**数学目湖北（5）**
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特に左のいくつかの不等式が、前の列の数と$ n型（製品タイプ）$用語、右が一定である、のために
我々は誘導を使用して、一般的には、帰納法の仮定の再帰的な使用を行うための方法はありません、
この時間変換と強化のための不平等の右側を証明する。2015年湖北省科学フィナーレの数学の問題の下に、例えば必要。
（2015年紙、科学22個の質問に）列の既知の数$ \ {A_N \}陽性の両方で$と$ \ displaystyle B_N = N \左（1+ \ FRAC {1} {N} \右）^ na_n（N \ mathbb {N} \で）$ E $は自然対数の基数であります$、。
（1）関数$ F（X）= 1 + XE ^ X $単調範囲、および$ \ displaystyle \左（1+ \ FRAC {1} {N} \右）^ N $の$ E $を比較することを要求しますサイズ。
（2）計算$ \ displaystyle \ FRAC {B_1} {A_1} \ FRAC {b_1b_2} {a_1a_2} \ FRAC {b_1b_2b_3} {a_1a_2a_3} $、 それによって推定計算
$ \ displaystyle \ FRACは{b_1b_2 \ cdots B_N} プルーフ所与{a_1a_2 \ cdots A_N} $式。
（3）注文$ \ displaystyle C_N =（a_1a_2 \ cdots A_N）^ {\ FRAC {1} {N}} $、 列数$ \ {A_N \} $と$ \ {C_N \} $フロント$ N- $アイテム記録した
$ T_N <eS_n $：$ S_N、T_N $、証明してみてください。
我々は、次の（3）小Q、すなわち、証明するの単なる例示
\開始{式*} \ラベル{E137} \ SUM \ limits_ {K = 1} ^ N- \ SQRT [K] {a_1a_2 \ cdots a_k}
\ leqslant E \和\ limits_ {k = 1 } ^ na_k、\クワッド（1）\端{式*}
Carleman不等式と呼ばれる式は、さらに、我々はまた、一定$ E $の右端が最適であることを示し、
すなわち彼が保持している劣らず一定になるようにと言いました。
**证明一**令$ b_k = \ dfrac {（K + 1）^ K}、{K ^ {K-1}}（k = 1,2、\ ldots、N）$、根据AM-GM不等式可得
\開始{式*} \和\ limits_ {k = 1} ^ N \ SQRT [K] {a_1a_2 \ cdots a_k}
= \和\ limits_ {k = 1} ^ N \ FRAC {\ SQRT [K] {（a_1b_1）（a_2b_2）\ cdots（a_kb_k）}}、{K + 1}
\ leqslant \和\ limits_ {k = 1} ^ N \ FRAC {1} {（K + 1）} \左（\和\ limits_ {I = 1} ^ na_ib_i \右）\端{式*}
\ {*式を}開始= \和\ limits_ {iは1 =} ^ N a_ib_i \和\ limits_ {J =} ^ N \ FRAC {1} {J（J + 1）}
= \和\ limits_ {iは1 =} ^ N a_ib_i \左（\ FRAC {1} {I} - \ FRAC {1} {N + 1} \右）。 \端{式*}
注意到
\開始{式*} b_i \左（\ FRAC {1} {I} - \ FRAC {1} {N + 1} \右）<\ FRAC {b_i} {I} = \ I <E。\端{式*} ^（1+ \ FRAC {1} {I} \右）左
因此、不等式（1）の成立。
次に、我々はそう$ a_k = 1 /その後$、K、E $が最適である$
\開始{式*} \ LIM \ limits_を{N \ \ inftyのへ} {\和\ limits_ {k = 1} ^ N- \ FRAC {1}、{K}} \ biggm / {\ SUM \ limits_ {K = 1} ^ N-
\ FRAC {1} {\ SQRT [N- {N-！}}} = \リム\ limits_ {N- \ \ inftyの} \ FRAC {\に SQRT [N] {N！}} {N} = E。\端{式*}
したがって、$ E $このような最小一定の不等式（1）確立することです。
