勾配降下：勾配降下アルゴリズムフル（FG）、確率的勾配降下アルゴリズム（SG）、小バッチ勾配降下アルゴリズム（ミニバッチ）は、勾配降下アルゴリズム（SAG）を無作為化しました。比較勾配降下アルゴリズム、さらに最適化方法。

日萌社

人工知能AI：Keras PyTorch MXNet TensorFlow PaddlePaddleが深い実用的な学習（定期的に更新されていません）

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2.2勾配降下（勾配降下）

2.2.1勾配降下とは何ですか

勾配降下法の基本的な考え方は、下り坂のコースに似ています。

そのように、Aのシナリオを想定します。

男山から降りて必要な山の中に閉じ込め、（つまり、谷である、山の最下点を見つけます。）。しかし、今回は大きな丘の霧、非常に低い可視性が得られ。

パスが決定できないダウンしたがって、彼は山ダウンパスを見つけるために、それらの周りの情報を使用する必要があります。今回は、彼が山の下にそれらを助けるために勾配降下アルゴリズムを利用することができます。

具体的には、それは根拠が、ここで彼の現在の位置に、であるこの場所の最も急な場所を探して、その後、落下の高さの山に向かって歩いて、（同じトークンは、私たちの目標は登っている山である場合、ピークは、その後の時間）が最も急な方向に向かって上がっていくべきです。その後、すべてのは、ある程度の距離を歩いて、繰り返し同じ方法を使用している、そして最終的に成功した谷に到達することができます。

山ダウンと非常によく似たシーンの勾配降下の基本的なプロセス。

まず第一に、我々は持っている機能の微分を。この関数は、山を表しています。

私たちの目標は見つけることです。この関数の最小山のベースです、。

シナリオは、最速の方法は、急な現在位置と向きダウンほとんど見つけ、その後、機能に対応し、この方向に沿って下方に行くことになる前に、あることを前提としてグラデーションのポイントを見つけるために  、その後、勾配の反対方向に向けて、あなたは、関数の値で最速の下落を作ることができます！勾配の方向が最速の変化方向の値の関数であるからです。そこで、我々は最終的に我々がダウンしている処理と同様である局所的最小値に到達することができ、繰り返し、このメソッドを再利用勾配を打つ、と。ストライキは、測定手段の方向にシーンで最急勾配方向を決定します。

2.2.2勾配の概念

微積分勾配は非常に重要な概念であります

• 単変量関数では、勾配は固定点の接線の傾きの関数を表す、実際微分関数です。

• 多変数関数では、勾配はベクトルであり、ベクトルの方向を持つ、勾配方向の向きは、最速固定機能の上昇を指摘しました。

  • 関数パラメータを求める計算の内部は、偏導関数∂のポリオール、書かれたベクターの形で得られた各パラメータの偏微分は勾配です。

我々は勾配を攻撃する可能性のすべてを行う必要がある理由です！私たちは、あなたが最も急な場所は、勾配がこの方向で私たちを伝えるために起こるのだろう、この時点での観測の各段階で必要な、丘の下に到達する必要があります。勾配の方向が上昇最速の方向に与えられた点の関数であり、その後、反対方向の勾配は、私たちが必要とするものである最速の減少、内の指定された点の方向の関数です。私たちは、勾配の反対方向に行かなければならないので、あなたは地元の最下点に来ることができます！

2.2.3例勾配降下

• 1つの可変の勾配が減少**

示されるように、4つのステップ離れている四則演算、後に、基本的に山の基部である関数の最低点に達し

• 2.多変数関数の勾配が減少

私たちは、基本的にクローズ関数の最小点に有することを見出しました

2.2.4勾配降下（勾配降下）式

1）α意味は何ですか？

α在梯度下降算法中被称作为学习率或者步长，意味着我们可以通过α来控制每一步走的距离，以保证不要步子跨的太大扯着蛋，哈哈，其实就是不要走太快，错过了最低点。同时也要保证不要走的太慢，导致太阳下山了，还没有走到山下。所以α的选择在梯度下降法中往往是很重要的！α不能太大也不能太小，太小的话，可能导致迟迟走不到最低点，太大的话，会导致错过最低点！

