Las funciones básicas de álgebra lineal
El aprendizaje automático requiere algunos conocimientos básicos de álgebra lineal.
Matriz: Matriz
\ [A = \ begin {bmatrix} 1402 y 191 \\ \\ 1371 y 821 949 y 1 437 147 y 1 448 \\ \\ \ end {bmatrix} \]
\ [B = \ begin {bmatrix} 1 y 2 y 3 \\ 4 y 5 y 6 \\ \ end {bmatrix} \]
- A es un \ (4 \ ocasiones2 \) una matriz que consta de cuatro filas y dos columnas, y encerrado por los dos soportes. Conocida como \ (. 4 ^ {R & lt \ ocasiones2} \) .
- B es un (2 \ times3 \) \ matriz por dos filas y tres columnas, y está encerrado por los dos soportes. Conocida como \ (R & lt ^ {2 \ times3} \) .
- \ (A_ {ij} \) se utiliza para indicar un elemento de una matriz, donde \ (I \) línea representa la matriz. \ (J \) columna representa la matriz
- \ (A_ {11} = 1,402 \)
- \ (A_ {12} = 191 \)
- \ (A_ {132} = 1,437 \)
- \ (A_ {41} = 147 \)
- \ (A_ {43} = indefinido \)
vector: Vector
\ [Y = \ begin {bmatrix} 460 232 \\ \\ \\ 315 178 \\ \ end {bmatrix} \]
\ (Y \) es un conjunto de vectores, el vector puede ser visto como un (\ {n \ veces1} \ ) matriz. Cuando n = 4, que se conoce como \ (R & lt. 4 ^ {} \) .
\ (Y_i \) es el primer vector \ (i ^ {ésimo} \ ) elementos
- \(y_1=460\)
- \(y_2=232\)
- \(y_3=315\)
El aprendizaje de la lengua de amigos mayores deben saber, por ejemplo, C ++ STL biblioteca estándar en el índice del vector se cuenta desde cero. En las personas aprenden de la vida real, la mayoría de la gente está acostumbrada desde el principio. Por lo tanto, el aprendizaje de la máquina de aprendizaje, generalmente utilizamos 1 como el inicio, y en la preparación de la implementación del programa, a continuación, cambiar de nuevo a 0.
Adjuntar un período de programa MATLAB
% The ; denotes we are going back to a new row. A = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9; 10, 11, 12] % Initialize a vector v = [1;2;3] % Get the dimension of the matrix A where m = rows and n = columns [m,n] = size(A) % You could also store it this way dim_A = size(A) % Get the dimension of the vector v dim_v = size(v) % Now let's index into the 2nd row 3rd column of matrix A A_23 = A(2,3)A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 v = 1 2 3 m = 4 n = 3 dim_A = 4 3 dim_v = 3 1 A_23 = 6
Además matriz
\ [\ Begin {bmatrix} 1 y 0 \\ 2 y 5 \\ 3 y 1 \\ \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 4 y 0,5 \\ 2 y 5 \\ 0 & 1 \\ \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 5 y 0,5 \\ 4 y 10 \\ 3 y 2 \\ \ end {bmatrix} \]
Hay ejemplos de la adición de una matriz anterior.
En primer lugar, las dos matrices tienen las mismas dimensiones, es decir, el mismo número de columnas de la mismo número de filas.
Dos Además matriz es la de posición digital se suman, a continuación, obtener una nueva matriz, y esta matriz y el original dos matrices misma dimensión.
Adición no puede estar en diferentes dimensiones, por ejemplo:
. \ [\} 1 y bmatrix la comienzan 4 y \ {0 \\ \\ 3. 5 y 2. 1 & \\ \ end bmatrix} + {\ bmatrix la begin {0,5.}. \ 2 y 5 \\ \ end { bmatrix} = \ mathop {error} \]
Multiplicación de matrices
\ [3 \ veces \ begin {bmatrix} 1 y 0 \\ 2 y 5 \\ 3 y 1 \\ \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 3 y 0 \\ 6 y 15 \\ 9 y 3 \ \ \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 1 y 0 \\ 2 y 5 \\ 3 y 1 \\ \ end {bmatrix} \ times3 \]
Una multiplicación de la matriz del ejemplo anterior, tenga en cuenta el número real de multiplicación de matrices.
