アプリケーションシナリオ-バックパックの問題
バックパックの問題：4ポンドの容量のバックパックがあります。次のアイテムが利用可能です。
- 必要な目標は、ロードされたバックパックの合計値が最大であり、重量がを超えないことです。
- 必要な項目は繰り返すことができません
動的プログラミングアルゴリズムの概要
- 動的プログラミング（動的プログラミング）アルゴリズムの中心的な考え方は、大きな問題を小さな問題に分割して解決し、最適なソリューションを段階的に取得することです。
- 動的プログラミングアルゴリズムは、除算と征服のアルゴリズムに似ています。基本的な考え方は、解決する問題をいくつかのサブ問題に分解し、最初にサブ問題を解決してから、これらのサブ問題の解決策から元の問題の解決策を取得することです。
- 動的プログラミングによって解決される問題に適した分割と征服の方法とは異なり、分解によって得られるサブ問題は、多くの場合、互いに独立していません。（つまり、次のサブステージのソリューションは前のサブステージのソリューションに基づいており、さらにソリューションが実行されます）
- フォームに記入して最適なソリューションを取得することにより、動的計画を徐々に進めることができます。
アイデア分析とイラスト
- バックパックの問題は、主に、特定の容量のバックパック、特定の値と重量のアイテムの数、アイテムの価値を最大化するためにバックパックにアイテムを選択する方法を指します。その中で、01バックパックとコンプリートバックパックに分かれています（コンプリートバックパックとは、各アイテムに無制限のピースがあります）
- ここでの問題は01バックパックにあります。つまり、最大で1つのアイテムを配置できます。無限のバックパックは01バックパックに変換できます。
- アルゴリズムの主なアイデアは、動的プログラミングによって解決されます。毎回トラバースされるi番目のアイテムについて、w [i]およびv [i]に従って、アイテムをバックパックに入れる必要があるかどうかを判断します。つまり、与えられたn個のアイテムについて、v [i]とw [i]をそれぞれi番目のアイテムの値と重量とし、Cをバックパックの容量とします。v [i] [j]が、最初のi項目の容量jのバックパックにロードできる最大値を示すとします。次に、次の結果が得られます。
（1）v [i] [0] = v [0] [j] = 0; //テーブルの最初の行と最初の列が0であることを意味します
（2）w [i ]> j：v [i] [j] = v [i-1] [j] //追加する新製品の容量が現在のバックパックの容量よりも大きい場合は、前のセルのロードを直接使用します戦略
（3）j> = w [i]の場合：v [i] [j] = max {v [i-1] [j]、v [i] + v [i-1] [jw [i] ]}
//追加する新製品の容量が現在のバックパックの容量以下の場合、
//ロード方法：
v [i-1] [j]：は前のセルの最大値
vです[i]：現在の積の値を示します
v [i-1] [jw [i]]：
j> = w [i]の場合、残りのスペースjw [i]の最大値にi-1積をロードします。v [i] [j] = max {v [i-1] [j]、v [i] + v [i-1] [jw [i]]}：
コード
package dynamic;
public class KnapsackProblem {
public static void main(String[] args) {
int[] w = {
1, 4, 3}; // 物品的重量
int[] val = {
1500, 3000, 2000}; // 物品的价值;这里的val[i] 就是v[i]
int m = 4; // 背包的容量
int n = val.length; // 物品的个数
// 创建二维数组
// v[i][j] 表示前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值
int[][] v = new int[n + 1][m + 1];
// 为了记录放入商品的情况，定义一个二维数组
int[][] path = new int[n + 1][m + 1];
// 1. 初始化第一行第一列，这里在本程序中可以不处理（默认就是0）
for (int i = 0; i < v.length; i++) {
v[i][0] = 0; // 将第一列设置为0
}
for (int i = 0; i < v[0].length; i++) {
v[0][i] = 0; // 将第一行设置为0
}
// 根据得到的公式来动态规划处理
for (int i = 1; i < v.length; i++) {
// 不处理第一行 i是从1开始的
for (int j = 1; j < v[0].length; j++) {
// 不处理第一列 j是从1开始的
// 公式
if (w[i - 1] > j) {
// 因为程序i从1开始，因此原来公式中w[i] 修改为w [i-1]
v[i][j] = v[i - 1][j];
} else {
// 因为i从1开始，因此公式需要调整为以下代码
//v[i][j] = Math.max(v[i - 1][j], (val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]));
// 为了记录商品存放到背包的情况，不能简单地使用max公式，需要使用if-else-来体现公式
if (v[i - 1][j] < (val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]])) {
v[i][j] = val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]];
// 记录最优情况
path[i][j] = 1;
} else {
v[i][j] = v[i - 1][j];
}
}
}
}
// 输出一下v看一下目前的情况
printArrTwo(v);
// 输出最后放入的哪些商品
// 遍历path，会输出所有的放入情况，其实我们只需要最后一个
/*for (int i = 0; i < path.length; i++) {
for (int j = 0; j < path[i].length; j++) {
if(path[i][j]==1){
System.out.printf("第%d个商品放背包\n",i);
}
}
}*/
int i = path.length - 1;
int j = path[0].length - 1;
while (i > 0 && j > 0) {
//从pth数组最后开始找
if (path[i][j] == 1) {
System.out.printf("第%d个商品放背包\n", i);
j -= w[i - 1];
}
i--;
}
}
/**
* 遍历二维数组
*
* @param v 二维数组
*/
public static void printArrTwo(int[][] v) {
for (int i = 0; i < v.length; i++) {
for (int j = 0; j < v[i].length; j++) {
System.out.print(v[i][j] + " ");
}
System.out.println();
}
}
}