【Ecuación matemática】Problema de solución definida

Ecuación matemática

Las ecuaciones físicas matemáticas son algunas ecuaciones diferenciales parciales obtenidas por algunas simplificaciones al estudiar física, mecánica, tecnología de la ingeniería y otras ciencias naturales, que reflejan la relación entre las cantidades físicas en el mundo objetivo. Estas ecuaciones diferenciales parciales estudian la ley de distribución de cantidades físicas en el espacio y la ley de cambio en el tiempo .

Contenido del curso: 3 ecuaciones (ecuación de onda, ecuación de conducción de calor, ecuación de Laplace), 4 métodos (método de variables separadas, método de onda viajera, método de transformación integral, método de función de Green), 2 funciones especiales (función de Bessel, polinomio alemán Legend)

1 Ecuaciones típicas y derivación de condiciones de solución definidas

1.1 Establecimiento de ecuaciones básicas

• Ecuación diferencial ordinaria: la función desconocida tiene solo 1 variable independiente, y la función unaria constituye $y^{\prime }\left(x\right)=X$
• Ecuación diferencial parcial: la función desconocida tiene > 2 variables independientes, compuesta de funciones multivariadas
  • Ecuación de onda unidimensional
    $$\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}=a^2\frac{{\partial }^{}}{\partial x^2}$$
  • Ecuación de calor unidimensional
    $$\frac{\partial }{\partial t}=a^2\frac{{\partial }^{}}{\partial x^2}$$
  • Laplace方程
    $$\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial {año}^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z{\_}^2}=0\to tu\_=0$$

1.1.1 La ecuación de onda

• 波动方程：$\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}=a^2(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial {año}^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z{\_}^2})$ vibración de cuerda; vibración de varilla, membrana, líquido, gas; vibración de campo electromagnético

vibración de cuerda

condición

• Las cuerdas uniformemente suaves y delgadas hacen pequeños movimientos laterales.
• $\rho$ : La densidad de la cuerda solo se ve afectada por la gravedad G y la tensión T
• $tu(x,t)$ : x desplazamiento en el tiempo t

Sin análisis de fuerza externa

1. dirección x: $T\mathrm{porque}a-T^{\text{'}}\mathrm{porque}{a}^{\text{'}}=0\rightarrowtail Taproximada\approx T^{\text{'}}$
2. Dirección de desplazamiento: $-T\mathrm{pecado}a+T^{\text{'}}\mathrm{pecado}{a}^{\text{'}}-GRAMO=y,GRAMO=\rho gramores$
3. $\mathrm{pecado}a\approx \mathrm{broncearse}a=\frac{\partial tu(x,t}{\partial x},\mathrm{pecado}{a}^{\text{'}}\approx \frac{\partial tu(x+rex,t}{\partial x}$
4. Ejemplo: $ds\_=\sqrt{1+(\frac{\partial tu(x,t}{\partial x}{)}^2}dx\approx dx$
5. Teorema del valor medio diferencial: $f\left(un\right)-f\left(segundo\right)=F^{\prime }\left(\xi \right)(segundo-un)$
6. Sustituye 2. , quita g, $\sqrt{\frac{}{r}}=una$ ecuación de onda estándar unidimensional$\frac{{\partial }^{2}u(x,t}{\partial t^2}=a^2\frac{{\partial }^{2}u(x,t}{\partial x^2}$Ecuación homogénea
7. Con fuerza externa, más f(x,t) términos libres $\frac{{\partial }^{2}u(x,t}{\partial t^2}=a^2\frac{{\partial }^{2}u(x,t}{\partial x^2}+f(x,t)$ ecuación no homogénea

vibración de membrana

• Película uniforme con límite fijo, pequeña vibración transversal cerca de la posición de equilibrio, sin fuerza de gravedad externa, tensión constante en cada punto de la película
• $tu(x,y,t)$ :t时刻$M(X,y)$ desplazamiento
  

1. xxiang张力对膜电影力$(T\frac{\partial }{\partial x}{|}_{x+\Delta }-T\frac{\partial }{\partial x}{|}_{})\Delta y$ , y轴$(T\frac{\partial }{\partial año}{|}_{y+\Delta }-T\frac{\partial }{\partial año}{|}_y)\Delta x$ suma$=y$
2. 微分中值定理
   $T{\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}}_{x=x+\theta \Delta }DxDy+T{\frac{{\partial }^2}{\partial {año}^2}}_{y=y+\theta \Delta }DyDx=DxDyp\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}$
3. $x\_\_\to 0,y\_\_\to 0$ toma el límite,$a=\sqrt{\frac{}{r}}$得
   $\frac{{\partial }^{2}u(x,y,t}{\partial t^2}=a^2(\frac{{\partial }^{2}u(x,y,t}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u(x,y,t}{\partial {año}^2})$

