データ構造とアルゴリズム (4): グラフ理論 (グラフ理論の概念、深さ優先探索 DFS、幅優先探索 BFS、最短経路、ダイクストラ アルゴリズム)

考え

1. WeChatでの友情
2. QQ はあなたが知っているかもしれない人を推薦します
3. グラフデータベース Neo4j
4. ナレッジマップ推奨アルゴリズム、データマイニング
5. ナビゲーション ソフトウェアのルート推奨、ダイクストラ アルゴリズム

グラフ – リレーショナル ネットワーク システムの解決

グラフの基本的な知識:

1. バーテックス：
2. 側：
3. 頂点次数:
4. 出度、入度
5. 有向グラフ
6. 無向グラフ

ストレージ: 配列 + リンクされたリスト

リレーショナル ネットワーク システムの解決

隣接行列

グラフには x 個の点があり、これは x*x の行列です。

7*70と1の行列

• A[7][7]: 配列の添え字を巧みに適用する
• A[1][1]状況を1対1で示します
• A[1][2]1対2の状況を意味し、サイドマークありA[1][2]=1、サイドマークなしA[1][3]=0

スパース行列: 3*3 行列

0 0 0
1 1 1
0 1 0

隣接リスト: リンクされたリスト

• 配列: スペースの無駄ですが、速度の妨げになります。小さなデータには配列が推奨されます

• リンクされたリスト: スペースは節約できますが、速度が遅い

グラフ横断検索アルゴリズム

場合：

美女を救出せよ: ある日、シャオメイはあなたと一緒に迷路を遊びに行きました。しかし、方向音痴のシャオメイはすぐに道に迷ってしまいます。それを知ったら、
無力なシャオメイを助けに行きましょう。迷路の地図を理解しました。次に、そこから
シャオメイに到達できるかどうかを知る必要があります。あなたの現在地。美しい場所ですか？

1: マップ上の障害物を意味し、0 は進むべき道があることを意味します

隣接行列:

0（あなた）	0	1	0
0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0（シャオメイ）	0
0	0	0	1

深さ優先トラバーサル (DFS)

迷路をプレイすることを想像してみてください。最後まで進む方向を選択しても、行けなくなるまで戻って別の方向を試します。そう、これは実際には深さ優先の横断です。一方の方法は最後まで進み、再帰、後戻りが行われます。移動した地点にもマークを付けます

重要な最適化: 枝刈り
面接では検索アルゴリズムに直面するのは簡単です。コンピューターテスト
面接で直接質問するのが木に尋ねるのが最も簡単です

class Point {
    
    
    int x;
    int y;

    public Point(int x, int y) {
    
    
        this.x = x;
        this.y = y;
    }
}

//深度遍历 最短路线
class DFS {
    
    

    int line; //地图行
    int column; //地图列
    int dx; //目标x
    int dy; //目标y
    int data[][]; //邻街矩阵
    boolean mark[][]; //标记数据

    int minStep = Integer.MAX_VALUE;

    int next[][] = {
    
    {
    
    0,1}, {
    
    1,0}, {
    
    0,-1}, {
    
    -1,0}}; // ACM 想到的

    Stack<Point> stack = new Stack<>(); //保存当前路径

    //保存所有的路径，key是步数
    Map<Integer, List<Stack<Point>>> result = new HashMap<>();

    public DFS(int line, int column, int dx, int dy, int[][] data, boolean[][] mark) {
    
    
        this.line = line;
        this.column = column;
        this.dx = dx;
        this.dy = dy;
        this.data = data;
        this.mark = mark;
    }

    public void dfs(int sx, int sy, int step) {
    
    
        if (sx == dx && sy == dy) {
    
    
            if (!result.containsKey(step)) {
    
    
                result.put(step, new ArrayList<>());
            }
            result.get(step).add((Stack<Point>) stack.clone());
            if (step < minStep ) minStep = step;
            return;
        }

        for (int i = 0; i < 4; i++) {
    
    
            int nextX = sx + next[i][0];
            int nextY = sy + next[i][1];
            if (nextX  < 0 || nextX > line || nextY < 0 || nextY > column) continue;

