Tabla de contenido

1. Una única ecuación diferencial ordinaria de orden superior

2. Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior

Ejemplo 2

3. Ecuaciones diferenciales rígidas

Ejemplo 3

Ejemplo 4

4. Ecuaciones diferenciales implícitas

Ejemplo 5

1. Una única ecuación diferencial ordinaria de orden superior

La forma general de una ecuación diferencial ordinaria de orden superior es la siguiente:

$y^{(n)}=f(t,y,\punto y,\cdots,y^{(n-1)})$

El valor inicial de cada derivada de la variable de salida y(t) es el siguiente:

$y(0),\punto y(0),\cdots,y^{(n-1)}(0)$

Seleccione un conjunto de variables de estado de la siguiente manera:

$x_1=y,x_2=\punto y,\cdots,x_n=y^{(n-1)}$

El modelo original de ecuación diferencial ordinaria de alto orden se puede transformar de la siguiente manera:

$\begin{casos} \dot x_1=x_2\\ \dot x_2=x_3\\ \quad \vdots\\x_n=f(t,x_1,x_2,\cdots,x_n) \end{}$

El valor inicial se convierte de la siguiente manera:

$x_1(0)=y(0),x_2(0)=\punto y(0),\cdots,x_n(0)=y^{(n-1)}(0)$

Ejemplo 1

Los valores límite conocidos son los siguientes:

$y(0)=-0.2,y'(0)=-0.7$

Encuentre la solución numérica de la ecuación de Van der Pol, de la siguiente manera:

$\punto y+\mu(y^2-1)\punto y+y=0$

desatar:

Primero haz una pequeña transformación:

$x_1=y,\quad x_2=y'$

La descripción de la función de la ecuación de van der Pole es la siguiente:

function y=vdp_eq(t,x,flag,mu)
y=[x(2);-mu*(x(1)^2-1)*x(2)-x(1)];

clc;clear;

x0=[-0.2,-0.7];
t_final=20;

mu=1;
[t1,y1]=ode45('vdp_eq',[0,t_final],x0,[],mu);

mu=2;
[t2,y2]=ode45('vdp_eq',[0,t_final],x0,[],mu);

plot(t1,y1,t2,y2,':')
figure;
plot(y1(:,1),y1(:,2),y2(:,1),y2(:,2),':')

resultado de la operación:

De hecho, dado que el tamaño de paso adoptado por la variable es demasiado pequeño, lleva mucho tiempo, lo que hará que la matriz y de salida sea demasiado grande, lo que excederá la capacidad de almacenamiento de la computadora. En este momento, no es adecuado usar la función ode45 () para resolverlo, y se puede usar el algoritmo de solución de ecuaciones rígidas ode15s () .

2. Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior

La fórmula general para ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior es la siguiente:

Seleccione la variable de estado de la siguiente manera:

Entonces, el sistema de ecuaciones original se puede transformar a la siguiente forma:

La idea principal de este proceso es cambiar el orden superior al primer orden para facilitar el uso de la función oda 45 .

Ejemplo 2

desatar:

Seleccione un conjunto de variables de estado, de la siguiente manera:

$x_1=x,x_2=\punto x,x_3=y,x_4=\punto y$

Esto conduce a un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, como sigue:

Hay dos archivos en MATLAB para esta pregunta.

(1) archivo de función

function dx=apolloeq(t,x)
mu=1/82.45;
mu1=1-mu;
r1=sqrt((x(1)+mu)^2+x(3)^2);
r2=sqrt((x(1)-mu1)^2+x(3)^2);
dx=[x(2);
    2*x(4)+x(1)-mu1*(x(1)+mu)/r1^3-mu*(x(1)-mu1)/r2^3;
    x(4);
    -2*x(2)+x(3)-mu1*x(3)/r1^3-mu*x(3)/r2^3];

(2) Archivo principal en ejecución

clc;clear;
x0=[1.2;0;0;-1.04935751];
options=odeset;options.RelTol=1e-6;
[t1,y1]=ode45('apolloeq',[0,20],x0,options);
plot(y1(:,1),y1(:,3))

resultado de la operación:

3. Ecuaciones diferenciales rígidas

Las ecuaciones diferenciales rígidas son una clase especial de ecuaciones diferenciales ordinarias en las que algunas soluciones cambian lentamente, mientras que otras cambian rápidamente y la diferencia entre las dos es muy grande. En este momento, la función ode15s () se puede usar para resolverlo, y el formato de llamada de esta función es exactamente el mismo que el de ode45 (). como sigue:

[t,x]=ode15s(Fun,[t0,tf],x0,options,p1,p2,···)

Ejemplo 3

Solución numérica de la ecuación de Van der Pol al resolver $\mu=1000$ .