1.1.2 Ecuación del calor

• 热传导方程：$\frac{\partial }{\partial t}=a^2(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial {año}^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z{\_}^2})$ distribución de temperatura en conducción de calor, difusión de fluidos, flujo de líquido viscoso
• Conductor de calor: calor específico $C$ , conductividad térmica$k$ , densidad$\rho$ es una constante
• 
• $tu(x,y,con,t)$ representa el tiempo t$M(X,y,z)$ temperatura puntual,$dS$ diferencial de superficie,$n$ es el vector normal que apunta hacia el exterior, tome uno que contengaMMSuperficie cerradaSS$en\; el\; punto\; M$$S$ , temperatura de estudio$u-$ ley

1. Ley de Fourier de la termodinámica: tiempo $Dentro\; de\; dt$ , a través de un bloque de segundos Angied S dSCalor de$d$$S$$dQ$ es proporcional a$dt,\_ds,\_\frac{\partial }{\partial norte}$,-salida
   1. $dq=-k\_\frac{\partial }{\partial norte}dSdt$
      La ley de la termodinámica de Fourier
   2. $t_{}\to t_{}$Vía Surface $S$ fluye hacia el áreaVVcalor total de$V$
   3. $q={\int }_{t_{}}^{t_{}}\underset{S}{}k\frac{\partial }{\partial norte}dSdt$
2. El calor fluye hacia $V$ ,$[t_{},t_{}]$ cambio de temperatura${en}_{}\to {en}_{}$Valor de interfazQ
   $q=\underset{EN}{}C\rho \left[tu\right(X,y,con,t_{})-tu(x,y,con,t_{}\left)\right]dV$
3. 成动密数$\frac{\partial }{\partial l\_}=\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{porque}a+\frac{\partial }{\partial año}\mathrm{porque}b+\frac{\partial }{\partial z\_}\mathrm{porque}\Omega$
   [ ∂$\underset{Vaya}{}[\frac{\partial }{\partial x}+\frac{\partial }{\partial año}+\frac{\partial }{\partial z\_}]dV\_=\underset{\partial \Omega }{}Pdydz+Qdxdz+RreXrey$
   联立$\underset{S}{}\frac{\partial }{\partial norte}dS=\underset{Vaya}{}\Delta tureV$
4. Por ejemplo, $a=\sqrt{\frac{}{c\rho }}$得三位热传导方程$\frac{\partial }{\partial t}=a^2(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial {año}^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z{\_}^2})$ homogéneo
5. 有热源$\frac{\partial }{\partial t}=a^2(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial {año}^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z{\_}^2})+f(x,y,con,t)$ no homogéneo
6. Conductores de calor delgados: ecuación de calor 2D $\frac{\partial }{\partial t}=a^2(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial {año}^2})$
7. Conductor térmico de varilla delgada: ecuación de calor unidimensional $\frac{\partial }{\partial t}=a^2\left(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\right)$
8. Campo de temperatura constante, la temperatura de cada punto no cambia con el tiempo -> Ecuación de Laplace

• 拉普拉斯方程：$\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial {año}^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z{\_}^2}=0$ o$tu\_=Distribución\; de\; campo\; electrostático\; en\; espacio\; 0$ ; distribución de campo magnético estático; distribución de campo de temperatura estable

1.2 Derivación de condiciones de solución definida

1.2.1 Condiciones iniciales

1. Ecuación de onda
   Desplazamiento inicial $tu(x,t){|}_{t=}=\varphi \left(x\right)$
   初速度$\frac{\partial tu(x,t}{\partial t}{|}_{t=}=\Psi \left(x\right)$
2. Ecuación de calor
   La distribución de temperatura de cada punto en el objeto en el momento inicial $tu(M,t){|}_{t=}=f\left(m\right)$
3. Ecuación de Laplace
   Estado estacionario, independiente del tiempo, sin condiciones iniciales