            if (data[nextX][nextY] == 0 && !mark[nextX][nextY]) {
    
    
                mark[nextX][nextY] = true;
                stack.add(new Point(nextX, nextY));
                dfs(nextX, nextY, step+1);
                mark[nextX][nextY] = false; //回溯
                stack.pop();
            }
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
    
    
        int data[][] = {
    
    
                {
    
    0,0,1,0},
                {
    
    0,0,0,0},
                {
    
    0,0,1,0},
                {
    
    0,1,0,0},
                {
    
    0,0,0,1}
        };

        int dx = 3;
        int dy = 2;

        int sx = 0;
        int sy = 0;

        int line = 4;
        int column = 3;

        boolean mark[][] = new boolean[line+1][column+1];

        DFS dfs = new DFS(line, column, dx, dy, data, mark);
        dfs.dfs(sx, sy, 0);

        System.out.println(dfs.minStep);

        List<Stack<Point>> stacks = dfs.result.get(dfs.minStep);
        for (Stack<Point> stack : stacks) {
    
    
            for (Point point : stack) {
    
    
                System.out.printf("(" + point.x + ", " + point.y + ")");;
            }
            System.out.println();
        }
    }

}

幅優先トラバーサル (BFS) ---- ArrayBlockingQueue

ツリー構造の階層トラバースと同様に、最初にポイントを見つけてから、そのポイントをキューに追加し、ポイントの関連するエッジを見つけてキューに追加し、キューが空になり、すべての道路が空になるまでループします。最初から消えてる

重要な 2 つのポイント: キュー、マーク配列、追加ポイントは追加できません

ヒューリスティック検索、A*

class Point {
    
    
    int x;
    int y;

    public Point(int x, int y) {
    
    
        this.x = x;
        this.y = y;
    }
}

//广度遍历 能不能到达
class BFS {
    
    
    int line; //地图行
    int column; //地图列
    int dx; //目标x
    int dy; //目标y
    int data[][]; //邻街矩阵
    boolean mark[][]; //标记数据

    int next[][] = {
    
    {
    
    0,1}, {
    
    1,0}, {
    
    0,-1}, {
    
    -1,0}}; // ACM 想到的

    public BFS(int line, int column, int dx, int dy, int[][] data, boolean[][] mark) {
    
    
        this.line = line;
        this.column = column;
        this.dx = dx;
        this.dy = dy;
        this.data = data;
        this.mark = mark;
    }

    public boolean bfs(int sx, int sy) {
    
     //当前位置 x,y当前位置 求(x,y)->(dx,dy)
        if (sx < 0 || sx > line || sy < 0 || sy > column) return false;

        if (sx == dx && sy == dy) {
    
    
            System.out.println("当前位置就是目标位置： sx = " + sx + ", sy = " + sy);
            return true;
        }

        mark[sx][sy] = true;

        Queue<Point> queue = new ArrayBlockingQueue<>(line * column);

        queue.add(new Point(sx,sy));

        while (!queue.isEmpty()) {
    
    
            Point point = queue.poll(); //队列第一个点
            for (int i = 0; i < 4; i++) {
    
    
                int nextX = point.x + next[i][0];
                int nextY = point.y + next[i][1];

                if (nextX  < 0 || nextX > line || nextY < 0 || nextY > column) continue;

                if (data[nextX][nextY] == 0 && !mark[nextX][nextY]) {
    
    
                    if (nextX == dx && nextY == dy) {
    
    
                        System.out.println("找到了: dx = " + dx + ", dy = " + dy);
                        return true;
                    }
                    mark[nextX][nextY] = true;
                    queue.add(new Point(nextX, nextY));
                }
            }
        }
        return false;
    }


    public static void main(String[] args) {
    
    
        int data[][] = {
    
    
                {
    
    0,0,1,0},
                {
    
    0,0,0,0},
                {
    
    0,0,1,0},
                {
    
    0,1,0,0},
                {
    
    0,0,0,1}
        };

        int dx = 3;
        int dy = 2;

        int sx = 0;
        int sy = 0;

        int line = 4;
        int column = 3;

        boolean mark[][] = new boolean[line+1][column+1];

        BFS bfs = new BFS(line, column, dx, dy, data, mark);
        bfs.bfs(sx,sy);
    }
}

