CINTA学前作业二：归纳证明

求证：

$$1^2+2^2+3^2+......+n^2=\frac{n(2n+1)(n+1)}{6}$$

证明：

当 n = 1 时,等式左右两边都等于 1 ,等式成立
假设当 n = m 时,等式成立,即有
$$1^2+2^2+3^2+......+m^2=\frac{m(2m+1)(m+1)}{6}$$
那么当 n = m + 1 时,有
$$1^2+2^2+3^2+......+m^2+(m+1{)}^2=\frac{m(2m+1)(m+1)}{6}+(m+1{)}^2$$
$$1^2+2^2+3^2+......+m^2+(m+1{)}^2=\frac{m(2m+1)(m+1)}{6}+\frac{6(m+1{)}^2}{6}$$
$$1^2+2^2+3^2+......+m^2+(m+1{)}^2=\frac{(m+1)[m(2m+1)+6(m+1)]}{6}$$
$$1^2+2^2+3^2+......+m^2+(m+1{)}^2=\frac{(m+1)(2m+3)(m+2)}{6}$$
$$1^2+2^2+3^2+......+m^2+(m+1{)}^2=\frac{(m+1)[2(m+1)+1][(m+1)+1]}{6}$$
所以当 n = m + 1 时等式成立,即可证得
$$1^2+2^2+3^2+......+n^2=\frac{n(2n+1)(n+1)}{6}$$