Ejercicios y soluciones de teoría de la complejidad computacional

Ejercicios y soluciones de teoría de la complejidad computacional

Curso de Complejidad Computacional Este curso tiene un total de 48 horas y las ideas que contiene deben saborearse lentamente. Debo admitir que solo aprendí algunas cosas superficiales y no entendí muchas cosas. Las siguientes son las respuestas de la tarea que resolví: debe haber muchos errores y son solo como referencia.

Capítulo 1 Teoría de la Computación

Pregunta 1

Diseñe una máquina de Turing que calcule la multiplicación de dos números naturales.

respuesta:

Diseñar una máquina de Turing de tres bandas. La primera cinta es la cinta de entrada, la segunda cinta es la cinta de borrador y la tercera cinta se utiliza para guardar los resultados. Una máquina de Turing convierte operaciones de multiplicación de números naturales en operaciones de desplazamiento y operaciones de suma. Primero, copie el multiplicador a la segunda cinta, lea el bit alto del multiplicando, si el bit alto del multiplicando es 1, realice la operación de desplazamiento correspondiente en el multiplicando, de lo contrario, lea el bit alto del multiplicando La siguiente persona. Una vez completada la operación de cambio en la segunda cinta, se agrega al resultado guardado en la tercera cinta.

Pregunta 2

En la página 14, lo que se define como máquina de Turing $M$ resuelve un problema$F:\{0,1{\}}^{\ast }\to \{0,1{\}}^{\ast }$ . Demuestre que la mayoría de los problemas no son computables.

respuesta:

Mi respuesta es ridículamente incorrecta, así que no la escribiré.

Comentarios del asistente docente: Esta pregunta es para que usted demuestre que el número de problemas computables es contable (igual potencial con números naturales) y la suma de todos los problemas es incontable (igual potencial con números reales).

Pregunta 3

Diseñar una máquina que convierta el número unario $1^n$ convertido a número binario$└n┘$ Máquina de Turing. ¿Cuál es la función temporal de la máquina de Turing que diseñó? ¿Qué pasa con la conversión de números binarios a unarios?

respuesta:

• Convertir números unarios a números binarios:

  • Diseñar una máquina de Turing de dos bandas. Una de las cintas es la cinta de entrada y la otra se utiliza para guardar resultados y realizar borradores. Inicializado a 0 en la segunda banda. Escanea los números unarios ingresados ​​de izquierda a derecha. Si la entrada no se ha leído, la segunda cinta se escanea de izquierda a derecha. Si la posición señalada por el cabezal de lectura y escritura en la segunda cinta es 1, entonces establezca 0 y el cabezal de lectura y escritura se mueve un espacio hacia la derecha; si la posición señalada por el cabezal de lectura y escritura en la segunda cinta es 0 , luego establezca 1 y lea El cabezal de escritura se mueve hacia el extremo izquierdo.
  • La función de tiempo es $nlog\left(n\right)$ , donde,$n$ es la longitud de entrada.

• Convertir números binarios a unario:

  • Diseñar una máquina de Turing de tres bandas. Una de las cintas es la cinta de entrada, la segunda es para redactar y la tercera es para guardar los resultados. Escanea el número binario ingresado de izquierda a derecha. Registre la posición del cabezal de lectura/escritura de la cinta de entrada en la segunda cinta. Si la posición indicada por el cabezal de lectura y escritura de la cinta de entrada es 1, escriba un número correspondiente de unos en la tercera cinta de acuerdo con la posición del cabezal de lectura y escritura grabada en la segunda cinta.
  • La función del tiempo es $n2\_{\_}^n$ , donde,$n$ es la longitud de entrada.

Pregunta 7

Sea $T\left(n\right),t^{\prime }\left(n\right)$es construible en el tiempo. Demuestre que$T\left(n\right)+t^{\prime }\left(norte\right)$、$T\left(norte\right)\cdot T^{\prime }\left(norte\right)$、$T(n{)}^{t^{\prime }\left(n\right)}$son construibles en el tiempo. Se puede demostrar que$T\left(n\right)/T^{\prime }\left(n\right)$¿es el tiempo construible? $iniciarsesión¿Qué\; pasa\; con\; T\left(n\right)$ ?

respuesta:

• Porque $T\left(n\right)$ es construible en el tiempo, por lo tanto,$\exists M$ enCT ( n ) CT(n)Deténgase dentro de$los\; pasos\; CT$$($$n$$)\; .$Dado que$t^{\prime }\left(n\right)$es construible en el tiempo, por lo tanto,$\exists {METRO}^{\text{'}}$ en$CT{\_}^{\prime }\left(n\right)$pasos para detenerse.