Es un resultado directo de los elementos individuales de la matriz se multiplica por un número real para obtener una nueva matriz de la misma dimensión imprescindible
Para la multiplicación matriz real, que es tomar o no tomar afectar después de los resultados
División de la multiplicación como:
\ [\ bmatrix el begin {} 4. 3 y 0 \\ \\ y 6 \ bmatrix End {} \ setminus 4 = \ frac 1 {{}} 4 \ times \ bmatrix el begin {0} 3 y \...... \ 6 y 15 \\ \ end { bmatrix} = \ begin {bmatrix} 1 y 0 \\ \ frac {3} {2} & \ frac {3} {4} \\ \ end {bmatrix} \ times3 \]
ejercicios
\ [\ Begin {eqnarray} & & 3 \ times \ begin {bmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \\ \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\ 5 \\ \ end {bmatrix } - \ begin {bmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \\ \ end {bmatrix} \ setminus 3 \\ & = & \ begin {bmatrix} 3 \\ 12 \\ 6 \\ \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\ 5 \\ \ end {bmatrix} - \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \\ \ frac {2} {3} \\ \ end {bmatrix} \\ y = & \ begin {bmatrix} 2 \\ 12 \\ \ frac {31} {3} \\ \ end {bmatrix} \\ \ end {eqnarray} \]
código de MATLAB:
% Initialize matrix A and B A = [1, 2, 4; 5, 3, 2] B = [1, 3, 4; 1, 1, 1] % Initialize constant s s = 2 % See how element-wise addition works add_AB = A + B % See how element-wise subtraction works sub_AB = A - B % See how scalar multiplication works mult_As = A * s % Divide A by s div_As = A / s % What happens if we have a Matrix + scalar? add_As = A + sA = 1 2 4 5 3 2 B = 1 3 4 1 1 1 s = 2 add_AB = 2 5 8 6 4 3 sub_AB = 0 -1 0 4 2 1 mult_As = 2 4 8 10 6 4 div_As = 0.5000 1.0000 2.0000 2.5000 1.5000 1.0000 add_As = 3 4 6 7 5 4
Matriz de vectores de multiplicación
\ [\ Begin {bmatrix} 1 y 3 \\ 4 y 0 \\ 2 y 1 \\\ end {bmatrix} \ veces \ begin {bmatrix} 1 \\ 5 \\\ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix } 16 ^ {(1)} \\ 4 ^ {(2)} \\ 7 ^ {(3)} \\\ end {bmatrix} \\\ begin {eqnarray} 1 \ times 1 + 3 \ times 5 = 16 \ etiqueta {1} \\ 4 \ times 1 + 0 \ tiempos 5 = 4 \ etiqueta {2} \\ 2 \ times 1 + 1 \ times 5 = 7 \ etiqueta {3} \\\ end {eqnarray} \ ]
Hay un ejemplo particular anteriormente, la matriz vector de presentación de multiplicación ecuaciones y procedimiento
Multiplicado por:
- matriz Set \ (A \) , los vectores \ (B \) .
- \ (A_j b_i = \) (el número de columnas igual al número A de las líneas B)
Cada fila de elementos de A y B se multiplica por una columna, y un valor obtenido añadiendo.
El nuevo número de filas de una matriz y obtiene el mismo número de columnas con el mismo vector.