1.2.2 Condiciones de contorno

1. ecuación de onda

   1. da la función desconocida $tu(x,t)$ en el punto final$X=$el caso de $un$
      1. $X=a$ es un borde fijo,$tu(x,t){|}_{x=}=0$
      2. $X=a$ como vibración armónica simple$A\mathrm{pecado}\omega t$ ,则$tu(x,t){|}_{x=}=A\mathrm{pecado}t\_$
   2. da la función desconocida $tu(x,t)$ en el punto final$X=$El caso de la derivada de $un$
      1. Una fuerza externa v ( t ) v(t) en una dirección de desplazamiento se aplica al punto final$v\left(t\right)$作用$\frac{\partial tu(x,t}{\partial x}{|}_{x=}={en}_{}\left(t\right),{en}_{}\left(t\right)=\frac{v(t}{T}$
      2. $v\left(t\right)=0$ , el punto final no está sujeto a fuerza externa en la dirección del desplazamiento, el extremo libre$\frac{\partial tu(x,t}{\partial x}{|}_{x=}=0$
   3. Combinación
      1. El punto final a está soportado por un cuerpo elástico, ley de Hooke $F=-k\_\dot{D}X$:$[\frac{\partial tu(x,t}{\partial x}+\sigma tu(x,t)]{|}_{x=}=0,pags=\frac{}{T}$

2. problema de conducción de calor

   1. Caso de punto final: dar $estás$ en la fronteraSSEl valor de$S$$f$ , la condición de frontera $ u|_S=f$
   2. Caso derivado: conductor de calor $V$ no tiene intercambio de calor con el medio circundante, el límiteSSTasa de flujo de calor $S\; =\; 0$
      1. Ley de termodinámica de Fourier Tasa de flujo de calor $\frac{d}{dSdt}=-k\_\frac{\partial }{\partial norte}$
      2. Condiciones de contorno: $\frac{\partial }{\partial norte}{|}_{}=0$
   3. Combinación: conductor de calor $V$ y SSmedio circundante$S$ tiene intercambio de calor,${en}_{}$temperatura media
      1. Ley térmica $dq=k_{}(en-{en}_{})dSdt$ , la ley simultáneade Fourier de la termodinámica
      2. Definir: $(\frac{\partial }{\partial norte}+\sigma tu){|}_{}=en{ti}_{}{|}_{},pags=\frac{k_{}}{k}$

3. Clasificación de condiciones de contorno

   1. Condición de contorno tipo 1: dar directamente $estás$ en$S$值$tu{|}_{}=F$
      1. Condición homogénea $F=0$ , la condición no homogénea$F\ne 0$
   2. Condiciones de contorno tipo 2: a lo largo de $S$ derivada normal externa$\frac{\partial }{\partial norte}{|}_{}=F$
   3. Condiciones de contorno tipo 3: Combinación $(\frac{\partial }{\partial norte}+\sigma tu){|}_{}=F$

1.3 Problema de solución definitiva

Ecuación + condición de solución definida = problema de solución definida

1.3.1 La formulación del problema de solución definida

1. Problema de Valor Inicial: Ecuación + Condiciones Iniciales
   1. Problema de onda ilimitada unidimensional: (ecuación), $-\infty <X<\infty$
   2. Solo las condiciones iniciales $tu{|}_{t=}=?,\frac{\partial }{\partial t}{|}_{t=}=?$
2. Problemas de valores en la frontera: ecuaciones + condiciones en la frontera
   1. Ecuación de Laplace (ecuación) sin tiempo
   2. Condiciones de contorno $tu(x,y,z){|}_{\partial }=F$
3. Problemas Mixtos: Ecuaciones + Condiciones de Frontera + Condiciones Iniciales
   1. Ecuación de calor unidimensional de estado acotado: (ecuación) $0<X<yo,t>0$
   2. 边界条件$tu{|}_{x=}=t^2,tu(x,t)|x=yo=t$
   3. Condición inicial $tu{|}_{t=}=\varphi \left(x\right)$

1.3.2 Solución de problema de solución definitiva

• existencia de una solución
• unicidad de solución
• estabilidad de la solución
• Solución: método de la variable de separación, método de la onda viajera, método de la transformación integral, método de la función de Green

tema

1. Una barra uniforme de longitud $l$ , un extremo está fijo y el otro extremo está alargado a lo largo del eje de la varilla$Nos$ quedamos quietos, de repente soltamos y dejamos que vibre, y tratamos de escribir una solución definitiva.
   
2. Una barra uniforme de longitud $l$ , un extremo está fijo, el otro extremo está comprimido a lo largo del eje de la varilla y la varilla se acorta a
   $yo(yo-2\epsilon )$ de repente suéltelo y déjelo vibrar, y trate de escribir un problema de solución definitiva.