La serie es una serie de ecuaciones diferenciales 3Blue1Brown notas de vídeo, el vídeo original se puede ver: https://www.bilibili.com/video/av50290975 o https://www.youtube.com/watch?v=p_di4Zn4wz4&list=PLZHQObOWTQDNPOjrT6KVlfJuKtYTftqH6
Debido al limitado nivel de su autor, el texto será inevitablemente algunas deficiencias y mal, la honestidad complacer a la crítica.
1 Introducción
En 3B1B ecuaciones diferenciales Notas de la serie (B) se introdujo por la ecuación de conducción térmica comprensión de ecuaciones diferenciales parciales, este capítulo continuará para calentar ecuación de conducción se basa en la resolución de ecuaciones diferenciales parciales introducidas, la resolución de ecuaciones diferenciales parciales, ecuaciones diferenciales parciales satisfechas las soluciones son muchas, pero no todas las soluciones son capaces de satisfacer nuestras necesidades, por lo que sólo tenemos ecuaciones diferenciales parciales no es suficiente, también es necesario analizar las condiciones de contorno, la solución final fijada definitivamente por las condiciones iniciales.
2 parcial Ecuaciones diferenciales
En primer lugar, la función específica seno es ecuaciones muy simples de conducción de calor, debido a que la segunda derivada de una función sinusoidal con sí mismo es proporcional, por una combinación lineal diferente de la función seno, soluciones más complejas se pueden obtener. las series de Fourier nos dice que todas las funciones y pueden expresarse como una curva sinusoidal. Todas estas condiciones sentado una solución función seno superioridad. De hecho, la función seno en muchos lugares será muy fácil de tratar, la resolución de ecuaciones diferenciales es sólo un ejemplo.
Comenzamos con la solución de ecuaciones diferenciales parciales de una función sinusoidal.
Suponemos que la temperatura de una barra de metal en línea con la función seno \ (sin (x) \) : \
[T (X, 0) = \ sin (x) \]
Por \ (T \) a (X \) \ teniendo parcial derivadas parciales derivados y segundo se pueden obtener:
\ [\ frac {\ T parcial} {\ X parcial} (X, 0) = \ cos (x) \]
\ [\ Frac {\ partial ^ {2} T} {\ partial x ^ {2}} (x, 0) = - \ sin (x) \]
La ecuación de conducción un calor dimensional:
\ [\ frac {\ T parcial} {\ T parcial} (x, t) = \ Alpha \ cdot \ frac {\ partial ^ {2} T} {\ partial X ^ {2}} (x, t) \]
se puede derivar para obtener:
\ [\ frac {\ T parcial} {\ T parcial} (X, 0) = \ Alpha \ cdot \ frac {\ partial ^ {2} T} {\ partial X ^ {2}} (x,
0) = - \ alpha \ cdot T (x, 0) \] encontramos una propiedades interesantes: en el estado inicial, la tasa de cambio de temperatura de cada punto a este punto son proporcional a la temperatura, y el coeficiente de proporción igual en todas partes. Después de un periodo de tiempo pequeño, reducirá la amplitud de la curva, la curva va a seguir reduciendo la amplitud de la más pequeña de la siguiente período. Después del cálculo, se encontró que esta propiedad se establece en cualquier momento. Representa una función sinusoidal del perfil de temperatura es una gran ventaja, conjuntamente con las escalas especiales abajo sinusoidal de la misma, es decir, en cada tiempo \ (T \) , las curvas de reducción de amplitud son como \ (sin (x) \ ) multiplicado por una constante.
Aquí tenemos el lado derecho de la ecuación de conducción de calor equivale aproximadamente a describirlo, es decir, las derivadas parciales con respecto a las relaciones espaciales que tenemos la idea general, ahora necesitamos otro para describir el lado izquierdo del signo igual, que derivadas parciales de la época. Representa una función de seno según la naturaleza del perfil de temperatura, sabemos que la temperatura es proporcional a la velocidad de variación de la temperatura con la misma. Cuando vemos una cierta cantidad de la tasa de cambio es proporcional a sí mismo, primero pensar en la función exponencial:
\ [E KX ^ {} \]
entonces, ¿cómo debemos utilizar la función exponencial para actualizar la expresión temperatura (es decir, (1) ) para reflejar la relación entre el tiempo de la misma? Para ecuación de conducción de calor, la expresión de la derecha representa la onda senoidal, es decir, la relación espacial del deflector, será igual a la \ (- \ alpha \) multiplicada por una función sinusoidal de la temperatura per se, es decir, (5). Para garantizar la igualdad de la ecuación, la expresión para la temperatura que se permita el tiempo para reducir la derivada parcial \ (- \ alpha \) veces, de modo que sólo tendrá que \ (sin (x) \) multiplicando una base \ (e ^ {- \ alpha t} \) puede, por lo que la temperatura se puede cambiar a la expresión:
\ [T (x, t) = \ sin (x) e ^ {- \ alpha T} \]
a continuación se verifique:
Se puede observar que la ecuación \ (T (x, t) = \ sin (x) e ^ {- \ alpha t} \) tiempo \ (T \) la búsqueda de una posición y una derivada parcial \ (X \) los valores derivadas parciales de segundo orden son la demanda idénticos, lo que es consistente con nuestra ecuación de conducción de calor.