Se puede hacer referencia al siguiente ejemplo:
\ [\} bmatrix el begin {\\ A y B y C D E y F \\\ \\ bmatrix End {} * \ begin {bmatrix la X} {bmatrix Fin \\\ \\ Y } = \ begin {bmatrix} a * x + b * y \\ c * x + d * y \\ e * x + f * y \\\ end {bmatrix} \]código de MATLAB:
% Initialize matrix A A = [1, 2, 3; 4, 5, 6;7, 8, 9] % Initialize vector v v = [1; 1; 1] % Multiply A * v Av = A * vA = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 v = 1 1 1 Av = 6 15 24
Matrix y multiplicación de matrices
Ahora calculamos tal fórmula
\ [\ begin {bmatrix} 1 y 3 y 2 \\ 4 y 0 y 1 \\\ end {bmatrix} * \ begin {bmatrix} 1 y 3 \\ \\ 0 & 1 5 y 2 \\\ end {bmatrix} \
] ocupación simplemente aprendido matriz vector, la segunda matriz se divide en dos vectores
\ [\ begin {bmatrix} 1 y 3 y 2 \\ 4 y 0 & 1 \ \\ end {bmatrix} * \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \\ 5 \\\ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 11 \\ 9 \\\ end {bmatrix} \]
\ [\ Begin {bmatrix} 1 y 3 y 2 \\ 4 y 0 & 1 \\\ end {bmatrix} * \ begin {bmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \\\ end {bmatrix} = \ begin { bmatrix} 10 \\ 14 \\\ end {bmatrix} \]
De hecho, hemos hecho el cálculo, que sólo difieren en el último paso, el orden de la columna original responderá de combinación, puede obtener
\ [\ begin {bmatrix} 1 y 3 y 2 \\ 4 y 0 y 1 \\\ end {bmatrix} * \ begin {bmatrix} 1 y 3 \\ 0 & 1 \\ 5 y 2 \\\ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 11 y 10 \\ 9 y 14 \\\ end {bmatrix} \]
Multiplicado por:
- Matrix 1 se establece \ (A \) , la matriz 2 \ (B \) .
- \ (A_j b_i = \) (el número de columnas igual al número A de las líneas B)
Cada fila de elementos de A y B se multiplica por una columna, y un valor obtenido añadiendo.
Un mismo número de filas obtiene nueva matriz B con el mismo número de columnas. Que \ (R ^ {m * n } \ times R ^ {n * o} = R ^ {m * o} \)
Se puede hacer referencia al siguiente ejemplo:
\ [\} bmatrix el inicio * \ begin {bmatrix la W} X & \\ \\ Y y Z {D E y F \\ \\ \ bmatrix Fin {\\ A y B y C} \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} a * w + b * y & a * x + b * z \\ c * w + d * y & c * x + d * z \\ e * w + f * y & e * x + f * z \\ \ end {bmatrix} \]código de MATLAB:
% Initialize a 3 by 2 matrix A = [1, 2; 3, 4;5, 6] % Initialize a 2 by 1 matrix B = [1; 2] % We expect a resulting matrix of (3 by 2)*(2 by 1) = (3 by 1) mult_AB = A*B % Make sure you understand why we got that resultA = 1 2 3 4 5 6 B = 1 2 mult_AB = 5 11 17
Algunas propiedades de la multiplicación de matrices
no puede ser cambiado (en general)
número multiplicación real, los dos números después del cambio es el resultado del mismo sentido:
\ [3 + 5 + 3 = 5 \]
que es normal a la. Pero también es cierto matriz?Intentamos utilizar el anterior aspecto de multiplicación de matrices:
\ [\ bmatrix el begin {} 1 y 0. 1 y 0 \\ \\ \ bmatrix End {} * \ bmatrix el begin {0} & 0 & 2 0 \\ \\ \ {Fin. bmatrix} = \ begin {bmatrix} 2 y 0 \\ 0 & 0 \\ \ end {bmatrix} \]\ [\ Begin {bmatrix} 0 & 0 \\ 2 y 0 \\ \ end {bmatrix} * \ begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \\ \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 0 y 0 \\ 2 y 2 \\ \ end {bmatrix} \]
Verla, el resultado no es el mismo.
Pero esto es generalmente el caso, hay un caso que puede ser intercambiado.
circunstancias especiales intercambiable (matriz de identidad)
Hay una matriz de matriz que llamamos (matriz de identidad), que se caracteriza por:
Matriz debe ser \ (n \ n \ veces) , denotado $ I \ espaciales o \ I_ espacio {n \ times n} $
矩阵对角线一定是1,其他部分一定是0
\ [\ mathop {\ begin {bmatrix} 1 y 0 \\ 0 & 1 \\ \ end {bmatrix}} \ limits_ {2 \ Tiempos 2} \ espacio \ espacio \ espacio \ espacio \ espacio \ espacio \ espacio \ espacio \ espacio \ espacio \ mathop {\ begin {bmatrix} 1 y 0 y 0 \\ 0 & 1 y 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \ end {bmatrix }} \ limits_ {3 \ tiempos 3} \ espacio \ espacio \ espacio \ espacio \ espacio \ espacio \ espacio \ espacio \ espacio \ espacio \ mathop {\ begin {bmatrix} 1 y 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 y 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 y 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \ end {bmatrix}} \ limits_ {4 \ times 4} \ espacio \ espacio \ espacio \ espacio \ espacio \ espacio \ espacio \ espacio \ espacio \ espacio \ mathop {\ begin {bmatrix} 1 & & & & & \\ & 1 & & & & & & \\ 1 & & & & & & \\ 1 & & & & \\ & & \ ddots & \\ & && & & 1 \\ \ end {bmatrix}} \ limits_ {n \ times n} \]
Y multiplicando la matriz, no importa cómo la matriz de conmutación, el resultado no va a cambiar.
