このシリーズは、このアルゴリズムの教科書の拡張です：「Introduction to Advanced Algorithm Contest」（Jingdong Dangdang）Tsinghua University Press
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DPの状態方程式のクラスがあります。たとえば、
\（dp [i] = min \ {dp [j] -a [i] * d [j] \} \） \（0≤j<i、d [j]≤d [J + 1]、[
I]≤A [I + 1] \）の両方のAが存在することを特徴とする\（I \）が持っている\（J \）用語\（[I] * Dは [ j] \）。
プログラミング時に、単に\（i \）と\（j \）をループする場合、複雑さは\（O（n ^ 2）\）です。
勾配最適化（凸包トリック、凸包最適化）により、時間の複雑さは\（O（n）\）に最適化されます。
スロープ最適化のコアテクノロジーは、スロープ（凸包）モデルと単調キューです。

1.状態方程式を平面傾斜問題に変換する

固定\（i \）に対して\（j \）が変更されると、方程式は\（dp [i] \）の最適値を見つけます。したがって、\（i \）に関する部分は固定値と見なすことができます。\（j \）の部分は変数とみなされます。\（分\）除去され、式に：
\（DP [J] = A [I] * D [J] + DP [I] \）
観察の便宜のために、その結果：\（Y = DP [J] \ ）、\（X = d [j] \）、\（k = a [i] \）、\（b = dp [i] \）、方程式は次のようになります：
\（y = kx + b \）
勾配の最適化の数学モデルは、状態伝達方程式を平面座標系の直線に変換することです：\（y = kx + b \）。その中で：
（1）変数\（x \）、\（y \）および\（j \）は関連しており、\（y \）だけが\（dp [j] \）を含みます。点\（（x、y）\）は、問題の中で可能な決定です。
（2）勾配\（k \）と切片\（b \）は\（i \）に関連しており、\（b \）のみに\（dp [i] \）が含まれています。最小の\（b \）には、最小の\（dp [i] \）が含まれます。これは、状態方程式の解です。
勾配最適化を適用するための2つの条件に注意してください。\（x \）および\（k \）は単調に増加します。つまり、\（x \）は\（j \）とともに増加し、\（k \）は\に従います（i \）増分および増分。

2. dp [i]を見つける

固定\（i \）のとき、最初に\（dp [i] \）を見つけることを検討してください。以下のため\（I \）定数であり、その後の傾き\（K = [I] \）は一定とみなすことができます。場合\（J \）で\（0≤j<I \）ときの変化\（j_r \）、点を生成する（V_R =（X_R、Y_r）\）\直線のこの時点で、\ （y = kx + b_r \）、\（b_r \）は切片です。図1に示すように。

図1点（x、y）を通る線

ため（0≤j<I \）\全部で\（J \）、それらの対応する点が平面上に描かれていると、点に対応する線の傾き\（K = [I] \）は同じであり、切片\（b \）のみが異なります。すべてのこれらの点において、点\（V '\）切片線形最小場合（\ \ b）は'、算出した'（\ B）\ので、（\ B）\'含有（DP [\ i] \）、次に最適な\（dp [i] \）が計算されます。図2に示すように。

図2最も有利なv 'を通る直線

最も有利な\（v '\）を見つける方法は？「下凸シェル」を使用。
前述のように、\（x \）は単調に増加します。つまり、\（x \）は\（j \）とともに増加します。図3（1）では4つの点が示され、それらの\（x \）座標は増加しています。