• $O\left(T\right(norte)+t^{\prime }(n))=O\left(T\right(norte))|O(T^{\prime }(n))$, entonces,$METRO|{METRO}^{\prime }$在$TC\left(T\right(n)+t^{\prime }(n))$se detiene en un paso. Por lo tanto,$T\left(n\right)+t^{\prime }\left(n\right)$se puede construir el tiempo.

• Construir una máquina de Turing $T$ ,$T$ combinado con$M$ y${METRO}^{\prime }$ ,$Cada\; vez\; que\; M$ ejecuta un paso,${METRO}^{\prime }$ , cuando$M$ y${METRO}^{\prime }$ cuando ambos se detienen,$T$ apagado. $T$在$CT\left(norte\right)\cdot T^{\prime }\left(n\right)$pasos para detenerse. Por lo tanto,$T\left(norte\right)\cdot T^{\prime }\left(n\right)$se puede construir el tiempo.

• Construir una máquina de Turing $T$ , ejecuta M, M ′ M, M'secuencialmente$M,{METRO}^{\prime }$ , registra el número de pasos en ejecución$x,y$ . $Cada\; vez\; que\; T$ ejecuta un paso, generará$x$ funciones de transferencia, elija una función de$T$ ejecuta$Después\; de\; y$ pasos, regrese al nodo raíz hasta atravesar el árbol completo. $T$在$T(n{)}^{t^{\prime }\left(n\right)}$pasos para detenerse. Por lo tanto,$T(n{)}^{t^{\prime }\left(n\right)}$se puede construir el tiempo.

• 设$T\left(n\right)=norte,t^{\prime }\left(n\right)={norte}^2$ , $\frac{1}{n}$es\; construible\; independientemente\; del\; tiempo,\; y$ log(n)$es\; construible\; independientemente\; del\; tiempo.Por\; lo\; tanto,$ T(n)/T'(n)$Construible\; sin\; tiempo,$ \log T(n)$ Construible sin tiempo.

pregunta 8

Si en la demostración del Teorema 1.2, dejamos $|R{\_}_{}|=2\cdot 2^{i^2}$ . ¿En qué paso sale mal la prueba? ¡Al menos tendríamos una máquina de Turing universal mucho más eficiente!

respuesta:

Implica el intervalo $l_{},\cdots ,l_{},R_{},\cdots ,R_{}$Habrá un problema con el cálculo del número de ajustes.

Pregunta 10

Demuestre el Corolario 1.3.

respuesta:

Máquina de Turing MMLa longitud en$M$$La\; cadena\; de\; símbolos\; de\; m$ usa la máquina de Turing${METRO}^{\text{'}}$ está representado por un símbolo en . ${METRO}^{\prime }$ el tiempo de cálculo no excede$norte+2+\frac{}{metro}+\frac{}{metro}T\left(n\right)$ .

$La\; tasa\; de\; crecimiento\; de\; T\left(n\right)$ es estrictamente mayor que la función lineal,$norte+2+\frac{}{metro}+\frac{}{metro}T\left(n\right)<\frac{}{metro}T\left(n\right)$ .

Por lo tanto, para $\forall ϵ>0$ , existe una máquina de Turing${METRO}^{\prime }$，${METRO}^{\prime }$ puede estar en$ϵT\left(n\right)$ pasos para determinar$l$ .

Pregunta 11

利用分配律$X\wedge (y\vee z)=(x\wedge y)\vee (x\wedge z)$和$X\vee (y\wedge z)=(x\vee y)\wedge (x\vee z)$ , ¿es posible transformar la forma normal de conjunción (disyunción) en forma normal de disyunción (conjunción) en tiempo polinomial?

respuesta:

No, a menos que P=NP.

Tenga en cuenta que el problema DNF-SAT es P: sólo se requiere que una cláusula sea satisfactoria. Y si CNF puede transformarse en DNF en tiempo polinomial, entonces CNF-SAT también es P, una contradicción.

Comentarios del asistente docente: El resultado de esta pregunta no necesita basarse en el supuesto de que P no es igual a NP. Considere el 2CNF más simple, suponiendo que contenga n literales, si se expande mediante la ley de distribución, el DNF resultante tendrá $2^n$ términos, por lo que el proceso de conversión lleva un tiempo exponencial.