最短経路 – ダイクストラのアルゴリズム

最短経路の核となるアイデアの分析: 貪欲: 並べ替え、貪欲な戦略。1-3 10、ローカルを検討します

1. 始点から各頂点までの距離を表す dis 配列を開き、最初に無限大の値を割り当てます。
2. 変数 loc を追加します。初期代入が開始点となります。
3. ポイントを追加した後にパスを更新できるため、loc を通じて dis 配列を更新します。贪心策略：在dis数组里面找离初始点最近的那个点
4. dis 配列内の初期点に最も近い点を検索し、選択した点を除外して、それを loc に割り当てます。
5. すべての点が追加されるまで 3 4 の操作を繰り返します

//地图--最短路径 迪杰斯特拉算法(Dijkstra)
/**
 6 个点
 8 个变
 1 是起点
 1 3 10
 1 5 30
 1 6 100
 2 3 5
 3 4 50
 4 6 10
 5 4 20
 5 6 60
 1 到 1 的最短距离是 0 === 最短路径是 1
 1 到 2 的最短距离是 2147483647 === 无法到达
 1 到 3 的最短距离是 10 === 最短路径是 1 -> 3
 1 到 4 的最短距离是 50 === 最短路径是 1 -> 5 -> 4
 1 到 5 的最短距离是 30 === 最短路径是 1 -> 5
 1 到 6 的最短距离是 60 === 最短路径是 1 -> 5 -> 4 -> 6
 */
class DJSTL {
    
    
    static Map<Integer, String> routes = new HashMap<>();

    public static void search(int start, int dis[], int value[][], int point) {
    
    
        boolean mark[] = new boolean[point+1];
        mark[start] = true;
        dis[start] = 0;
        int count = 1;
        while (count <= point) {
    
     //O(n^2)
            //求最小值点开始
            int loc = 0; //新加的点
            int min = Integer.MAX_VALUE;
            for (int i = 1; i <= point; i++) {
    
     //求dis里面最小的值 可以优化成 堆 logn
                if (!mark[i] && dis[i] < min) {
    
    
                    min = dis[i];
                    loc = i;
                }
            }

            if (loc == 0) break; //表示没有可以加入的点

            mark[loc] = true;

            if (routes.get(loc) == null) {
    
    
                routes.put(loc, start + " -> " + loc);
            }

            //加入的点到各点距离计算
            //优化只需要关注加入的点
            for (int i = 1; i <= point; i++) {
    
    
                //min(dis[3] + data[3][4], dis[4])
                if ( value[loc][i] != -1 && (dis[loc] + value[loc][i] < dis[i]) ) {
    
    
                    dis[i] = dis[loc] + value[loc][i];
                    routes.put(i, routes.get(loc) + " -> " + i);
                }
            }
            count++;
        }

        for (int i = 1; i <= point; i++) {
    
    
            System.out.print(start + " 到 " + i + " 的最短距离是 " + dis[i] + " === ");
            if (dis[i] == 0 && routes.get(i) == null) {
    
    
                System.out.println("最短路径是 " + i);
            } else if (dis[i] == Integer.MAX_VALUE) {
    
    
                System.out.println("无法到达");
            } else {
    
    
                System.out.println( "最短路径是 " + routes.get(i));
            }
        }
    }


    public static void main(String[] args) {
    
    
        int point, line, start; //n 点数， m 边数， x 起点
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);

        point = scanner.nextInt();
        line = scanner.nextInt();
        start = scanner.nextInt();

        int value[][] = new int[point+1][line+1]; //点到点矩阵
        int dis[] = new int[point+1]; //存储最短路径

        for (int i = 1; i <= point; i++) {
    
    
            dis[i] = Integer.MAX_VALUE;
            for (int j = 1; j <= point; j++) {
    
    
                //初始化地图
                if (i == j) {
    
    
                    value[i][j] = 0;
                } else {
    
    
                    value[i][j] = -1;
                }
            }
        }

        for (int i = 0; i < line; i++) {
    
    
            int xx = scanner.nextInt();
            int yy = scanner.nextInt();
            int v = scanner.nextInt(); //xx 到 yy 的距离
            value[xx][yy] = v;
            if (xx == start) {
    
    
                dis[yy] = v;
            }
        }

        search(start, dis, value, point);
    }
}