Álgebra lineal - Principios de geometría

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Prefacio

Bienvenido a este artículo sobre álgebra lineal. Aquí, exploraremos el álgebra lineal desde una nueva perspectiva, ya no limitada a cálculos numéricos, sino con una comprensión profunda de los principios geométricos detrás de ella. Juntos exploraremos conceptos básicos como vectores, transformaciones lineales, matrices, determinantes, productos escalares, productos cruzados, vectores base y cómo se aplican a problemas del mundo real. Si es un principiante o desea revisar y profundizar su comprensión, este artículo le proporcionará un análisis claro y profundo. Desvelemos juntos los misterios del álgebra lineal y exploremos su rico, maravilloso y maravilloso mundo.

Definición de vector

• Física: la longitud determina un escalar, más la dirección determina un vector
• Computadora: una secuencia ordenada de números, como una matriz
• Matemáticas: Combinando los dos conceptos, un vector es una lista direccional y ordenada de números en el espacio comenzando desde el origen.

Combinaciones lineales, espacios abarcados y bases vectoriales.

• El vector i j es el vector base del sistema de coordenadas xy y es un conjunto de vectores linealmente independiente que abarca el espacio.

• Seleccione diferentes vectores base y el conjunto de vectores compuesto por todas las combinaciones lineales se denomina "espacio distribuido".

• Espacio de extensión de vectores tridimensionales.

• Dependencia lineal: al menos uno de un conjunto de vectores es redundante y no contribuye al espacio abarcado.
• Linealmente independiente: contribuye al espacio abarcado y aumenta la dimensión.

Transformaciones lineales y matrices.

Definición: una transformación que mantiene las líneas de la cuadrícula paralelas e igualmente espaciadas.

• Se puede calcular en función del vector base modificado linealmente y la relación se basa en el valor de coordenadas original.

• Las columnas de la matriz se consideran vectores base transformados, y la multiplicación matriz-vector se considera su combinación lineal, que es una transformación lineal del espacio geométrico.

Transformaciones compuestas lineales y multiplicación de matrices.

• Esencialmente, todavía calcula el cambio final del vector base.

Transformación lineal del espacio tridimensional.

• Es la misma esencia que el bidimensional, sólo que con una dimensión más.

Determinante

• La transformación lineal comprimirá el espacio de expansión y el determinante es calcular la proporción del aumento o disminución del área dada en relación con el área del vector base.

• Un determinante negativo indica que se ha invertido el espacio de orientación del sistema de coordenadas.

suma de rangos inversa de la matriz

• El rango representa la dimensión después del espacio transformado, la correlación lineal reducirá la dimensión
• Si el determinante no es 0, restablezca el vector base transformado a su definición original.

Transformación de dimensiones

Haz clic y multiplica

• El vector u es el vector base del espacio unidimensional. Necesitamos calcular la transformación lineal del vector base del espacio bidimensional a la matriz del espacio unidimensional.

• El producto escalar es el proceso de convertir uno de los vectores en una transformación lineal.
• El producto escalar vectorial puede determinar la dirección de dos vectores y si son perpendiculares.

cruz

• No entiendo ni un poco el concepto geométrico aquí.

transformación de base

• Cómo convertir dos sistemas de coordenadas, uno es el vector base personalizado i j y el otro es el vector base transformado. Supongamos que el sistema de coordenadas se llama sistema de coordenadas de Jennifer.

• Este es el sistema de coordenadas básico utilizado para expresar el sistema de coordenadas de Jennifer.
• Exprese los vectores base usando nuestros criterios y luego calcule

• Primero cámbielo a las coordenadas de Jennifer, luego gírelo y finalmente use las especificaciones de coordenadas de Jennifer para definir nuestro formato de coordenadas.

Valores propios y vectores propios

• Vector (vector propio) no abandona el espacio abarcado donde se encuentra al realizar una transformación lineal, sino que solo se escala en un cierto múltiplo (valor de característica)

• La dimensión espacial es que después de la transformación (A - I), caerá en el espacio cero. Esto requiere que las dimensiones se reduzcan y el determinante sea 0.
• Caso especial: el vector base por defecto es el vector propio

espacio vectorial abstracto

• Un vector puede ser cualquier cosa, siempre que cumpla con la estricta definición de linealidad y los estándares de los matemáticos.

Cualquier teoría que sea universal se volverá abstracta.