Pregunta 13

Explicación: La máquina de Turing "universal" no determinista definida en la página 35 es correcta si se ignora la no terminación.

respuesta:

La secuencia adivinada de instantáneas refleja ${norte}_{}$Una ruta de cálculo de los estados de terminación y aceptación de$($$x$$)\; puede\; simular\; el\; funcionamiento\; de\; la\; máquina\; de\; Turing\; de\; entrada.$

Pregunta 14

La proposición 1 está demostrada.

respuesta:

若$A{\le }_{}B{\le }_{}C$ , luego de$A$ a$B$ tiene un polinomio que calcula$m$ - Función computable$f\left(x\right)$ , de$B$ a$C$ tiene un polinomio que puede calcular$m$ - la función computable$g\left(x\right)$ . De$A$ a$C$ tiene un polinomio que puede calcular$m$ - Función computable$g\left(f\right(x))$ ,因此,$A{\le }_{}C.$ _

若$A{\le }_{}B{\le }_{}C$ ,则$A\in {PAG}^B$ ,$B\in {PAG}^{C.}$ _ 显然，$A\in {PAG}^C$ ,因此，$A{\le }_{}C$

Pregunta 15

pruebaEXPEXP ${Exp}^{Exp}=2$ -$experiencia$ .

respuesta:

任$l\in {Exp}^{EXP}$ ,$L$ de la máquina de Turing$E$ se determina en tiempo exponencial,$E$ usará un EXP \mathbf{EXP}al calcularOracle OOen$EXP$$O.$ Para longitud$n$ entrada, llamada a Oracle$Cuando\; O$ , la longitud de entrada correspondiente es$2^{\frac{}{2}}$. En este punto, se puede determinar que $2$ -$El\; problema\; con\; EXP$ . Por lo tanto,${Exp}^{Exp}=2$ -$experiencia$ .

Opinión del profesor asistente: Es necesario demostrar otra dirección $2-Exp\in EXP{\_}^{EXP}$ . Supongamos$METRO\in 2-EXP$ , necesitamos construir$m\text{'}\in EXP{\_}^{EXP}$ para emular$M$。${METRO}^{\text{'}}$ entrará$Llene\; el\; final\; de\; x$ con múltiples bits redundantes para obtener$y$ , luego usa el nuevo$y$ para invocar Oracle$A$，$A\left(y\right)$ para simular$M\left(x\right)$ se ejecuta y genera el resultado correspondiente (tenga en cuenta la entrada$y$ es exponencialmente largo y el tiempo de ejecución es doble exponencial, por lo que pertenece a$clase\; EXP$ ).

Pregunta 16

Resolver2 $2\text{sábado}\in P.$ _

respuesta:

Supuesto 2 - $N$ variables, luego construya un gráfico dirigido que contenga$2N$ nodos. Cada nodo representa una variable o la negación de una variable (es decir, representa un literal). Para cada cláusula$a\vee b$ , agrega 2 aristas dirigidas en el camino ($\neg a$ ,$b$ ) y ($\neg b$ ,$a$ ). Luego encuentre los componentes fuertemente conectados de este gráfico dirigido y trate cada componente fuertemente conectado como un punto (punto de contracción), de modo que el nuevo gráfico dirigido sea acíclico (un gráfico dirigido acíclico también se llama DAG). Si un componente fuertemente conexo contiene la misma variable y su negación, el problema original es insatisfactorio. De lo contrario, podemos construir una solución, realizar una clasificación topológica en este DAG y realizar las siguientes operaciones en el orden inverso al orden de clasificación topológica de los nodos: encontrar el primer nodo sin marcar en este orden, marcar este nodo como verdadero y combinar los Nodos con nodos contradictorios (un nodo contiene$a$ , otro nodo contiene$\neg a$ , se dice que son contradictorios), y la bandera ancestral es falsa, hasta que todos los nodos tengan banderas, finaliza. Estas etiquetas también corresponden a los valores de las variables.

El algoritmo puede encontrar un conjunto de soluciones factibles de 2-SAT o juzgar que no hay solución.

La complejidad del algoritmo: encontrar componentes fuertemente conectados, ordenar topológicamente y recorrer gráficos son todos O ( $m$ ), donde$m$ es el número de lados.