• 2) 为什么梯度要乘以一个负号？

梯度前加一个负号，就意味着朝着梯度相反的方向前进！我们在前文提到，梯度的方向实际就是函数在此点上升最快的方向！而我们需要朝着下降最快的方向走，自然就是负的梯度的方向，所以此处需要加上负号

我们通过两个图更好理解梯度下降的过程

所以有了梯度下降这样一个优化算法，回归就有了"自动学习"的能力

• 优化动态图演示

3 梯度下降和正规方程的对比

3.1 两种方法对比

梯度下降	正规方程
需要选择学习率	不需要
需要迭代求解	一次运算得出
特征数量较大可以使用	需要计算方程，时间复杂度高O(n3)

经过前面的介绍，我们发现最小二乘法适用简洁高效，比梯度下降这样的迭代法似乎方便很多。但是这里我们就聊聊最小二乘法的局限性。

3.2 算法选择依据：

• 小规模数据：
  • 正规方程：LinearRegression(不能解决拟合问题)
  • 岭回归
• 大规模数据：
  • 梯度下降法：SGDRegressor

经过前面介绍，我们发现在真正的开发中，我们使用梯度下降法偏多（深度学习中更加明显），下一节中我们会进一步介绍梯度下降法的一些原理。

4 小结

• 损失函数【知道】
  • 最小二乘法
• 线性回归优化方法【知道】
  • 正规方程
  • 梯度下降法
• 正规方程 -- 一蹴而就【知道】
  • 利用矩阵的逆,转置进行一步求解
  • 只是适合样本和特征比较少的情况
• 梯度下降法 — 循序渐进【知道】
  • 梯度的概念
    • 单变量 -- 切线
    • 多变量 -- 向量
  • 梯度下降法中关注的两个参数
    • α -- 就是步长
      • 步长太小 -- 下山太慢
      • 步长太大 -- 容易跳过极小值点(*)
    • 为什么梯度要加一个负号
      • 梯度方向是上升最快方向,负号就是下降最快方向
• 梯度下降法和正规方程选择依据【知道】
  • 小规模数据：
    • 正规方程：LinearRegression(不能解决拟合问题)
    • 岭回归
  • 大规模数据：
    • 梯度下降法：SGDRegressor

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2.5 梯度下降方法介绍

1 详解梯度下降算法

1.1梯度下降的相关概念复习

在详细了解梯度下降的算法之前，我们先复习相关的一些概念。

1.2 梯度下降法的推导流程

在下面一节中，咱们会详细讲到梯度下降法的变种，他们主要的区别就是对样本的采用方法不同。这里我们采用的是用所有样本。

2 梯度下降法大家族

首先，我们来看一下，常见的梯度下降算法有：

• 全梯度下降算法(Full gradient descent),
• 随机梯度下降算法(Stochastic gradient descent),
• 小批量梯度下降算法(Mini-batch gradient descent),
• 随机平均梯度下降算法(Stochastic average gradient descent)

它们都是为了正确地调节权重向量，通过为每个权重计算一个梯度，从而更新权值，使目标函数尽可能最小化。其差别在于样本的使用方式不同。

2.1 全梯度下降算法(FG)

批量梯度下降法，是梯度下降法最常用的形式，具体做法也就是在更新参数时使用所有的样本来进行更新。

计算训练集所有样本误差，对其求和再取平均值作为目标函数。

权重向量沿其梯度相反的方向移动，从而使当前目标函数减少得最多。

注意：

• 因为在执行每次更新时，我们需要在整个数据集上计算所有的梯度，所以批梯度下降法的速度会很慢，同时，批梯度下降法无法处理超出内存容量限制的数据集。

• 批梯度下降法同样也不能在线更新模型，即在运行的过程中，不能增加新的样本。

2.2 随机梯度下降算法(SG)

