CINTA作业二

1、Bezout定理证明

构造集合

$$S=am-bn:m,n\in Z且am+bn\ge 0.$$

在 S 中取最小正值 d = ar + bs

设 gcd(a, b) = q, 则 a = k₁q, b = k₂q, d = ar + bs = q(k₁r + k₂s)

∴ d | q 即有 d >= q①

令 p = ⌊a/d⌋, 则有 x = a mod d = a - pd = a - p(ar + bs) = a(1 - pr) + b(-ps)

∴ x 也是 a, b 的线性组合且 0<=x<s

由于 d 是 a, b 线性组合的最小正值, 所以 x = 0

∴ d | a , 同理 d | b

∴ d | q 即有 q>=d②

由①②可得 d = q 即 gcd(a,b) = ar + bs

---

2、GCD算法的迭代版本

int gcd(int a,int b){
    
    
	int temp;
	while(b){
    
    
		temp=a%b;
		a=b;
		b=temp;
	}
	return a;
}

---

3、EGCD算法

#include<stdio.h>
#include<math.h>
int mat[256][3];
void egcd(int a,int b,int *r,int *s,int *d){
    
    
	int t;
	if(a<b){
    
    
		t=a;
		a=b;
		b=t;
	}
	mat[0][0]=1;mat[0][2]=a;
	mat[1][1]=1;mat[1][2]=b;
	mat[2][0]=1-0;mat[2][1]=0-a/b;mat[2][2]=a%b;
	t=2;
	while(mat[t-1][2]%mat[t][2]){
    
    
		t++;
		mat[t][0]=mat[t-2][0]-(mat[t-2][2]/mat[t-1][2])*mat[t-1][0];
		mat[t][1]=mat[t-2][1]-(mat[t-2][2]/mat[t-1][2])*mat[t-1][1];
		mat[t][2]=mat[t-2][2]%mat[t-1][2];
	}
	*r=mat[t][0];
	*s=mat[t][1];
	*d=mat[t][2];
}
int main(){
    
    
	int a,b,r,s,d;
	scanf("%d%d",&a,&b);
	egcd(a,b,&r,&s,&d);
	printf("r=%d,s=%d,d=%d",r,s,d);
	
	return 0;
}

---

批处理版本的GCD算法

#include<stdio.h>
int gcd(int a,int b){
    
    
	int temp;
	while(b){
    
    
		temp=a%b;
		a=b;
		b=temp;
	}
	return a;
}
int bat_gcd(int a[],int len){
    
    
	int temp=a[0];
	for(int i=1;i<len;i++){
    
    
		temp=gcd(temp,a[i]);
	}
	return temp;
}
int main(){
    
    
	int a[6]={
    
    63,21,49,42,56,35};
	int len=sizeof(a)/sizeof(int);
	printf("%d",bat_gcd(a,len));//输出7 
	
	return 0;
}