Problemas directos e inversos para ecuaciones diferenciales parciales

1. El problema directo de ecuaciones diferenciales parciales (es decir, el problema de solución definida)

El problema PDE positivo consiste en estudiar un determinado proceso o fenómeno físico descrito por una ecuación diferencial parcial y determinar la ley de cambio de la variable de estado de todo el sistema de acuerdo con algunas condiciones específicas (incluidas las condiciones iniciales, las condiciones de contorno, etc.) de la variable de estado del sistema, es decir, estudiar Una expresión matemática del estado.
Por ejemplo: un objeto GGEl problema de conducción de calor de$G$$tu(x,y,z,t)$ representa el objeto$G$在位置$(X,y,z)$ y el tiempo$La\; temperatura\; de\; t$ , el coeficiente de conductividad térmica, el coeficiente de calor específico y el coeficiente de densidad del objeto son respectivamente$k(x,y,z)$ ,$c(x,y,z)$和$pag(x,y,z)$ , el proceso de calentamiento externo es$f(x,y,z,t)$ , entonces la función de temperatura interna$tu(x,y,z,t)$一定满足下列方程：
$$\frac{\partial \rho c}{\partial t}=\frac{}{\partial x}\left(k\frac{\partial }{\partial x}\right)+\frac{}{\partial años}\left(k\frac{\partial }{\partial años}\right)\frac{}{\partial z\_}\left(k\frac{\partial }{\partial z\_}\right)+f$$
y, en el momento inicial$t=0$ , se conoce la ley de cambio de temperatura del objeto, como
$$tu(x,y,z,0)=\phi (x,y,z)$$
Se conoce la ley de cambio de temperatura de la superficie del objeto en contacto con el mundo exterior, a saber,
$$tu(x,y,z,t){|}_{(x,y,z)\in }=g(x,y,z,t)$$
donde$\Gamma$ es la superficie límite del objeto.

Tal objeto GGTemperatura interna de$G$$tu(x,y,z,t)$ está determinada de forma única.

2. Problema inverso de ecuación diferencial parcial

En el problema de conducción de calor mencionado anteriormente, cuando las personas desarrollan un nuevo objeto, a menudo se desconocen sus características de coeficiente de conducción de calor, calor específico y densidad, y el flujo de cada punto en la superficie de contacto entre el objeto y el mundo exterior (es decir, ∂ tu $\frac{\partial }{\partial norte}{|}_{}$) es observable, el cambio de temperatura dentro del objeto aún se desconoce, lo que requiere que las personas determinen la conductividad térmica $k(x,y,z)$ , coeficiente de calor específico$c(x,y,z)$ y coeficiente de densidad$pag(x,y,z)$ . Este problema es exactamente el problema inverso del problema anterior, es decir, el problema inverso de una ecuación diferencial parcial.

**En términos generales:** Si algunas condiciones originales en la solución definitiva de ecuaciones diferenciales parciales se vuelven condiciones desconocidas, y la función desconocida de la ecuación original aún puede ser desconocida, o solo conocemos alguna información relevante sobre esta función desconocida, necesitamos determinar estas incógnitas a través de ecuaciones, condiciones de solución definida y algunas condiciones adicionales.Este tipo de problema se denomina problema inverso de ecuaciones diferenciales parciales.

Hay cinco clases de problemas inversos para ecuaciones diferenciales parciales generales:

(1) Determinar algunos parámetros estructurales de ecuaciones diferenciales parciales, como determinar el coeficiente de transferencia de calor $k(x,y,z)$ , coeficiente de calor específico$c(x,y,z)$ y coeficiente de densidad$pag(x,y,z)$。

(2) Determinar el estado pasado del proceso, es decir, el problema de inversión de tiempo (o problema de igualación de tiempo). Por ejemplo, use la temperatura actual del objeto conocido en el problema anterior para determinar la distribución de temperatura inicial, es decir, $\phi (x,y,z)$。

(3) Determinar el papel de los procesos externos. Por ejemplo, en el problema anterior determine el proceso de calentamiento $f(x,y,z,t)$。

(4) Determine la ley de cambio de la variable de estado en el límite del objeto. Por ejemplo, en el objeto anterior, determine la ley de cambio de temperatura en la superficie del objeto en contacto con el mundo exterior, es decir, $g(x,y,z,t)$。

(5) Determine la forma límite del objeto, es decir, el problema geométrico inverso. Por ejemplo, en el problema anterior para determinar $\Gamma$ oGGforma$de\; G.$