfa(int start)
{
memset(exist, false, sizeof(exist)); //一开始所有点在队列外
memset(dis, 0x7f, sizeof(dis)); //将所有点到起始点的距离置为极大值
dis[start] = 0;
q.push(start); //起始点入队列
exist[start] = true;
while(!q.empty())
{
int head = q.front(); //取队列的第一个点
q.pop();
exist[head] = false;
for(int e = first[head]; e != 0; e = next[e]) //循环head连接的每一条边
{
//松弛操作
if(dis[head] + w[e] < dis[to[e]])
{
dis[to[e]] = dis[head] + w[e];
if(exist[to[e]] == false)
{
q.push(to[e]); //将被更新的点入队列
exist[to[e]] = true;
}
}
}
}
return;
}
int main()
{
cin >> n >> p >> c;
for(int i=1; i <= n; i++) //输入每头牛所在的位置
{
cin >> cow[i];
}
for(int e=1; e <= c; e++) //输入每一条边
{
cin >> a >> b >> d;
addEdge(a, b, d);
addEdge(b, a, d);
}
for(int i=1; i <= p; i++) //注意是循环牧场
{
spfa(i);
sum = 0;
for(int j=1; j <= n; j++)
{
sum = sum + dis[cow[j]];
}
ans = min(ans, sum);
}
cout << ans;
return 0;
}
さて、私は翌日ここにいます、あなたはそれを理解していません、たわごと？以下にメッセージを残してください！