Por lo tanto, $2\text{sábado}\in PAG$

Pregunta 17

Escriba un programa de espacio logarítmico que resuelva el problema MULP \texttt{MULP} definido en (1.16.1)$\text{MULP}$ .

respuesta:

c=0;
while(b>0){
    
    
	c=c*2;
	if(b%2){
    
    
		c=c+a;
	}
	b=b/2;
}

Pregunta 18

Demuestre el teorema 1.13.

respuesta:

${METRO}^{\prime }$ se puede obtener de$METRO=(Q,c,\delta )$ se construye. Una idea simple es:${METRO}^{\prime }=(Q^{\prime },C^{\prime },d^{\prime })$debe incluir $\Gamma$y\; el\; conjunto\; cartesiano$ \Gamma ^{m}$;En\; otras\; palabras,\; una\; longitud$ mdeSe pueden utilizar$las\; cadenas\; de\; símbolos\; en$ \Gamma ^{*}$La\; cadena\; de\; símbolos\; en$ se puede representar mediante un símbolo en\Gamma '$Un\; símbolo\; en\; .Sea$ m=1/\epsilon$,Entonces$ M'$Se\; puede$ juzgar en el espacio de juicio en el espacio\epsilon S(n)+1$Determine$ L$ en el espacio.

Pregunta 21

Explique el φ x \varphi_x construido en la demostración del Teorema 1.17${Fi}_{}$es computable en espacio logarítmico.

respuesta:

Para generar ${Fi}_{}$, sólo recuerda qué φ i \varphi_i se está generando${Fi}_{}$. Entonces solo es necesario mantener una longitud que sea $contadorlogS(|x|)$ .$\_$

Pregunta 23

pruebaPSPACEPSPACE ${ESPACIO}^{ESPACIO}=ESPACIO$。

respuesta:

任$l\in {ESPACIO}^{ESPACIO}$ ,$L$ por la máquina de Turing$M$ se determina en el espacio polinomial,$M$ utilizará un PSPACE \mathbf{PSPACE}en el cálculoOracle OOen$PSPACE$$O.$ A lo largo de la ejecución, solo se sigue utilizando el espacio polinomial. Por lo tanto,${ESPACIO}^{ESPACIO}=ESPACIO$。

Comentarios de TA: Gracias a PSPACE PSPACELa máquina de Turing de$PSP$$A$$CE$$El\; índice\; de\; Oracle\; de\; PSPACE$ es múltiple, por lo que es necesario señalar la propiedad clave de que el espacio se puede reutilizar.

Capítulo 2 Incomprensibilidad

Pregunta 1

Prueba: supongamos que $notario\; público\ne P$ , no existe un algoritmo de tiempo polinómico que preserve la satisfacibilidad para convertir la forma normal conjuntiva en forma normal disyuntiva.

respuesta:

Supongamos que existe un algoritmo de tiempo polinómico que preserva la satisfacibilidad para convertir la forma normal conjuntiva en forma normal disyuntiva. Tenga en cuenta que el problema DNF-SAT es $P$ , y el problema CNF-SAT es$NP$ 's. Debido a que existe un algoritmo de tiempo polinomial que mantiene la satisfacibilidad para convertir el paradigma de conjunción en un paradigma de disyunción, Karp puede reducir el problema CNF-SAT al problema DNF-SAT, entonces el problema CNF-SAT también es P \mathbf{P$P$ 's. Porque$notario\; público\ne P$ , contradictorio. Por lo tanto, no existe ningún algoritmo de tiempo polinomial que preserve la satisfacibilidad para convertir la forma normal conjuntiva en forma normal disyuntiva.

Pregunta 2

Prueba: Si $un,B\in NP$，则$A\cup B,A\cap B,unb\in NP$ .

respuesta:

$un,B\in NP$，即
$$X_{}\in un,\exists {tu}_{}\in {\left\{0,1\right\}}^{{pag}_{}(|x_{}|)}.{METRO}_{}(x_{},{tu}_{})=1$$

$$X_{}\in B,\exists {tu}_{}\in {\left\{0,1\right\}}^{{pag}_{}(|x_{}|)}.{METRO}_{}(x_{},{tu}_{})=1$$
ejemplo:
$$X\in A\cup B,\exists tu\in {\left\{0,1\right\}}^{pag(|x|)}.M(x,tú)=1$$
donde,$p$ es${pag}_{},{pag}_{}$compuesto. $M$ es${METRO}_{}$y ${METRO}_{}$Compuesto, si ${METRO}_{}$y ${METRO}_{}$Hay una salida 1 en , entonces $M$ salidas 1. $p$ es un polinomio,$M$ es una máquina de Turing de tiempo polinomial. Por lo tanto,$A\cup B\in NP$ .