（1）元の画像（2）点3を削除（3最適なv点を見つける）図3下の凸型シェルを使用して最高の利点を見つける

図３（１）の１，２，３は「下凸包」を構成しており、「下凸包」の特徴は、線分１２の傾きが線分２３の傾きよりも小さいことである。2、3、4は「上部凸シェル」を構成します。上部の凸包の中間点3を通る直線の切片bは、同じ勾配で2または4を通る直線の切片よりも小さくなければならないため、点3は最善の利点ではないので、削除してください。
「上凸包」を削除すると、図3（2）が得られ、残りのすべての点が「下凸包」の関係を満たします。一番の利点は、「下凸シェル」にあります。たとえば、図3（3）では、これらのポイントを\（k \）の傾きを持つ直線でカットします。ラインセグメント12の傾きが\（k \）より小さく、24の傾きが\（k \）より大きい場合、ポイント2は「下凸シェル」の最大のメリット。
上記の操作は、単調なキュープログラミングを使用するのに非常に便利です。
（1）キューに「下に凸の船体」を維持した状態でチームに入る。つまり、2つの連続するポイントごとに構成される直線であり、傾きは単調に増加している。新しいポイントがキューに入力されるとき、キュー内のポイントと一緒に「下部凸包」を形成できることを確認してください。たとえば、キューの最後の2つのポイントは\（v_1 \）、\（v_2 \）であり、キューに追加される新しいポイントは\（v_3 \）です。比較\（V_1 \）、\ （V_2 \）、\ （V_3 \）、ラインを見て\（v_1v_2 \）と\（v_2v_3 \）の傾きがインクリメントされているかどうか、もしそうであれば、\（V_1 \）、\ （V_2 \）、\（v_3 \）は「下部凸包」を形成します。勾配が増加しない場合は、\（v_2 \）が正しくないことを意味し、チームの末尾から跳ね返ります。次に、キューの末尾と\（v_3 \）の2つのポイントを比較し続けます。繰り返します。上記の\（v_3 \）までの操作でチームに入ることができます。上記の操作の後、キュー内のポイントは大きな「下部凸包」を形成し、各2ポイントによって形成される直線は増加する勾配を持ち、キューは単調なキューのままです。
（2）待ち行列から抜け出し、最良の利点を見つけます。チームの先頭にある2つのポイントは\（v_1 \）と\（v_2 \）です。ラインセグメント\（v_1v_2 \）の勾配が\（k \）よりも小さい場合、\（v_1 \）が最善の利点ではないことを意味します。、傾斜が\（k \）を超えるまでチームの先頭にある2つの新しいポイントを比較し続け、チームの先頭にあるポイントが最も有利な\（v '\）です。

3.すべてのdp [i]を見つける

上記は\（dp [i] \）、複雑さ\（O（n）\）を取得しました。すべての場合には\（I \）、各そのような要求\（DP [I] \）は、全体的な複雑性はまだある（O（N ^ 2）\ \）、および計算の複雑さは変わりません。最適化された方法はありますか？\（i_1 \）が
小さいほど、対応する点は{ \（v_0、v_1、...、v_ {i1} \） }になり、\（i_2 \）が大きいほど多くの点に対応します{ \（v_0、v_1、...、v_ {i1}、...、v_ {i2} \） }、これは\（i_1 \）のすべてのポイントを含みます。\（i_1 \）の最大の利点を探す場合は、{ \（v_0、v_1、...、v_ {i1} \） }を確認する必要があります。i2の最大の利点を探す場合は、{ \（v_0、v_1 ,.を確認する必要があります。 ..、v_ {i1}、...、v_ {i2} \） }。ここでは重複チェックが行われ、これらの重複を回避できます。これは、最適化できる場所であり、最適化のために「下凸シェル」を使用します。（1）各\（i \）\（k_i = a [i] \）に対応する勾配は、制約に従って異なります
\（a [i]≤a [i + 1] \）、\（i \）が増加すると、勾配が増加します。

図4複数のiに対応する線

（2）前述のように、\（i_1 \）の最良の点を見つけたら、いくつかの点、つまり\（k_ {i1} \）より小さい勾配を持つ点を削除できます。これらの削除されたポイントは、背面の\（i_2 \）が大きい場合、傾き\（k_ {i2} \）も大きいため、削除する必要があります。
（1）と（2）の説明によると、最適化方法は次のとおりです：すべての\（i \）に対して、単調なキューを使用してすべてのポイントを統一された方法で処理します;小さい\（i_1 \）によって削除されたポイントは単調です跳ね返ると、後ろの大きな\（i_2 \）はそれらを処理しなくなります。
各ポイントは単調なキューに1回だけ入るため、全体の複雑度は\（O（n）\）です。
次のコードは、上記の操作を示しています。

//q[]是单调队列，head指向队首，tail指向队尾，slope()计算2个点组成的直线的斜率
for(int i=1;i<=n;i++){ 
    while(head<tail && slope(q[head],q[head+1])<k)  //队头的2个点斜率小于k 
        head++;                                     //不合格，从队头弹出
    int j = q[head];   //队头是最优点
    dp[i] = ...;       //计算dp[i]
    while(head<tail && slope(i,q[tail-1])<slope(q[tail-1],q[tail]))   //进队操作
        tail--;        //弹走队尾不合格的点
    q[++tail] = i;     //新的点进队列
}

上記のコードの理解を深めるために、特別なケースを考慮してください：キューに入るポイントはすべて「下部凸包」機能に準拠し、これらのポイントによって形成される直線の勾配はすべての勾配\（k_i \）よりも大きい場合、結果は次のようになります：チームヘッドはそれは排出され、チームに入るポイントは排出されず、チームヘッドは\（n \）回再利用されます。