由于FG每迭代更新一次权重都需要计算所有样本误差，而实际问题中经常有上亿的训练样本，故效率偏低，且容易陷入局部最优解，因此提出了随机梯度下降算法。

其每轮计算的目标函数不再是全体样本误差，而仅是单个样本误差，即每次只代入计算一个样本目标函数的梯度来更新权重，再取下一个样本重复此过程，直到损失函数值停止下降或损失函数值小于某个可以容忍的阈值。

此过程简单，高效，通常可以较好地避免更新迭代收敛到局部最优解。其迭代形式为

但是由于，SG每次只使用一个样本迭代，若遇上噪声则容易陷入局部最优解。

2.3 小批量梯度下降算法(mini-batch)

小批量梯度下降算法是FG和SG的折中方案,在一定程度上兼顾了以上两种方法的优点。

每次从训练样本集上随机抽取一个小样本集，在抽出来的小样本集上采用FG迭代更新权重。

被抽出的小样本集所含样本点的个数称为batch_size，通常设置为2的幂次方，更有利于GPU加速处理。

特别的，若batch_size=1，则变成了SG；若batch_size=n，则变成了FG.其迭代形式为

2.4 随机平均梯度下降算法(SAG)

在SG方法中，虽然避开了运算成本大的问题，但对于大数据训练而言，SG效果常不尽如人意，因为每一轮梯度更新都完全与上一轮的数据和梯度无关。

随机平均梯度算法克服了这个问题，在内存中为每一个样本都维护一个旧的梯度，随机选择第i个样本来更新此样本的梯度，其他样本的梯度保持不变，然后求得所有梯度的平均值，进而更新了参数。

如此，每一轮更新仅需计算一个样本的梯度，计算成本等同于SG，但收敛速度快得多。

• 我们知道sgd是当前权重减去步长乘以梯度，得到新的权重。sag中的a，就是平均的意思，具体说，就是在第k步迭代的时候，我考虑的这一步和前面n-1个梯度的平均值，当前权重减去步长乘以最近n个梯度的平均值。
• n是自己设置的，当n=1的时候，就是普通的sgd。
• 这个想法非常的简单，在随机中又增加了确定性，类似于mini-batch sgd的作用，但不同的是，sag又没有去计算更多的样本，只是利用了之前计算出来的梯度，所以每次迭代的计算成本远小于mini-batch sgd，和sgd相当。效果而言，sag相对于sgd，收敛速度快了很多。这一点下面的论文中有具体的描述和证明。
• SAG论文链接：https://arxiv.org/pdf/1309.2388.pdf

 

• 3 小结

• 全梯度下降算法(FG)【知道】
  • 在进行计算的时候,计算所有样本的误差平均值,作为我的目标函数
• 随机梯度下降算法(SG)【知道】
  • 每次只选择一个样本进行考核
• 小批量梯度下降算法(mini-batch)【知道】
  • 选择一部分样本进行考核
• 随机平均梯度下降算法(SAG)【知道】
  • 会给每个样本都维持一个平均值,后期计算的时候,参考这个平均值

 

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梯度下降法算法比较和进一步优化

常见的梯度下降算法有：

• 全梯度下降算法(Full gradient descent）,
• 随机梯度下降算法（Stochastic gradient descent）,
• 小批量梯度下降算法（Mini-batch gradient descent）,
• 随机平均梯度下降算法（Stochastic average gradient descent）

它们都是为了正确地调节权重向量，通过为每个权重计算一个梯度，从而更新权值，使目标函数尽可能最小化。其差别在于样本的使用方式不同。

我们通过一个数据集案例进行对比，查看他们的区别

1 算法比较

为了比对四种基本梯度下降算法的性能，我们通过一个逻辑二分类实验来说明。本文所用的Adult数据集来自UCI公共数据库（http://archive.ics.uci.edu/ml/datasets/Adult）。 数据集共有15081条记录，包括“性别”“年龄”“受教育情况”“每周工作时常”等14个特征，数据标记列显示“年薪是否大于50000美元”。我们将数据集的80%作为训练集，剩下的20%作为测试集，使用逻辑回归建立预测模型，根据数据点的14个特征预测其数据标记（收入情况）。

