第一题
200 0 2019 m o d 221 = 200 0 2019 m o d 13 ∗ 17 2000^{2019}mod221\\ =2000^{2019}mod13*17 20002019mod221=20002019mod13∗17
因为 2000%13=11，2000%17=11，所以有
原 式 = ( 11 , 11 ) 2019 = ( [ 1 1 2019 m o d 13 ] , [ 1 1 2019 m o d 17 ] ) = ( [ 1 1 12 ∗ 168 + 3 m o d 13 ] , [ 1 1 16 ∗ 126 + 3 m o d 17 ] ) = ( [ 1 1 3 m o d 13 ] , [ 1 1 3 m o d 17 ] ) = 1 1 3 m o d 221 = 1331 m o d 221 = 5 原式=(11,11)^{2019}\\ =([11^{2019}mod13],[11^{2019}mod17])\\ =([11^{12*168+3}mod13],[11^{16*126+3}mod17])\\ =([11^3mod13],[11^3mod17])\\ =11^3mod221\\ =1331mod221\\ =5 原式=(11,11)2019=([112019mod13],[112019mod17])=([1112∗168+3mod13],[1116∗126+3mod17])=([113mod13],[113mod17])=113mod221=1331mod221=5
第二题
利用 egcd 算法求逆元：
[1,0,19]
[0,1,11]
[1,-1,8]
[-1,2,3]
[3,-5,2]
[-4,7,1]
即
1 9 − 1 = − 4 = 7 , 1 1 − 1 = 7 19^{-1}=-4=7, 11^{-1}=7 19−1=−4=7,11−1=7
x = 8 ∗ 19 ∗ 7 + 3 ∗ 11 ∗ 7 = 1295 m o d 209 = 41 x=8*19*7+3*11*7=1295mod209=41 x=8∗19∗7+3∗11∗7=1295mod209=41
第三题
M=5*7*9*11=3465
b_1=693, b_1=495, b_1=385, b_4=315
693 ≡ 3 m o d 5 , 3 ∗ 2 ≡ 1 m o d 5 495 ≡ 5 m o d 7 , 5 ∗ 3 ≡ 1 m o d 7 385 ≡ 7 m o d 9 , 7 ∗ 4 ≡ 1 m o d 9 315 ≡ 7 m o d 11 , 7 ∗ 8 ≡ 1 m o d 11 693≡3mod5,3*2≡1mod5\\ 495≡5mod7,5*3≡1mod7\\ 385≡7mod9,7*4≡1mod9\\ 315≡7mod11,7*8≡1mod11 693≡3mod5,3∗2≡1mod5495≡5mod7,5∗3≡1mod7385≡7mod9,7∗4≡1mod9315≡7mod11,7∗8≡1mod11
x = 1 ∗ 693 ∗ 2 + 2 ∗ 495 ∗ 3 + 3 ∗ 385 ∗ 4 + 4 ∗ 315 ∗ 8 = 19056 m o d 3465 = 1731 x=1*693*2+2*495*3+3*385*4+4*315*8=19056mod3465=1731 x=1∗693∗2+2∗495∗3+3∗385∗4+4∗315∗8=19056mod3465=1731
第四题
由 x ≡ a mod m 和 x ≡ a mod n, 可得 ∃p, q 使得 x = a + mp = a + nq, 即 mp = nq.
因为 m, n 互素, 所有有 t = r_1n 和 s = r_2m, 且 r_1, r_2∈N.
即 x = r_1mn + a 或者 x = r_2mn + a.
即 x ≡ a mod mn
第五题
构造同余方程
x ≡ 1 m o d p x ≡ 1 m o d q 由 b i n t o u 剩 余 定 理 解 得 x = 1 ∗ p q − 1 + 1 ∗ q p − 1 m o d p q 由 第 四 题 结 论 可 得 p q − 1 + q p − 1 ≡ 1 m o d p q x≡1modp\\ x≡1modq\\ 由bintou剩余定理解得x=1*p^{q-1}+1*q^{p-1}modpq\\ 由第四题结论可得p^{q-1}+q^{p-1}≡1modpq x≡1modpx≡1modq由bintou剩余定理解得x=1∗pq−1+1∗qp−1modpq由第四题结论可得pq−1+qp−1≡1modpq