Pero! Si realmente es tan simple, que no necesita condiciones de contorno lo que pasó!
3 condiciones de contorno
De hecho, incluso si la temperatura en el polo pasa a ser esta curva sinusoidal perfecta, ya que la temperatura no cambia como el índice, al igual que en el análisis de las cuales, dos puntos fronterizos para el polo, se supone que la temperatura permanece constante. Pero pensamos detenidamente en ello, si no existe el polo de transferencia de calor y el mundo exterior, la temperatura de los puntos limítrofes van a cambiar en un instante será el comienzo del cambio de temperatura a ese punto y su estrechamente adyacentes iguales! Ese sistema comienza en el momento de los puntos fronterizos de la primera derivada de la beta cerrada será siempre igual a cero.
En 3B1B ecuaciones diferenciales notas de la serie (B) , nos referimos a \ (x \) para entender intuitivamente la segunda derivada es el valor de los Estados Unidos tiende a ser un poco de la media de los dos adyacentes, pero en el punto fronterizo, no hay puntos adyacentes secundarios. Entonces, el valor de los puntos de contorno tienden a ser un poco de los valores vecina velocidad medida del cambio es proporcional a la diferencia. Esto también condujo después se inicia el sistema, la pendiente de la frontera será siempre igual a cero.
Al parecer, sólo la función seno, obviamente, no puede satisfacer esta condición. En otras palabras, encontrar una función de acuerdo con la ecuación del calor en sí misma no es suficiente, se debe cumplir con la \ (t> 0 \) , la frontera debe ser horizontal, es decir la expresión matemática que
\ [\ frac {\ T parcial } { \ x parcial} (0, t
) = \ frac {\ T parcial} {\ x parcial} (L, t) = 0 \] donde \ (L \) es la longitud de la varilla, y \ (t> 0 \) .
Este es un ejemplo de las condiciones de contorno, cuando en realidad queremos recoger las ecuaciones diferenciales parciales, a menudo aparecerá condiciones de contorno, y sí diferenciales parciales ecuaciones y necesita de nuestra atención.
Después de la adición de las condiciones de contorno, necesitamos para modificar aún más la expresión de la temperatura, puede estar cerca de la verdadera solución. Aquí sólo tenemos que hacer algunos ajustes, por lo que puede funcionar en el nivel límite. Aquí no es difícil de imaginar, podemos reemplazar la función seno por función coseno. Una función coseno son capaces de cumplir con cualquiera de los \ (x = 0 \) la primera derivada en 0, pero puede no ser capaz de satisfacer en \ (x = L \) en la primera derivada es también 0, por lo que necesitamos para ajustar la función coseno ciclo, por \ (X \) antes multiplica por un factor \ (\ Omega \) y \ (\ Omega \) mayor vibración sinusoidal significa el más rápido. Sin embargo, de acuerdo con la regla de la cadena, habrá una función de segundo orden de los nuevos coeficientes de guía frontal \ (\ Omega ^ 2 \) : \
[\ COS ({\ Omega} \ cdot X) \ stackrel {\ frac {\ partial} {\ x parcial}} {\ rightarrow} - \ omega \ sin (\ omega \ cdot x) \ stackrel {\ frac {\ partial} {\ x parcial}} {\ rightarrow} - \ omega ^ {2} \ cos (\ omega \ cdot x) \]
con el fin de asegurar aproximadamente igual a la ecuación, tenemos que hacer un derivado del término exponencial también se multiplica por \ (\ Omega ^ 2 \) , es decir .:
\ [T (x, t) = \ COS (\ omega \ cdot x) e ^ {
- \ alpha \ omega ^ 2 t} \] se acaba de mencionar, \ (\ Omega \)vibración sinusoidal significa cuanto mayor sea el más rápido, es decir \ (\ Omega \) más grande, una onda seno y el coseno cada derivado de una mayor curvatura cero, función de la temperatura para una mayor curvatura, que se enfriará más rápido, y es el cuadrado de veces más rápido. La nueva función exponencial ilustra perfectamente este punto, la intuición nos dice que la dirección correcta.
A continuación, vamos a limitaciones \ (\ Omega \) los valores, ya que la longitud de la palanca \ (L \) , entonces la frecuencia mínima de la función coseno satisface las condiciones de contorno es \ (\ pi / L \) , por \ (n - (\ pi / L) \) en lugar de \ (\ Omega \) , podemos función de temperatura escrito como:
\ [T (x, t) = \ COS (n - (\ PI / L) X) E ^ {- \ Alpha ( n \ pi / L) ^ {
2} t} \] de esta manera, se consigue satisfecho ecuación diferencial parcial y condiciones de contorno en función de la temperatura.
Tenga en cuenta que el número de pedido y un número que corresponde al video, (c) en el primer mencionado aquí, la parte restante continuarán expandiéndose en la solución de (IV) en el.