** 2 **証明
直列$ $ b_kない一意の構成を証明し、音符が
始まる\ {式*} \ SQRT [K] {a_1a_2 \ cdots a_k} = \ FRAC {1} {\ SQRT [K] {K！}} \ CDOT \ SQRT [K] {（1 \ CDOT A_1）（2 \ CDOT A_2）\ cdots
（K \ CDOTのa_k）} \ leqslant \ FRAC {1} {\ SQRT [K] {K！ }} \ CDOT \ FRAC {A_1 + 2A_2 + \ cdots + ka_k} {K} \端{式*}
結合不等式$ \ SQRT [N] {N ！}>（N + 1）/ E $は、（ 数学的帰納を参照方法部）、次いで
\ \ SUM \ limits_ {*式を}開始{K = 1} ^ N- \ SQRT [K] {a_1a_2 \ cdots a_k} <E \ CDOT \ SUM \ limits_ {K = 1} ^ N-
\ FRAC {A_1 + 2A_2 + \ cdots + ka_k} {K（K + 1）} = E \ CDOT \ SUM \ limits_ {K = 1} ^ N- \左（
\ SUM \ limits_ {J = K} ^ N- \ FRAC {K } {J（J + 1） } \右）a_k <E \和\ limits_ {k = 1} ^ na_k。\クワッド\平方\端{式*}
** 3つの証明。**
ハーディ・ランダウの不平等（Baiduはそれを理解していない）、我々が持っている
\始める{式*} \合計 \ limits_ {K = 1} ^ nは\左（\ FRAC {A_1 ^ {1 / P} + A_2 ^ {1 / P} + \ cdots + a_k ^ {1 / P}}、{K} \右）^ P
\ leqslant \左（\ FRAC {P} {P-1} \右）^ P \合計\ limits_ {kは= 1 } ^ na_k。\エンド{式*}
我々は+ \ inftyの$ GETに$ P \ましょう
\ {式*} \ limを始める \ limits_ {+ \ inftyのへのp \} \左を（ \ FRAC {A_1 ^ {1 / P} + A_2 ^ {1 / P} + \ cdots + a_k ^ {1 / P}}、{K} \右）^ P
= \ SQRT [K] {a_1a_2 \ cdots a_k} \端{式*}
および
\開始{式*} \ LIM \左（\ FRAC {P} {P-1} \右）^ P = E。\端{\ limits_ {+ \ inftyのにP \} 式*}
したがって、式（1）が成立します。
**注** AM-GMの不平等については、我々はそれを使用してズームイン、それは通常の不等式がより正確に保留するようにパラメータを導入することで、調整されます。
例えば、$ \ lambda_k> 0 $の時、
\開始{式*} \ SQRT [N- {a_1a_2 \ cdots A_N} = \ FRAC {\ SQRT [N-] {（\ lambda_1a_1）（\ lambda_2a_2）
\ cdots（\ lambda_na_n）}} {\ SQRT [N- {\ lambda_1 \ lambda_2 \ cdots \ lambda_n}}
\ leqslant \ FRAC {\ FRAC {1} {N-} \ SUM \ limits_ {K = 1} ^ N- \ lambda_ka_k} {\ SQRT [N- {
\ lambda_1 \ lambda_2 \ cdots \ lambda_n }} \端{式* }
特に、$ \ lambda_k =場合がK $取る
\ SQRT \} * {式を始める[N- {a_1a_2 \ cdots A_N} = \ FRAC {\ SQRT [N- {A_1（ 2A_2）\ cdots（na_n）}} {\ SQRT [N- {N-！}}
\ leqslant \ FRAC {1} {\ SQRT [N- {N-！}} \ CDOT \ FRAC {1} {N-} \ SUM \ limits_ {k = 1} ^ nka_k。\端{式*}
小さな（3）最初の場合。これまで中学生、競技クラスの選手の難しさの一部の範囲を超えて、難易度が非常に大きい、尋ねる
それは比較することは容易ではありません不平等の直接証拠（1）が、我々は右のそれの後にそれを変換します簡単に、数学的帰納法を使用することができます