以下6幅图反映了模型优化过程中四种梯度算法的性能差异。

在图1和图2中，横坐标代表有效迭代次数，纵坐标代表平均损失函数值。图1反映了前25次有效迭代过程中平均损失函数值的变化情况，为了便于观察，图2放大了第10次到25次的迭代情况。

从图1中可以看到，四种梯度算法下，平均损失函数值随迭代次数的增加而减少。FG的迭代效率始终领先，能在较少的迭代次数下取得较低的平均损失函数值。FG与SAG的图像较平滑，这是因为这两种算法在进行梯度更新时都结合了之前的梯度；SG与mini-batch的图像曲折明显，这是因为这两种算法在每轮更新梯度时都随机抽取一个或若干样本进行计算，并没有考虑到之前的梯度。

从图2中可以看到虽然四条折现的纵坐标虽然都趋近于0，但SG和FG较早，mini-batch最晚。这说明如果想使用mini-batch获得最优参数，必须对其进行较其他三种梯度算法更多频次的迭代。

在图3，4，5，6中，横坐标表示时间，纵坐标表示平均损失函数值。

从图3中可以看出使用四种算法将平均损失函数值从0.7降到0.1最多只需要2.5s，由于本文程序在初始化梯度时将梯度设为了零，故前期的优化效果格外明显。其中SG在前期的表现最好，仅1.75s便将损失函值降到了0.1，虽然SG无法像FG那样达到线性收敛，但在处理大规模机器学习问题时，为了节约时间成本和存储成本，可在训练的一开始先使用SG，后期考虑到收敛性和精度可改用其他算法。

从图4，5，6可以看出，随着平均损失函数值的不断减小，SG的性能逐渐反超FG，FG的优化效率最慢，即达到相同平均损失函数值时FG所需要的时间最久。

综合分析六幅图我们得出以下结论：

（1）FG方法由于它每轮更新都要使用全体数据集，故花费的时间成本最多，内存存储最大。

（2）SAG在训练初期表现不佳，优化速度较慢。这是因为我们常将初始梯度设为0，而SAG每轮梯度更新都结合了上一轮梯度值。

（3）综合考虑迭代次数和运行时间，SG表现性能都很好，能在训练初期快速摆脱初始梯度值，快速将平均损失函数降到很低。但要注意，在使用SG方法时要慎重选择步长，否则容易错过最优解。

（4）mini-batch结合了SG的“胆大”和FG的“心细”，从6幅图像来看，它的表现也正好居于SG和FG二者之间。在目前的机器学习领域，mini-batch是使用最多的梯度下降算法，正是因为它避开了FG运算效率低成本大和SG收敛效果不稳定的缺点。

2 梯度下降优化算法

以下这些算法主要用于深度学习优化

• 动量法
  • 其实动量法(SGD with monentum)就是SAG的姐妹版
  • SAG是对过去K次的梯度求平均值
  • SGD with monentum 是对过去所有的梯度求加权平均
• Nesterov加速梯度下降法
  • 类似于一个智能球，在重新遇到斜率上升时候，能够知道减速
• Adagrad
  • 让学习率使用参数
  • 对于出现次数较少的特征，我们对其采用更大的学习率，对于出现次数较多的特征，我们对其采用较小的学习率。
• Adadelta
  • Adadelta是Adagrad的一种扩展算法，以处理Adagrad学习速率单调递减的问题。
• RMSProp
  • 其结合了梯度平方的指数移动平均数来调节学习率的变化。
  • 能够在不稳定（Non-Stationary）的目标函数情况下进行很好地收敛。
• Adam
  • 结合AdaGrad和RMSProp两种优化算法的优点。
  • 是一种自适应的学习率算法

参考链接：[https://blog.csdn.net/google19890102/article/details/69942970]