求\（{N + M \ nは選択} \ BMOD P \）
ルーカス（ルーカス）定理
\ [{N \ Mを選択} \当量{N \ BMOD P \選び、m \ BMOD P} \回{P上\ lfloor {N \} \ rfloor \ \ P上lfloor {Mを\選択} \ rfloor} \ PMOD P \]
証明（感謝Lance1ot）
まず、我々は証明する必要があります
\ [{P \ Iを選択} \当量{I上のp \} {P-1 \ I-1を選択} \当量0 \ PMOD P、（1 \ルI \ルP-1）\]
によって
\ [{P \ I選択} = {P！\ I上！（PI）！} = {P \ Iオーバー} {（P-1）！\オーバー（I-1）！（P-1-I + I上1）！} {P \} I上{（P-1）！\オーバー（I-1）！（PI）！} = {P \} {P-1 \ \} I-1を選択]
証明されました。
そして、自然と二項定理によると、我々はすぐに描きます
\ [（1 + X）^ P \当量{P \ choose0} 1 ^ P + {P \ choose1} X ^ {2} + ... + {P \ Pを選択} X ^ P \当量{P \ choose0 } 1 ^ PX ^ 0 + {P \ Pを選択} 1 ^ 0X ^ P \当量1 + X ^ P \ PMOD P \]
その後、我々は証拠を求められます
\ [{\ Bを選択} \当量{A_0 \ B_0を選択} {a_1p \ b_1pを選択} {a_2p ^ 2 \ b_2pを選択^ 2} \ドット\ PMOD P \]
オーダー\（A = LP + R、
B = SP + jが\） 証明（{\ Bを選択} \ \当量{1 \ Sを選択} {R \ Jを選択} \ PMOD P \） 、その後に再帰溶液の特性を使用してそれは。
二項目の定理から続行し続けます
\ [（1 + X）^ =（1 + X）^ {LP} \ CDOT（1 + X）^ R \]
次に展開\（（1 + X）^ {LP} \）
\ [（1 + X）^ {LP} \当量（（1 + X）^ P）^ L \当量（1 + X ^ P）^ L \ PMOD P \]
\ [\したがって（1 + X）^ A \当量（1 + X ^ P）^ L（1 + X）^ R \ PMOD P \]
観察\（X ^ B \）の係数
\ [\理由{^ B \選択し、X ^ B} \当量{1 \ Sを選択} X ^ {SP} {R \ Jを選択} X ^ J \ PMOD P \]
\ [\従って{\選択B} X ^ B \当量{1 \ Sを選択} {R \ Jを選択} X ^ B \ PMOD P \]
\ [\従って{\ Bを選択} \当量{1 \ Sを選択} {R \ Jを選択} \当量{\ lfloor {\ P上} \ rfloor \ \ lfloor P上{B \} \ rfloorを選択} {A \ BMOD P \ Bを選択\ BMOD P} \ PMOD P \]
証明されました
実現
#include <cstdio>
#define ll long long
#define re register
#define il inline
#define gc getchar
#define pc putchar
template <class T>
void read(T &x) {
re bool f = 0;
re char c = gc();
while ((c < '0' || c > '9') && c != '-') c = gc();
if (c == '-') f = 1, c = gc();
x = 0;
while (c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + (c ^ 48), c = gc();
f && (x = -x);
}
template <class T>
void print(T x) {
if (x < 0) pc('-'), x = -x;
if (x >= 10) print(x / 10);
pc((x % 10) ^ 48);
}
template <class T>
void prisp(T x) {
print(x);
pc(' ');
}
template <class T>
void priln(T x) {
print(x);
pc('\n');
}
ll fac[100005];
ll pow(ll b, int t, ll p) {
ll r;
for (r = 1; t; t >>= 1, b = (b * b) % p)
if (t & 1) r = (r * b) % p;
return r;
}
ll C(ll n, ll m, ll p) {
if (m > n) return 0;
return (fac[n] * pow(fac[m], p - 2, p) % p) * pow(fac[n - m], p - 2, p) % p;
}
ll lucas(ll n, ll m, ll p) {
if (m == 0) return 1;
return C(n % p, m % p, p) * lucas(n / p, m / p, p) % p;
}
int main() {
int t;
read(t);
while (t--) {
ll n, m, p;
read(n);
read(m);
read(p);
fac[0] = 1;
for (int i = 1; i <= p; ++i) fac[i] = (fac[i - 1] * i) % p;
priln(lucas(n + m, m, p));
}
}