右、それは非常に簡単です、本当に。
命題1 ** ** $ A_1、A_2、\ ldots、設定 A_N $ 非負実数、$ E $は自然対数の底数、である
\始める{式*} \ラベル {E138} \合計\ {limits_ 。K = 1} ^ N- \ SQRT [K] {a_1a_2 \ cdots a_k}
\ leqslant E \ SUM \ limits_ {K = 1} ^ na_k - N- \ SQRT [N- {a_1a_2 \ cdots A_N} \終了{式* }
証明**誘導が証明使用することと等価である
\開始{式*} ea_n + （N-1）\ SQRT [N-1] {a_1a_2 \ cdots A_ {N-1}} \ geqslant（N + 1を）\ SQRT [N] {a_1a_2 \ cdots A_N} \端{式*}
AM-GM不等式利用できるによって
\開始{式*} ea_n + （N-1）\ SQRT [N-1] {a_1a_2 \ cdots A_ {N-1}} \ geqslant N \ SQRT [N] {ea_1a_2 \ cdots A_N} \端{式*}
の組換え不等式$電子> \左（1+ \ FRAC {1} {N} \右）^ N $をすることができます。
もちろん、多くのそのような例があり、数学的帰納法は、役割は非常に巧妙な絶妙に演じています。
**命題2（明るいヒツジ）$ X_1、X_2、\ ldots、提供 x_nに関する$ 任意の実数であり、証明：
\ *開始式} {\ SUM \ limits_ 1} ^ {N-K = \左（\ FRAC {1}、{K} \ SUM \ limits_ {J = 1} ^ kx_j \右）^ 2 \ leqslant
\ SUM \ limits_ {K = 1} ^ N-（K + 1）X_K ^ 2 \終了{式*}
**注：**同様に、誘導の使用は不等式を証明する。
\ * {= SUM \ limits_ 1} ^ {N-K \ \左（\ FRAC 1 {{}}}の式を開始K \ SUM \ {limits_ J = 1} ^ kx_j \右 ）^ 2 \ leqslant \和\ limits_ {k = 1} ^ N（K + 1）X_K ^ 2 - \ FRAC {1} {N} \左（\和\ limits_ {K = 1} ^ nx_k \右） ^ 2 \端{式*}
**命題3 **（2005年ナショナルチーム予選の質問）
提供$ A_1、A_2、\ ldots、 A_N $ 正の実数である、ことを証明しよう：
{} \ *式を始める\左（\ FRAC {\ SUM \ {limits_ J = 1} ^ N- \ SQRT [J] {a_1a_2 \ cdots a_j}} {\ SUM \ limits_ {J = 1} ^ na_j} \右）^ {\！\！1 / N-}
+ \ FRAC {\ SQRT [N- {a_1a_2 \ cdots A_N}} {\ SUM \ limits_ {J = 1} ^ N- \ SQRT [J] {a_1a_2 \ cdots a_j}} \ leqslant
\ FRAC {N- + 1} {N-}。\終了{式*}
**注：**この不平等が強化されCarleman不平等（なぜ）。
以下の実施例は、交換技術を加算類似の配列です。
命題4 ** **は任意の正の数$ A_1、A_2、\ ldots、そのようなことを、$ C $最良の定数を与える A_N $、 次の不等式が成り立つ。
\ *開始式} {\ SUM \ K = {limits_ 1} ^ N \ FRAC {K } {\和\ limits_ {J = 1} ^ K \ FRAC {1} {a_j}} \ leqslant C \和\ limits_ {k = 1} ^ na_k。\端{式* }
**证明。**根据コーシー・シュワルツ不等式可得
\開始{式*} \左（\和\ limits_ {J = 1} ^ K \ FRAC {1} {a_j} \右）\（左\和\ limits_ {J = 1} ^ KJ ^ 2a_j \右）\ geqslant
\左（\和\ limits_ {J = 1} ^ KJ \右）^ 2 = \左[\ FRAC {（K + 1）} {2 } \右] ^ 2 \端{式*}
整理便有