可以得到:
$$X\in A\cap B,\exists tu\in {\left\{0,1\right\}}^{pag(|x|)}.M(x,tú)=1$$
donde,$p$ es${pag}_{},{pag}_{}$compuesto. $M$ es${METRO}_{}$y ${METRO}_{}$Compuesto, si ${METRO}_{}$y ${METRO}_{}$Ambos generan 1, luego $M$ salidas 1. $p$ es un polinomio,$M$ es una máquina de Turing de tiempo polinomial. Por lo tanto,$A\cap B\in NP$ .

可以得到:
$$X\in AB,\exists tu\in {\left\{0,1\right\}}^{pag(|x|)}.M(x,tú)=1$$
donde,$p$ es${pag}_{},{pag}_{}$compuesto. $M$ es${METRO}_{}$y ${METRO}_{}$Compuesto, si ${METRO}_{}$y ${METRO}_{}$Ambos generan 1, luego $M$ salidas 1. $p$ es un polinomio,$M$ es una máquina de Turing de tiempo polinomial. Por lo tanto,$unb\in NP$ .

La opinión dada por el profesor asistente: M es la ambigüedad compuesta de M_1 y M_2, y la máquina de Turing M que juzga el segundo caso (A \ cap B) y el tercer caso (AB, que indica operación de concatenación) es obviamente diferente.

Pregunta 3

设$A\in NPC$和$B\in P.\_$ _ Prueba: Si$A\cap B=\varnothing$，则$A\cup B\in PNJ$ .

respuesta:

$A\in NPC$ , por lo tanto,$\forall L\_\in NP,l{\le }_{}A$ , y$A\in NP$。若$A\cap B=\varnothing$ , obviamente,$A{\le }_{}A\cup B$ , y$A\cup B\in NP$ .

$\forall L\_\in NP,l{\le }_{}A\cup B,A\cup B\in NP$ . Por lo tanto,$A\cup B\in PNJ$ .

La opinión del profesor asistente: en su prueba, debe indicar la función de reducción de A a AUB y explicar su exactitud.

Cambio: para $Para\; juzgar\; el\; problema\; A$ , ingrese$x$ , puedes llamar a BBprimeroLa máquina de Turing correspondiente a$B$$En\; B$ , significa$X\notin A$ , salida 0; si está en$En\; B$ , llame directamente$A\cup$La máquina de Turing correspondiente a$B.$Este proceso de reducción es tiempo polinómico, por lo que$A{\le }_{}A\cup B.$ _

Pregunta 4

Prueba: $\text{SE SENTÓ}{\le }_{}\text{IP}$ .

respuesta:

$\text{El}$ problema de IP es un problema de programación entera,$unax\ge segundo$ _ Entre ellos,$A$ es$metro\times$matriz entera de$n$$b$ esmmvector entero$m-$$x$ es$n-$ vector dimensional de números enteros.

Podemos realizar un escaneo del CNF y configurar la matriz $A.$ mm$m$ es el número de cláusulas del CNF,$n$ es el número de literales diferentes en CNF. $Los\; elementos\; en\; A$ son 0 o 1,$Los\; elementos\; en\; b$ son todos 1. Así, el$\text{El problema SAT}$ se transforma en un problema de programación entera 0,1. La función de reducción de tiempo polinomial se utiliza en el proceso de reducción, por lo tanto,$\text{SE SENTÓ}{\le }_{}\text{IP}$ .

Opinión del asistente docente: Es necesario explicar cómo se implementa el estatuto, es decir, cuáles son las restricciones en el problema de programación entera correspondiente, y explicar con más detalle la exactitud del estatuto.

Pregunta 7

Dejar $\text{TMEXP}$ es el lenguaje$\{⟨una,x,1^{norte}⟩|{METRO}_{}\left(x\right)\text{en}{2}^{}\text{Salida}1\}$${}^{dentro\; de\; n}$ pasos . Demuestre que$\text{TMEXP}$ es$EXP$ - Exacto. ¿Es este método general de construcción de problemas completos de clases de complejidad temporal aplicable a clases de complejidad espacial como$¿\; ESPACIO$ ?

respuesta:

任$l\in EXP$ puede generarse mediante una máquina de Turing de tiempo exponencialM \mathbb{M}Cálculo$M$$M$ en$2^{|x{|}^{}}$Deténgase dentro del paso${}^{{}^{c\; .}}$Fácil deLLÁngulo$de\; línea⟨$$⟨└M┘,x,1^{|x{|}^c}⟩\in \text{TMEXP}$ . El tiempo de reducción es polinómico. Obviamente,$\text{TMEXP}\in EXP$ . Por lo tanto,$\text{TMEXP}$ es$EXP$ - Exacto.

¿Es este enfoque general para construir problemas completos de clases de complejidad temporal aplicable a clases de complejidad espacial?

