1. 三角形分割とドローネの定義
一連の散乱点を不均一な三角形グリッドに分割する方法は、一連の散乱点の三角形分割の問題です。一連の散乱点の三角形分割は、数値解析とグラフィックスにとって非常に重要です。前処理技術。この問題は次のように示されます。
[Definition] Triangulation：V が2次元の実数フィールド上の点の有限集合であり、エッジe が終点としての点集中の点で構成される閉じた線分であり、E がeの集合であるとします。次に、点集合Vの三角形分割T =（V、E）は、次の条件を満たす平面グラフG です。
1. 端点を除き、平面図のエッジにはポイントセットのポイントが含まれていません。
2. 交差するエッジはありません。
3. 平面図のすべての面は三角形の面であり、すべての三角形の面の集合は散在点セットVの凸包です。
実際に最も一般的に使用される三角形分割は、特別な三角形分割であるDelaunay 三角形分割です。Delaunay から始めましょう：
定義ドロネーはエッジ：と仮定E エッジのE （両端点のために、B ）、Eは、以下の条件が満たされている場合、それが呼び出されドロネー介して円がある：側、B 点、円（音符を円の内側にあり、円の最大3つの点が円の中にあります。）点セットVに他の点が含まれていません。この機能は、空の円機能とも呼ばれます。
[定義] Delaunay 三角形分割：点集合Vの三角形分割TにDelaunay エッジのみが含まれる場合、三角形分割はDelaunay 三角形分割と呼ばれます。
Delaunay 三角形分割の定義 を満たすには、2つの重要な基準を満たす必要があります。
1. 空の円の特性：Delaunay 三角形ネットワークは一意であり（4つのポイントはいずれも円になることはできません）、Delaunay 三角形ネットワークの三角形の外接円内に他のポイントはありません。以下に示すように：
2. 最大最小角度機能：散在点セットによって形成される可能な三角形分割の中で、ドローネ三角形分割によって形成される三角形の最小角度が最大です。この意味で、ドローネ三角形分割は「正則化に最も近い」三角形分割です。具体的には、凸四角形の対角線が隣接する2つの三角形によって形成されていることを意味し、相互交換後、6つの内角のうち最小の角度が増加しなくなります。以下に示すように：
1.4 。ドローネ三角形分割の特性
Delaunay 分割の優れた特徴 は次のとおりです。
1. 最も近い：三角形は最も近い3つの点によって形成され、すべての線分（三角形の辺）は交差しません。
2. 一意性：領域がどこから始まっても、最終結果は一貫しています。
3. 最適性：隣接する2つの三角形によって形成される凸型四角形の対角線を交換できる場合、2つの三角形の6つの内角のうち最小の角度は大きくなりません。
4. 最も規則的：三角形分割の各三角形の最小角度が昇順で配置されている場合、ドロネー三角形分割の配置は最大値になります。
5. 地域性：頂点の追加、削除、または移動は、隣接する三角形にのみ影響します。
6. 凸型ポリゴンのシェル：三角形メッシュの最も外側の境界は、凸型ポリゴンシェルを形成します。
理論的には、ローソンはDelaunay 三角形分割を構築するために、ローカル最適化プロセスLOP（Local Optimization Procedure）を提案しました。一般に、三角形分割はLOP 処理後にDelaunay 三角形分割になることが保証されます。基本的な方法は次のとおりです。
1. 共通の辺を持つ2つの三角形をポリゴンに結合します。
2. 4番目の頂点が三角形の外接円内にあるかどうかを確認するために、最大の空の円の基準で確認します。
3. はいの場合、補正対角線は対角線を逆転しようとしています。つまり、ローカル最適化プロセスの処理が完了します。
LOP 処理プロセスを次の図に示します。
Delaunay サブディビジョンは三角測量の標準であり、それを実装する多くのアルゴリズムがあります。
ローソンのアルゴリズム 点ずつ挿入を提案したローソンで1977 アルゴリズムはシンプルなアイデアを持っており、プログラムに簡単です。基本的な原則は、最初に大きな三角形またはポリゴンを作成し、すべてのデータポイントを囲み、そこにポイントを挿入します。このポイントは、それを含む三角形の3つの頂点と接続され、3つの新しい三角形を形成してから、それらを1つずつ空にします。外接円が検出され、Lawson によって設計されたローカル最適化プロセスLOPを使用して最適化されます。つまり、形成された三角形分割が対角線を交換することによりDelaunay 三角形分割であることを確認します。
上記の散布ベースのネットワーク構築アルゴリズムは、厳密な理論と優れた一意性を備えており、グリッドは、理想的な白丸の特性を満たします。ポイントごとの挿入プロセスから、非Delaunay エッジが検出された場合、それを削除して調整することにより、新しいDelaunay エッジを形成できることがわかります。ネットワークの構築が完了したら、新しいポイントを追加するときに、すべてのポイントを再ネットワーク化する必要はありません。新しいポイントの影響トライアングルのローカルネットワークのみが実行され、ローカルネットワークの方法はシンプルで簡単です。同様に、ポイントの削除と移動も迅速かつ動的に実行できます。ただし、実際のアプリケーションでは、ポイントセットが大きいとネットワークの構築速度が遅くなり、ポイントセットの範囲が非凸領域である場合や、内部リングがある場合は、不正な三角形が生成されます。
ローソンのアルゴリズムの基本的な手順は次のとおりです。
1. 散在するすべてのポイントを含むスーパートライアングルを作成し、それをトライアングルリンクリストに入れます。
2. 点の集中に散在する点を1つずつ挿入し、外接円が三角形のリンクリストで挿入点を含む三角形（点の影響三角形と呼ばれる）を見つけ、影響三角形の共通の辺を削除し、すべての三角形で挿入点を設定します頂点が接続され、Delaunay 三角形のリンクリストに点が挿入されます。
3. 最適化基準に従って、新しく形成された三角形をローカルで最適化します。形成された三角形をDelaunay 三角形リストに入れます。
4. 上記の手順2を実行して、散在するすべての点を挿入します。
このアルゴリズムの主要なステップ2は次のとおりです。