código de MATLAB:
% Initialize random matrices A and B A = [1,2;4,5] B = [1,1;0,2] % Initialize a 2 by 2 identity matrix I = eye(2) % The above notation is the same as I = [1,0;0,1] % What happens when we multiply I*A ? IA = I*A % How about A*I ? AI = A*I % Compute A*B AB = A*B % Is it equal to B*A? BA = B*A % Note that IA = AI but AB != BAA = 1 2 4 5 B = 1 1 0 2 I = Diagonal Matrix 1 0 0 1 IA = 1 2 4 5 AI = 1 2 4 5 AB = 1 5 4 14 BA = 5 7 8 10
La matriz inversa (matriz inversa)
El concepto de reciprocidad muy familiarizados con ella. Y un número multiplicado por otro número 1 y así sucesivamente y creemos que es recíproco digital.
\ [3 \ veces (3 ^
{- 1}) = 1 \\ 5 \ veces (5 ^ {- 1}) = 1 \\ \] para la matriz, tenemos el mismo concepto. Ya que creemos que la misma matriz y un número real en la posición 1, que se expresa:
\ [A (A ^ {- 1}) = (A ^ {- 1}) A = I \]
que llamamos \ (A ^ {--1} \) es la matriz inversa.
\ [\ Mathop {\ begin { bmatrix} 3 y 4 \\ 2 y 16 \\ \ end {bmatrix}} \ limits_A \ mathop {\ begin {bmatrix} 0,4 y -0,1 \\ -0,05 y 0.075 \\ \ end {bmatrix}} \ limits_ {A ^ {- 1}} = \ mathop {\ begin {bmatrix} 1 y 0 \\ 0 & 1 \\ \ end {bmatrix}} \ limits_ {AA ^ {- 1}} = I_ {2 \ tiempos 2} \
] Algunos puntos a destacar:
- Hay una matriz inversa de la matriz debe ser cuadrada
- \ (\ Begin {bmatrix el} 0 & 0 & 0 \\ 0 \\ \ bmatrix {Fin} \) 0 matriz de este tipo es sin matriz inversa, ya que en cualquier caso no puede dejar que se convierta en una matriz unidad. No se puede tener la inversa aproximación matriz cuadrada a cero mirada.
- Sin matriz inversa que llamamos matriz singular o matriz singular
inversión de la matriz
Ahora tenemos una matriz:
\ [A = \ bmatrix el begin {} 1 y 2. 3 y 0 \\ \\ y 5. 9 y \ bmatrix End {} \..]
y su matriz inversa es:
\ [A ^ T = \ begin {bmatrix} 1 y 3 \\ 2 y 5 \\ 0 y 9 \\ \ end {bmatrix} \]
Esta operación se puede ver, cada vector fila del mismo valor en una columna de vector A, entonces la secuencia empalmados juntos.
\ (A \) Después de la transposición, \ (A \) y \ (A ^ T \) correspondiente relación entre cada elemento es
\ [A ^ T_ {ij} = A_ {ji} \]código de MATLAB
% Initialize matrix A A = [1,2,0;0,5,6;7,0,9] % Transpose A A_trans = A' % Take the inverse of A A_inv = inv(A) % What is A^(-1)*A? A_invA = inv(A)*AA = 1 2 0 0 5 6 7 0 9 A_trans = 1 0 7 2 5 0 0 6 9 A_inv = 0.348837 -0.139535 0.093023 0.325581 0.069767 -0.046512 -0.271318 0.108527 0.038760 A_invA = 1.00000 -0.00000 0.00000 0.00000 1.00000 -0.00000 -0.00000 0.00000 1.00000