Comentarios de TA: Una construcción similar funciona para la complejidad del espacio. Lo único que hay que tener en cuenta es que ${METRO}_{}\left(x\right)$ La operación en un espacio que no exceda un cierto tamaño S puede tener bucles sin detenerse. En este momento, necesitamos introducir un contador sobre la longitud del polinomio S para limitar el tiempo de ejecución de la máquina de Turing simulada a no más que un paso exponencial (si excede, significa que debe haber un ciclo).

Pregunta 9

Señale el error en la siguiente "prueba": Suponiendo $notario\; público=P$ , entonces${notario\; público}^{oh}={PAG}^O$ a cualquier oráculo$O$ fue establecido. Según el teorema 2.6, existe un oráculo$B$ tal que${notario\; público}^B\ne {PAG}^{B.\_}$ _ contradicción. Por lo tanto$notario\; público\ne P.$ _

respuesta:

$notario\; público=La\; prueba\; de\; P$ no es relativizable. $notario\; público=P$ no se puede deducir a${notario\; público}^{oh}={PAG}^{O.}$ _

Pregunta 13

Descripción: $S_i^{}=S_{yo+1}^{}$IP predeterminada $S_i^{}=PH$ .

Descripción:
$${\sum }_i^{}={\sum }_{yo+1}^{}=n{p}^{{\sum }_i^{}}=n{p}^{{\sum }_{yo+1}^{}}={\sum }_{yo+2}^{}={\sum }_{yo+3}^{}\cdots ={\sum }_{yo+norte}^{}=PH$$

Pregunta 14

Definir un oráculo $A$，使得${PH}^A={PAG}^{}$Se establece${}^{A.}$

respuesta:

$A$ para$PH$，${PH}^{PH\_}={PAG}^{PH\_}$

Pregunta 16

Descripción: $un,B\in S_i^{}$，必有$A\cup B,A\cap B\in S_i^{}$。

respuesta:

Supongamos que $un,$Las máquinas de Turing correspondientes a$B$${METRO}_{},{METRO}_{}$。

Para el problema $A\cup B$ , sólo${METRO}_{},{METRO}_{}$Cada ejecución una vez, si ${METRO}_{},{METRO}_{}$Si uno de ellos genera 1, entonces juzgue $A\cup$La máquina de Turing de$B\; produce\; 1.$

Para el problema $A\cap B$ , sólo${METRO}_{},{METRO}_{}$Cada ejecución una vez, si ${METRO}_{},{METRO}_{}$Ambos generan 1, luego juzgan $A\cap$La máquina de Turing de$B\; produce\; 1.$

因此，若$un,B\in S_i^{}$，必有$A\cup B,A\cap B\in S_i^{}$。

Capítulo 3 Complejidad del circuito

Pregunta 1

Una variable de entrada es $X_{},\dots ,X_{}$El programa booleano de no transición (programa de línea recta) es una secuencia de instrucciones en las que el iiDirectiva$del\; artículo\; i$$y_{}=z_{}\wedge z_i^{}$，或为$y_{}=z_{}\vee z_i^{}$. Este $z_{}$suma $z_i^{}$O es la variable de entrada, o es la inversa de la variable de entrada, o satisface $j<$Un subíndiceyj y_j$de\; i$$y_{}$. El valor de la variable calculada por la última instrucción del programa es la salida del programa. Prueba: si una función booleana puede estar compuesta por $Calculada\; por\; un\; circuito\; con\; puertas\; S$ , la función se puede calcular incluyendoSSCálculo de programas no ramificados para$instrucciones\; S.$

respuesta:

Un circuito es un gráfico acíclico dirigido, todas las puertas se pueden atravesar mediante el método de recorrido en profundidad primero y se puede calcular el valor de salida de la puerta visitada.

Es necesario utilizar una longitud de $El\; contador\; de\; registro\left(n\right)$ recuerda la posición de la puerta visitada actualmente.

El número de puertas atravesadas es $S$ , por lo tanto, la función puede estar compuesta porSSCálculo de programas no ramificados para$instrucciones\; S.$

Pregunta 2

Por inducción del número de variables de entrada de una función booleana, se demuestra que una función booleana puede calcularse mediante un circuito monótono sólo si la función booleana es monótona.

respuesta:

Supongamos que hay una variable de entrada $X_{},\dots ,X_{}$La función booleana monótona $F.$ _

cuando $norte=1$ , después de la verificación, es obvio que la función booleana se puede calcular mediante un circuito monótono.