$\punto y+\mu(y^2-1)\punto y+y=0$

desatar:

Hay dos archivos para esta pregunta.

(1) Archivo de descripción diferencial

function y=vdp_eq(t,x,flag,mu)
y=[x(2);-mu*(x(1)^2-1)*x(2)-x(1)];

(2) Archivo principal en ejecución

clc;clear;

%计算范德坡方程
h_opt=odeset;h_opt.RelTol=1e-6;
x0=[2;0];
t_final=3000;
mu=1000;
[t,y]=ode15s('vdp_eq',[0,t_final],x0,h_opt,mu);
plot(t,y(:,1));
figure,
plot(t,y(:,2))

resultado de la operación:

La primera curva cambia más suavemente y la segunda curva cambia más rápido en algunos puntos.

Ejemplo 4

Para encontrar la solución numérica de este problema, el valor inicial es el siguiente:

$y_1(0)=0,y_2(0)=1$

El intervalo de cálculo es $t\en (0,100)$

La ecuación diferencial original es la siguiente:

$\begin{cases}\dot y_1=0.04(1-y_1)-(1-y_2)y_1+0.0001(1-y_2)^2\\ \dot y_2=-10^4y_1+3000(1-y_2)^2 \end{}$

desatar:

(1) archivo de función

%定义函数
function dy=c7exstf(t,y)
dy=[0.04*(1-y(1))-(1-y(2))*y(1)+0.0001*(1-y(2))^2;...
    -10^4*y(1)+3000*(1-y(2))^2];

(2) Archivo principal en ejecución

clc;clear;

%方法一
[t2,y2]=ode45('c7exstf',[0,100],[0;1]);
plot(t2,y2)
format long
step1=[min(diff(t2)),max(diff(t2))] %步长分析
figure,
plot(t2(1:end-1),diff(t2))

%方法二：用ode15s()代替ode45()
opt=odeset;opt.RelTol=1e-6;
[t1,y1]=ode15s('c7exstf',[0,100],[0;1],opt);
figure,
plot(t1,y1)
figure,
plot(t1(1:end-1),diff(t1))

Resultado de ejecución:
paso 1 = 0,000222206938844 0,002149717871840

4. Ecuaciones diferenciales implícitas

Las ecuaciones diferenciales implícitas son ecuaciones que no se pueden transformar en ecuaciones diferenciales ordinarias explícitas.

Ejemplo 5

Conocida $x_1(0)=x_2(0)=0$ , encuentre la solución numérica de la siguiente ecuación.

$\begin{casos}sinx_1\dot x_1+cosx_2\dot x_2+x_1=1\\-cosx_2\dot x_1+sinx_1\dot x_2+x_2=0 \end{}$

desatar:

Reescribamos $x=[x_1,x_2]^T$ la ecuación original como:

$A(x)\punto x=B(x)$

Entre ellos, A (x) y B (x) son los siguientes:

$A(x)=\begin{bmatrix}sinx_1&cosx_2\\-cosx_2&sinx_1 \end{},\quad B(x)=\begin{bmatrix}1-x_1\\-x_2 \end{}$

B(x) es el término de la derecha.

(1) archivo de función

function dx=c7ximp(t,x)
A=[sin(x(1)) cos(x(2));-cos(x(2)) sin(x(1))];
B=[1-x(1);-x(2)];
dx=inv(A)*B;

(2) Archivo principal en ejecución

clc;clear;
%求解
opt=odeset;opt.RelTol=1e-6;
[t,x]=ode45('c7ximp',[0,10],[0;0],opt);
plot(t,x) %变步长

resultado de la operación:

Resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de alto orden basadas en MATLAB (con código completo)

1. Una única ecuación diferencial ordinaria de orden superior

Ejemplo 1

2. Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior

Ejemplo 2

3. Ecuaciones diferenciales rígidas

Ejemplo 3

Ejemplo 4

4. Ecuaciones diferenciales implícitas

Ejemplo 5

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