\開始{式*} \ FRAC {K} {\和\ limits_ {J = 1} ^ K \ FRAC {1} {a_j}} \ leqslant \ FRAC {4} {（K + 1）^ 2} \左（\和\ limits_ {J = 1} ^ KJ ^ 2a_j \右）。\端{式*}
所以
\開始{式*} \和\ limits_ {k = 1} ^ N \ FRAC {K} {\和\ limits_ {J = 1} ^ K \ FRAC {1} {a_j}}
\ leqslant \和\ limits_ {k = 1} ^ N \ FRAC {4} {（K + 1）^ 2} \左（\和\ limits_ {J = 1} ^ KJ ^ 2a_j \右）が\端{式*}
\ {*式を}開始= 2 \和\ limits_ {J = 1} ^ NJ ^ 2a_j \和\ limits_ {K = J} ^ N \ FRAC {2} {（K + 1）^ 2} \端{式*}
\開始{式*} <2 \和\ limits_ {J = 1} ^ NJ ^ 2a_j \和\ limits_ {K = J} ^ N \左（\ FRAC {1} {K ^ 2} - \ FRAC {1 } {（K + 1）^ 2} \右）\終了{式*}
\ {式*} = 2を開始\ SUM \ limits_ {Jは= 1} ^ NJ ^ 2a_j \左[\ FRAC {1} {J ^ 2} - \ FRAC { 1} {（N + 1）^ 2} \右] <2 \和\ limits_ {J = 1} ^ na_j \端{式*}
それ故賢明の$ C = 2 $であり、以下の説明は、$ 2 $の最良の係数である。= 1そうa_j $ / J \すなわち、（J = 1,2、\ cdots、N-）$、
\ SUM \ limits_ \ {} *式を始める。1} ^ {N-K = \ FRAC {K} {\ SUM \ limits_ {J = 1} ^ K \ FRAC {1} {a_j}} = \ SUM \ limits_ {K = 1} ^ N-
\ FRAC {K} {\ FRAC {1} {2 } K（K + 1）} = 2 \和\ limits_ {k = 1} ^ N \ FRAC {1} {kは、+ 1} \ leqslant C \和\ limits_ {k = 1} ^ N \ FRAC {1} {K} \端{式 *}は
理論的限界、以下2 $ C $ $ $以下の定数から見ることができます。
$ a_iを= 1 X_I $作り、命題は2005年にアメリカの数学月間で初めて固有値解問題/いいえ11145です。
**例**（AMM、11145）は
$ X_1を設定し、X_2、\ ldots、 x_nに関する$ ：陽性であり、試験は、その証明
\ *開始式} {\ SUM \ limits_ 1} ^ {N-K = \ {FRAC。 X_1 + X_2} {K + \ + X_K cdots}
\ leqslant 2 \ SUM \ limits_。1} ^ {N-K = \ FRAC。1 {{}} X_K。\式終了{*}
**注**
この不等式から見ることができます
（1）$ X_K> 0 $、および$ \ displaystyle \和\ limits_ {場合はn = 1} ^ {\ inftyの} \ FRAC {1} {x_nに関する} $ 収束し、
その後一連
$ \ displaystyle \和\ limits_ { N = 1} ^ {\ inftyの } \ {n}は{X_1 + X_2 + \ cdots + x_nに関する} $はFRAC
収束です。
（2）リーダーのための次の不等式が。
\ \ SUM \ limits_ {*式を}開始{K = 1} {2K + 1} {X_1 + X_2 + \ cdots + X_K} ^ N- \ FRAC
\ leqslant。4 \ SUM \ limits_ {K = 1} ^ N \ FRAC {1} {X_K} \端{式*}
命題5 **
提供$ a_k \ geqslant 0 \、（ K = 1,2、\ ldots、N）$は、 それぞれ$ M $のための正の整数である
\ *式} {\ SUM開始\ {limits_ K = 1} ^ N- \ SQRT [K] {a_1a_2 \ cdots a_k} \ leqslant \ FRAC {1} {M} \ SUM \ limits_ {K = 1} ^ N-
a_k \左（\ FRAC {K + M} { K} \右）^ K。 \端{式*}