Supongamos que cuando $norte=k$ , la función booleana se puede calcular mediante un circuito monótono.

cuando $norte=k+1$ °,$f(x_{},\cdots ,X_{},X_{}+1)=f(x_{},\cdots ,X_{},0)\vee (x_{k+}\wedge f(x_{},\cdots ,X_{},1))$ . 注意，$f(x_{},\cdots ,X_{},0)$ y$f(x_{},\cdots ,X_{},1)$ se puede calcular mediante un circuito monótono. En este punto, solo es necesario agregar una puerta AND y una puerta OR,$f(x_{},\cdots ,X_{},X_{}+1)$ se puede calcular mediante un circuito monótono. Por lo tanto, las funciones booleanas monótonas se pueden calcular mediante un circuito monótono.

Si una función booleana puede calcularse mediante un circuito monótono, es decir, no hay una puerta NOT en el circuito, obviamente, la función es una función monótona.

Por lo tanto, una función booleana puede calcularse mediante un circuito monótono sólo si la función booleana es monótona.

Pregunta 3

Prueba: Si $notario\; público\subseteq {PAG}_{/}$, $notario\; público=P.$ _

respuesta:

si $notario\; público\subseteq {PAG}_{/}$，则$\forall L\_\in NP$ ,$L$ es decidible mediante una máquina de Turing de tiempo polinomial con tipo de propuesta logarítmica. Es decir, la estructura computacional que se muestra en la Figura 1.5 en las notas de la clase se puede generar a partir de la sugerencia del tamaño de un logaritmo. Debido a que el consejo es de tamaño logarítmico y la fórmula booleana es la misma en la estructura de cálculo generada, es posible generar la estructura de cálculo en tiempo polinómico y luego completar el cálculo en tiempo polinómico. Por lo tanto,$l\in P$，即$notario\; público\subseteq pag$ _

Obviamente, $PAG\subseteq notario\; público$

Por lo tanto, si $notario\; público\subseteq {PAG}_{/}$, $notario\; público=P.$ _

Pregunta 4

Explique que la operación de resta binaria está en ${CAROLINA\; DEL\; NORTE}^1$ pulg.

respuesta:

La resta binaria paralela se puede producir simplemente modificando la suma binaria paralela.

假设$a_{}{a}_{norte-}\cdots a_{}{a}_{}$与$b_{}{b}_{norte-}\cdots b_{}{b}_{}$Para números binarios, use $X_{}$Indica el iiPréstamo generado por$resta\; de\; i\; bits.$Defina
$${gramo}_{}=a_{}\wedge b_{},\text{pedir prestado un poco}$$

$${gramo}_{}=a_{}\wedge b_{},\text{pedir prestado un poco}$$

Usando el prealgoritmo paralelo, es posible en $2log\left(n\right)$ pasos para calcular$X_{},X_{},\cdots ,X_{norte-}$disculpe.

Finalmente, el resultado de la resta binaria se calcula en paralelo mediante pasos constantes.

Por lo tanto, la operación de resta binaria en ${CAROLINA\; DEL\; NORTE}^1$ pulg.

Pregunta 5

Demuestre que ${CAROLINA\; DEL\; NORTE}^1$ °PSPACE \mathbf{PSPACE}Una subclase estricta de$PSPACE\; .$

respuesta:

Un circuito es un ciclo acíclico dirigido, que puede utilizar la profundidad primero para atravesar todas las puertas y calcular el valor de salida de las puertas visitadas. Es necesario utilizar una longitud de $El\; contador\; log\left(n\right)recuerda$ la posición de la puerta visitada actualmente$.$Por lo tanto,${CAROLINA\; DEL\; NORTE}^1\subseteq l$

Según el teorema del pedigrí espacial, si la función espacial $f,g$ es construible en el espacio, y$f\left(n\right)=o\left(gramo\right(norte)\; )$ . Relación de inclusión$ESPACIO\left(f\right(n))\subseteq SPACE\left(g\right(n)\; )$ es estricto.

Por lo tanto, $l\subseteq PSPACE$ es estricto.

