Caputo Método de orden espacial de aproximación de ecuación diferencial fraccional-L para el problema de valor límite inicial de la ecuación de difusión lenta y su implementación del programa Matlab
Introducción:
Las ecuaciones diferenciales fraccionarias son una clase de ecuaciones diferenciales con derivadas no enteras y tienen una amplia gama de aplicaciones. La ecuación de difusión lenta es un caso especial de ecuaciones diferenciales fraccionarias que describe el comportamiento de la cola a largo plazo del proceso de difusión. Este artículo presenta un método de orden espacial basado en la aproximación L para resolver el problema del valor límite inicial de la ecuación diferencial fraccionaria-ecuación de difusión lenta de Caputo y proporciona la implementación correspondiente del programa Matlab.
Introducción a la ecuación:
Consideramos el problema del valor límite inicial de la ecuación diferencial fraccionaria-ecuación de difusión lenta de Caputo de la siguiente forma:
D^alpha u(x, t) = k * (d^2 u(x, t) / dx^2), 0 < x < L, 0 < t <= T,
u(0, t) = u(L, t) = 0, t > 0,
u(x, 0) = f(x), 0 <= x <= L,
Entre ellos, D ^ alfa representa la derivada de Caputo, 0 < alfa < 1 es el orden de la derivada fraccionaria, k es el coeficiente de difusión, L es la longitud de la región espacial, T es el punto final del tiempo y f (x ) es la función de condición inicial.
El método de orden espacial de aproximación L:
El método de orden espacial de aproximación L es un método basado en la aproximación de funciones básicas para discretizar variables espaciales. Discretizamos el área espacial [0, L] en N puntos de la cuadrícula, registrados como x_i = i * h, donde h = L / N, i = 0, 1, 2,…, N. Luego, utilizamos el método de aproximación L para convertir las derivadas fraccionarias en derivadas regulares para que puedan resolverse en un espacio discreto.
Específicamente, utilizamos polinomios de interpolación de Lagrange como funciones base. Para cualquier x, podemos definir el polinomio de interpolación L_j(x):