CINTA作业3

1、实现求乘法逆元的函数，给定a和m，求a模m的乘法逆元，无解时请给出无解提示，并且只返回正整数。进而给出求解同余方程（ax = b mod m）的函数，即给定a，b，m，输出满足方程的x，无解给出无解提示。

int inverse(int a,int m){//求乘法逆元
	int i,j,s;
	for(i=1;i<m;i++){
		j=1;
		while(a*i-m*j>0){
			if(a*i-m*j==1){
				s=i;
				goto end;
			}
			j++;
		}
	}
	end:
	if(i==m){
		cout<<"无解！"<<endl;
		return 0;
	}
	else return s;
}

int slove(int a,int b,int m){//求同余方程的解
	int s=inverse(a,m);
	if(s==0){
		cout<<"无解！"<<endl;
		return 0;
	}
	else{
		return b*s%m;
	}
}

2、实现模指数运算的函数，给定x、y和m，求x的y次方模m。

int mod_exp(int x,int y,int m){
	int tmp=x%m,res=1;
	while(y>0){
		if(y%2==1){
			res*=tmp;
			cout<<"res = "<<res<<endl;
		}
		tmp*=tmp;
		tmp%=m;
		y>>=1;
	}
	return res%m;
}

3、设p = 23和a = 5，使用费尔马小定理计算a^{2020} mod p?

p 是素数，所以可以由费尔马小定理得 $$a^{22}\equiv 1mod23$$
原式：

$$a^{2020}mod23$$

$$=a^{22\ast 91+18}mod23$$

$$=a^{22\ast 91}\ast a^{18}mod23$$

$$=a^{18}mod23$$

$$=5^{18}mod23$$

$$=6$$

4、使用欧拉定理计算2^{100000} mod 55。

$$\varphi (55)=40$$

由于 $$gcd(2,55)=1$$，所以可以由欧拉定理得 $$2^{\ast \varphi \ast (55)}\equiv 1mod55$$
原式：

$$2^{100000}mod55$$

$$=2^{40\ast 2500}mod55$$

$$=1mod55$$

$$=1$$

5、手动计算7^{1000}的最后两个数位等于什么？

只看十位数和个位数：

$$7^1=07$$

$$7^2=49$$

$$7^3=43$$

$$7^4=01$$

$$7^5=07$$

每4次方，十位数和个位数就循环一次

$$1000/4=250$$

所以 $$7^{1000}$$ 的十位数和个位数分别是 0，1