Dado el modelo $\lambda = \izquierda ( \pi ,A,B \derecha )$ , $O = \izquierda \{o_{1},o_{2} ,...,o_{T} \derecha \}$ calcular la probabilidad de ocurrencia con la secuencia de observación $P(O |\lambda)$

1. Solución violenta

$\lambda = \izquierda ( \pi ,A,B \derecha )$ Requiere la probabilidad de ocurrencia de la secuencia de observación bajo el modelo dado $O = \izquierda \{o_{1},o_{2} ,...,o_{T} \derecha \}$ , y el estado de observación es generado por el estado oculto. Por lo tanto, si podemos enumerar todas las secuencias de estado ocultas y luego combinar la probabilidad de estado de observación generada (B), podemos obtener la probabilidad de ocurrencia de la secuencia de observación:

$P\izquierda ( O|\lambda \right )=\sum_{I}^{}P\left ( O,I|\lambda \right )$

$P\izquierda (O,I|\lambda\derecha)=P\izquierda (I|\lambda\derecha)P\izquierda (O|I,\lambda\derecha)$

El estado actual solo está relacionado con el estado anterior.

$P\izquierda (I|\lambda \derecha)$ : Bajo un modelo dado, la probabilidad de una secuencia de estados ocultos puede obtenerse del estado inicial (π) y la probabilidad de transición de estados ocultos (A):

$I=\izquierda \{ i_{1}, i_{2},..., i_{T} \derecha \}$

$P\izquierda (I|\lambda \derecha)=\pi _{i_{1}}a _{i_{1}i_{2}}a _{i_{2}i_{3}}...a _ {i_{T-1}i_{T}}$

Una observación solo es relevante para el estado que la generó.

$P\izquierda (O|I,\lambda\derecha)$ : Para una secuencia oculta fija y un modelo, combinado con la probabilidad de estado de observación generada (B), se puede obtener:

$P\izquierda (O|I,\lambda \derecha)=b_{i_{1}}\izquierda (o_{i_{1}} \derecha)b_{i_{2}}\izquierda (o_{i_{2} } \derecha)...b_{i_{T}}\izquierda (o_{i_{T}} \derecha)$

Para resumir :

$P\izquierda ( O,I|\lambda \right )=P\left ( I|\lambda \right )P\left ( O|I,\lambda \right )=\sum_{i_{1},i_{2 },...,i_{T}}^{}\pi _{i_{1}}b_{i_{1}}\left ( o_{i_{1}} \right )a _{i_{1} i_{2}}b_{i_{2}}\izquierda (o_{i_{2}} \derecha)a _{i_{2}i_{3}}...a _{i_{T-1}i_ {T}}b_{i_{T}}\izquierda (o_{i_{T}} \derecha)$

Análisis de complejidad : suponiendo que el número de estados es N y la longitud de la secuencia de estados observada es T, hay un total de $N^{T}$ secuencias de estados ocultos y es necesario calcular la probabilidad correspondiente para cada secuencia $O\izquierda (TN^{T} \derecha)$ .

2. Algoritmo de reenvío

Dado el estado oculto i en el tiempo t, $Y=\izquierda \{y_{1},y_{2} ,...,y_{t} \derecha \}$ la probabilidad de que la secuencia de observación se llame probabilidad directa

$\alpha _{i}\left ( t \right )=p\left ( y_{1},y_{2},...,y_{t},q_{t}=i|\lambda \right )$

En ese momento $t = T$ , $\alpha _{i}\left ( T \right )=p\left ( y_{1},y_{2},...,y_{T},q_{T}=i|\lambda \right )$ , esta fórmula representa la probabilidad de que en el último momento, la secuencia de observación esté $\izquierda (y_{1},y_{2},...,y_{T} \derecha )$ y el último estado oculto esté en el número i.

Suponiendo que el número de estados es N, entonces:

$P\izquierda (Y|\lambda \right)=\sum_{i}^{N} \alpha _{i}\left (T \right)$

El estado actual solo está relacionado con el estado anterior, por lo que $\alpha _{i}\izquierda ( T \derecha )$ se puede obtener de forma recursiva a partir de la probabilidad directa del momento anterior.Esto $\alpha _{1-N}\izquierda ( T-1 \derecha )$ parece ser un problema de programación dinámica.

En el primer momento:

$\alpha _{i}\left ( 1 \right )=P\left ( y_{1},q_{1}=i|\lambda \right )=\pi _{i}b_{iy_{1}}$

Indica la probabilidad directa de que la secuencia de observación sea $y_{1}$ y en el primer momento . $q_{1}=yo$

Ahora se sabe que en el momento t, la probabilidad directa del estado j es $\alpha _{j}\izquierda ( t \derecha )$ , luego en el momento t+1, la probabilidad directa del estado i es:

$\alpha _{i}\left ( t+1 \right )=\left ( \sum_{j}^{N}\alpha _{j}\left ( t \right )a_{ji} \right )b_{ iy_{t+1}}$

Con la probabilidad directa del primer momento, se puede obtener según la fórmula recursiva desde el tiempo t hasta el tiempo t+1 $\alpha _{i}\izquierda ( T \derecha )$ , así:

$P\izquierda (Y|\lambda \right)=\sum_{i}^{N} \alpha _{i}\left (T \right)$

Análisis de complejidad computacional: Hay N estados en cada momento, cada estado se puede obtener de los N estados en el momento anterior, y hay T momentos en total, por lo que $O\izquierda (TN^{2} \derecha)$ .

HMM: encuentre la probabilidad de la secuencia de observación

1. Solución violenta

2. Algoritmo de reenvío

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