図5特別なケース

4.例

典型的な例を以下にサンプル質問とともに示します。

HDU 3507 記事の印刷http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3507
トピックの説明：Nワードを含む記事を印刷します。i番目のワードの印刷コストはCiです。1行にkワードを印刷するコストは、Mが定数であることです。コストを最小限に抑えるために記事を整理する方法は？
入力：多くのテストケースがあります。各テストケースでは、最初の行に2つの数値NとMがあります（0≤n≤500000、0≤M≤1000）。次に、次の2からN + 1行にN個の番号があります。入力はEOFで終了します。
出力：記事を印刷するための最小コストを示す数値。
入力例：
5 5
5
9
5
7
5
出力例：
230

タイトルの意味は次のとおりです。\（N \）数と定数\（M \）があり、\（N \）数はいくつかの部分に分割され、各部分の計算値はこれらの部分の合計の二乗と\（M \）、合計計算値はすべての部品の計算値の合計であり、最小の合計計算値を見つけます。ための（N \）\大きい、\（O（N ^ 2）\）アルゴリズムタイムアウト。
セット\（DP [I] \）の前に出力を表す\（I \）：単語の最小コスト、DP移動式
\（DP [I] =分\ {DP [J] +（SUM [I] -sum [ j]）2 + M \} \） \（0 <j <i \）
ここで、\（sum [i] \）は最初の\（i \）桁の合計を表します。
次は、DP方程式を\（y = kx + b \）に書き換えます。最初に方程式を展開します：
\（dp [i] = dp [j] + sum [i] * sum [i] + sum [j] * sum [j] -2 * sum [i] * sum [j] + M \ ）
アイテムの移動：
\（dp [j] + sum [j] * sum [j] = 2 * sum [i] * sum [j] + dp [i] -sum [i] * sum [i] -M \）
コントロール\（y = kx + b \）があります。
\（y = dp [j] + sum [j] * sum [j] \）、\（y \）は\（j \）にのみ関連しています。
\（X = 2×SUM [J] \）、\ （X \）のみと\（J \）について、とを有する\（J \）がインクリメントインクリメントされます。
\（k = sum [i] \）、\（k \）は\（j \）にのみ関連し、\（i \）が増加するにつれて増加します。
\（b = dp [i] -sum [i] * sum [i] -M \）、\（b \）は iにのみ関連し、\（dp [i] \）を含みます。
コードを以下に示します。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 500010;

int dp[MAXN];   
int q[MAXN];      //单调队列
int sum[MAXN];

int X(int x){ return 2*sum[x]; }
int Y(int x){ return dp[x]+sum[x]*sum[x]; }
//double slope(int a,int b){return (Y(a)-Y(b))/(X(a)-X(b));} //除法不好，改成下面的乘法
int slope_up  (int a,int b) { return Y(a)-Y(b);}   //斜率的分子部分
int slope_down(int a,int b) { return X(a)-X(b);}   //斜率的分母部分

int main(){
    int n,m;
    while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
        for(int i=1;i<=n;i++)  scanf("%d",&sum[i]);
        sum[0] = dp[0] = 0;
        for(int i=1;i<=n;i++)  sum[i]+=sum[i-1];

        int head=1,tail=1;      //队头队尾
        q[tail]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            while(head<tail &&
                  slope_up(q[head+1],q[head])<=sum[i]*slope_down(q[head+1],q[head])) 
               head++;           //斜率小于k，从队头弹走

            int j = q[head];     //队头是最优点
            dp[i] = dp[j]+m+(sum[i]-sum[j])*(sum[i]-sum[j]);    //计算dp[i]

            while(head<tail && 
                              slope_up(i,q[tail])*slope_down(q[tail],q[tail-1])
                           <= slope_up(q[tail],q[tail-1])*slope_down(i,q[tail]))
                tail--;          //弹走队尾不合格的点
            q[++tail] = i;       //新的点进队尾
        }
        printf("%d\n",dp[n]);
    }
    return 0;
}

5.演習

（1）Luogu P3195おもちゃの梱包https://www.luogu.com.cn/problem/P3195
DP式：\（dp [i] = min \ {dp [j] +（sum [i] + i− sum [j] −j−L−1）^ 2 \} \）

（2）Luogu 4072 SDOI2016ジャーニーhttps://www.luogu.com.cn/problem/P4072
2次元勾配最適化、DP方程式：\（ dp [i] [p] = min \ {dp [j] [p-1] +（s [i] −s [j]）^ 2 \} \）

アルゴリズム競合の特別な分析（12）：DP最適化（2）-勾配（凸包）最適化

1.状態方程式を平面傾斜問題に変換する

2. dp [i]を見つける

3.すべてのdp [i]を見つける

4.例

5.演習

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