Obviamente, ${CAROLINA\; DEL\; NORTE}^1$ °PSPACE \mathbf{PSPACE}Una subclase estricta de$PSPACE\; .$

Pregunta 6

Prueba: ${CAROLINA\; DEL\; NORTE}^i={CAROLINA\; DEL\; NORTE}^{i+1}$，刪${CAROLINA\; DEL\; NORTE}^i=Carolina\; del\; Norte$ .

respuesta:

Podemos usar ${CAROLINA\; DEL\; NORTE}^i$和${CAROLINA\; DEL\; NORTE}^{El\; circuito\; correspondiente\; a\; 1}$ se combina para obtener${CAROLINA\; DEL\; NORTE}^{}$El circuito correspondiente a${}^i$${}^{+}$${}^1$
$${CAROLINA\; DEL\; NORTE}^{yo+1}={{CAROLINA\; DEL\; NORTE}^1}^{{CAROLINA\; DEL\; NORTE}^i}$$
若${CAROLINA\; DEL\; NORTE}^i={CAROLINA\; DEL\; NORTE}^{i+1}$
$${CAROLINA\; DEL\; NORTE}^{yo+1}={{CAROLINA\; DEL\; NORTE}^1}^{{CAROLINA\; DEL\; NORTE}^i}={{CAROLINA\; DEL\; NORTE}^1}^{{CAROLINA\; DEL\; NORTE}^{yo+1}}={CAROLINA\; DEL\; NORTE}^{yo+2}={CAROLINA\; DEL\; NORTE}^{i+N}$$
因此，若${CAROLINA\; DEL\; NORTE}^i={CAROLINA\; DEL\; NORTE}^{i+1}$，刪${CAROLINA\; DEL\; NORTE}^i=Carolina\; del\; Norte$ .

Pregunta 7

Prueba: Si $NC$ tiene un problema completo, entonces${CAROLINA\; DEL\; NORTE}^1\subseteq {CAROLINA\; DEL\; NORTE}^2\subseteq \dots \subseteq {CAROLINA\; DEL\; NORTE}^i\subseteq \dots$ colapsó.

respuesta:

si $NC$ tiene un completo problema$L$，则$l\in {CAROLINA\; DEL\; NORTE}^{yo}$ ,$i\in norte$ .

${CAROLINA\; DEL\; NORTE}^{}$Todos los problemas en${}^i$${}^{+}$${}^1$$L$，因此，${CAROLINA\; DEL\; NORTE}^i={CAROLINA\; DEL\; NORTE}^{yo+1}$。

Según la conclusión de la pregunta 6, ${CAROLINA\; DEL\; NORTE}^i=Carolina\; del\; Norte$ .

si $NC$ tiene un problema completo, entonces${CAROLINA\; DEL\; NORTE}^1\subseteq {CAROLINA\; DEL\; NORTE}^2\subseteq \dots \subseteq {CAROLINA\; DEL\; NORTE}^i\subseteq \dots$ colapsó.

pregunta 8

Si hay un polinomio $p\left(n\right)$ , para cualquier$n$ , existe una desigualdad$|L\_\cap \{0,1{\}}^{norte}|\le p\left(n\right)$ , llamado$L$ es escaso. Demuestre que todo lenguaje disperso está en${PAG}_{/}$adentro.

respuesta:

$l\in {PAG}_{/}$, cuando y sólo cuando $L$ es decidible mediante una máquina de Turing de tiempo polinómico con tipo de propuesta polinomial.

$L$ es escaso, obviamente,$L$ solo contiene entradas múltiples polinómicas de longitud arbitraria. Utilice una tabla de búsqueda que contenga todas las entradas aceptables. El tamaño de esta tabla de búsqueda es polinómico, como se sugiere. Para cada entrada$x$ , puedes consultar$Si\; x$ está en la tabla de búsqueda, si es así, genera 1; de lo contrario, genera 0. $L$ es decidible mediante una máquina de Turing de tiempo polinomial de este tipo de propuesta polinomial. Por lo tanto, todo lenguaje disperso está en${PAG}_{/}$adentro.

Pregunta 9

Demuestre que ${CAROLINA\; DEL\; NORTE}^0$ está estrictamente contenido en${C.A.}^0$ pulg.

respuesta:

Un fan-in es $La\; puerta\; AND\; de\; k$ se puede realizar mediante un circuito que consta de una puerta AND con un ventilador de entrada de 2, cuya altura es$log\left(k\right)$ _$\_$$\_$Valor,${CAROLINA\; DEL\; NORTE}^0\subseteq {C.A.}^0\subseteq {CAROLINA\; DEL\; NORTE}^1$

Para altura constante $La\; familia\; de\; circuitos\; NC$ , obviamente, no puede determinar$|x|$ es un caso polinómico y la familia de circuitos en $\mathbf{AC}^0 $ puede determinar este tipo de problema.

Por lo tanto, ${CAROLINA\; DEL\; NORTE}^0$ está estrictamente contenido en${C.A.}^0$ pulg.