Productos secos | notas finas para el curso de álgebra lineal del MIT [Lección 1]

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Resumen de conocimientos

Al comienzo de esta sección, aprenderemos juntos sobre el álgebra lineal. En la primera sección, comenzaremos con la resolución de ecuaciones. Una de las aplicaciones del aprendizaje del álgebra lineal es resolver problemas de ecuaciones complejas. Uno de los núcleos de esta sección es el conocimiento de las imágenes de filas y columnas. Ecuación de solución de ángulo.

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La base de la interpretación geométrica de ecuaciones.

2.1 Imagen de línea bidimensional

Primero usamos un ejemplo para resolver la ecuación desde la perspectiva de la imagen lineal:

Primero escribimos la ecuación en forma de matriz en filas:

Matriz de coeficientes (A): Extraiga los coeficientes de la ecuación por filas para formar una matriz.
Vector desconocido (x): Extraiga las incógnitas de la ecuación y forme un vector en columnas.
Vector (b): extraiga los resultados en el lado derecho del signo igual en columnas para formar un vector.

A continuación, usamos imágenes de fila para resolver esta ecuación: la
llamada imagen de fila es tomar una fila a la vez para formar la ecuación en la matriz de coeficientes y dibujar en el sistema de coordenadas. No es diferente del proceso de dibujar y resolver ecuaciones que aprendimos en matemáticas elementales.

2.2 Imagen de columna bidimensional

A continuación, usamos imágenes de columna para resolver esta ecuación:

Encuentre la x, y apropiada tal que x veces (2, -1) + y veces (-1,2) para obtener el vector final (0,3). Obviamente, se puede ver que 1 veces (2, -1) + 2 veces (-1,2) cumple la condición.

Reflejado en la imagen, el resultado es obviamente correcto.

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Extensión de la interpretación geométrica de ecuaciones

3.1 imagen de línea de alta dimensión


si la imagen para dibujar la línea, está claro que este es uno de los tres planos que se cruzan un poco, nos gustaría ver que la naturaleza directa de este punto puede describirse como difícil.

Una forma más confiable de pensar es conectar primero dos de los planos de modo que se crucen con una línea recta. Después de estudiar el punto en el que esta línea recta se cruza con el plano, las coordenadas del punto son la solución de la ecuación.

Este proceso de solución puede ser razonable para 3D, pero ¿qué pasa con 4D? ¿Qué pasa con cinco dimensiones o incluso dimensiones más altas? Es intuitivamente difícil dibujar directamente imágenes de dimensiones superiores, y estas imágenes de líneas están sujetas a cada vez más restricciones.

3.2 Imagen de columna de alta dimensión

El lado izquierdo es la combinación lineal y el lado derecho es el resultado de la combinación lineal adecuada, de esta manera la idea es mucho más clara. "Encontrar una combinación lineal" se convierte en la clave para entender el problema.

Obviamente, esta pregunta es un caso especial, solo necesitamos tomar x = 0, y = 0 yz = 1. Se obtiene el resultado, que no es evidente en la imagen de la línea.

Por supuesto, la razón por la que recomendamos usar imágenes de columna para resolver ecuaciones es porque este es un método de solución más sistemático, es decir, buscar combinaciones lineales, en lugar de buscar puntos que son difíciles de ver después de dibujar cada fila de ecuaciones.

Otra ventaja es que si cambiamos el resultado final b, por ejemplo, en esta pregunta,

Entonces es suficiente para nosotros encontrar una combinación lineal para 2 −1 1 0 −3 4 −3, pero ¿qué pasa si usamos imágenes de líneas? Eso significa que tenemos que volver a dibujar completamente las tres imágenes planas En términos de simplicidad, los dos métodos son superiores entre sí.

Además, cabe señalar que ¿se puede resolver la ecuación matricial Ax = b para cualquier b? Es decir, para la matriz A de coeficientes de 3 * 3, ¿puede la combinación lineal de sus columnas cubrir todo el espacio tridimensional?

Para el ejemplo que dimos, debe ser posible, y el ejemplo 2 * 2 anterior también puede cubrir todo el plano, pero algunas matrices no son aceptables.

Por ejemplo, los tres vectores de columna constituyen en sí mismos un plano, por lo que el vector combinado por esos tres vectores solo puede moverse en este plano, y ciertamente no puede cubrir un espacio tridimensional 2 −1 1.

Estos tres vectores constituyen un plano. .

3.3 Multiplicación de matrices

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Percepción del aprendizaje

Esta parte del contenido es la referencia inicial al concepto de álgebra lineal. A partir de la resolución de ecuaciones, introduciendo el concepto de espacio de columnas, puede encontrar que desde la perspectiva del espacio de columnas, es más científico cambiar la ecuación que se va a resolver en una combinación lineal de vectores de columna. Introducción a la multiplicación de matrices, esta parte se centra en la comprensión.

Espero que ayude a todos ~

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